第一章  朴素集合论（6学时）

【学习内容】

1.集合的基本概念；集合的运算（交、并、补、差）；集合的运算律（交换律、结合律、分配律、De Morgan律）。

2.关系的相关概念；特殊的关系（映射、等价关系）。

3.有标集族的定义及其并和交。

4.可数集、不可数集和基数的相关概念和结论。

【重点】

1.集合的运算

2.等价关系、映射和映射的逆

【难点】

1.可数集和不可数集的概念

2.集合基数的概念及与基数相关的结论

【教学方法】

1.运用讲解式教学法，关注学生的生活实际，注意数学教学语言的准确性与逻辑性；

2.通过课堂讨论，鼓励学生积极参与讨论，强化知识应用意识，提高学生的反思能力，促进学生思考和交流。

【复习思考】

1.集合中的悖论。

第二章  拓扑空间与连续映射（18学时）

【学习内容】

1．拓扑空间的公理化定义；几个常见的拓扑空间的例子（平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间）；开集、闭集、邻域，同肧映射，拓扑不变性质。

2．拓扑空间间的映射在一点处连续和整体连续的定义及它们之间的关系。

3．拓扑空间中子集的导集、闭包、内部和边界；拓扑空间的基和子基，邻域基和邻域子基的概念及之间的它们的关系；拓扑空间中的序列收敛的概念及其相关的结论。

【重点】

1.拓扑空间的公理化定义；拓扑不变性质；拓扑空间的基、子基、邻域基和邻域子基

2.拓扑空间中子集的导集、闭包、内部和边界的概念和性质

3.拓扑空间间的映射在一点处连续和整体连续的定义及它们之间的关系

【难点】

1.拓扑空间的基和子基，邻域基和邻域子基的概念及之间的它们的关系

2.拓扑空间中子集的导集、闭包、内部和边界的计算

【教学方法】

1.充分运用引导启发式教学，提高学生学习的兴趣与积极性。在度量空间间的局部连续和整体连续的的基础上延伸和对比，使学生深刻理解拓扑空间间局部连续和整体连续的概念；

2.通过拓扑空间中序列收敛性质的研究和分析，促进学生对知识进行类比和整合，培养学生的自主思考和反思的能力。

【复习思考】

1.在包含3个点的集合上共能定义多少个拓扑空间，这些拓扑空间被同胚这个等价关系分成几类，包含4个点的集合呢？

2.实数空间中的收敛数列和一般拓扑空间中的收敛序列的相同点和不同点。

 第三章  子空间，积空间，商空间（8学时）

【学习内容】

1.子空间的概念及子空间的拓扑、开集、闭集、闭包、导集、基。

2.有限积空间的定义、基、子基；特殊的映射开映射和闭映射。

3.商空间的概念及几个常见的商空间的例子。

【重点】

1.子空间的定义及其与大空间的关系。

2.积空间的定义、基、子基；特殊的映射开映射和闭映射。

【难点】

1.商空间的概念及几个常见的商空间的例子。

【教学方法】

1.充分运用引导启发式教学，提高学生学习的兴趣与积极性。类比子空间和大空间的拓扑、开集、闭集和基的关系，使学生深刻理解子空间的性质和结构。

2.通过课堂讨论，强化知识应用意识，提高学生独立思考和反思能力。

【复习思考】

1.商空间的例子？

2.开映射和闭映射的例子,及同胚映射与开映射和闭映射的关系？

第四章  连通性（16学时）

【学习内容】

1.连通空间、局部连通空间和道路连通空间的定义、性质和等价刻画；

2.连通子集、道路连通子集、连通分支和道路连通分支的定义和性质；

3.连通性的简单应用；

4.拓扑不变性质、有限可积性质、可商性质：连通性、局部连通性和道路连通性。

【重点】

1.连通空间、连通子集和连通分支的概念和性质

2.局部连通空间的定义和等价刻画

3.道路连通空间的定义和判定

【难点】

1、连通性的应用

2、局部连通空间和道路连通空间的概念及判定

【教学方法】

1. 运用讲授式教学法，结合多媒体课件展示缜密的逻辑推理，注意数学教学语言的准确性与逻辑性。

2.通过具体例题，促进学生知识整合，培养学生的反思能力。

【复习思考】

1.拓扑空间中的两个点连通的和道路连通的有什么不同，它们之间具有怎样的关系？

2.平庸空间、离散空间、有限补空间和可数补空间是否是连通空间、局部连通空间和道路连通空间？

第五章  有关可数性的公理（8学时）

【学习内容】

1.满足第一可数性公理的拓扑空间和满足第二可数性公理的拓扑空间的定义、它们之间关系和例子.

2.理解可分空间和Lindelof空间的定义、例子及这两个拓扑空间与满足第二可数性公理的拓扑空间之间的关系。

3.拓扑不变性质：满足第一可数性公理的性质、满足第二可数性公理的性质、可分性、Lindelof性。

  4.有限可积性质：满足第一可数性公理的性质、满足第二可数性公理的性质、可分性。

5.可遗传的性质：满足第一可数性公理的性质、满足第二可数性公理的性质；仅对开子空间可遗传的性质：可分性；仅对闭子空间可遗传的性质：Lindelof性。

【重点】

1.满足第一可数性公理的拓扑空间、满足第二可数性公理的拓扑空间、可分空间和Lindelof空间的定义、例子及它们之间的关系。

2.四个有关可数性公理的性质哪些是拓扑不变性质、有限可积性质、可遗传的性质、仅对开子空间可遗传的性质和仅对闭子空间可遗传的性质。

【难点】

1.不满足第一可数性公理的例子，不满足满足第二可数性公理的例子，不是可分空间的例子，不是Lindelof空间例子。

2.四个可数性公理之间的关系。

3.判定一个拓扑空间所满足的可数性公理。

【教学方法】

1. 通过反例启发式教学，引导学生自主发现四个可数性公理之间的关系，注意数学语言的严谨性。

2.通过课堂讨论，提高学生学习的兴趣与积极性，强化知识应用意识，促进学生知识整合，发展学生的教学能力和反思能力。

【复习思考】

1.平庸空间、离散空间、有限补空间和可数补空间满足哪些可数性公理？

2.拓扑空间中的稠密子集具有的性质及平庸空间、离散空间、有限补空间和可数补空间中的稠密子集分别是什么？

                第六章 分离性公理（6学时）

【学习内容】

1. T₀空间、T₁空间、T₂空间、T₃空间、T_3.5空间、T₄空间、正则空间、正规空间和完全正则空间的定义、等价刻画及它们相互之间所满足的蕴含关系。

2. 反例（T₀空间但不是T₁空间、正则空间但不是正规空间等的例子）。

3. 拓扑空间可度量化的一个充分条件。

4. 九个分离性公理具有的性质（拓扑不变性质、有限可积性质、可遗传的性质等）。

【重点】

1.T₀空间、T₁空间、T₂空间、T₃空间、T_3.5空间、T₄空间、正则空间、正规空间和完全正则空间的定义、等价刻画及它们相互之间所满足的蕴含关系。

2.九个分离性公理不满足蕴含关系时的反例，如T₀空间但不是T₁空间、正则空间但不是正规空间的例子。

3.九个分离性公理所具有的性质（拓扑不变性质、有限可积性质、可遗传的性质等）。

【难点】

1.九个分离性公理不满足蕴含关系时的反例

2. 拓扑空间可度量化的一个充分条件

【教学方法】

1. 教学中在讲解反例时，充分运用引导启发式教学法、讨论式教学法相结合提高学生学习的兴趣与积极性，使学生深刻理解九个分离性公理的概念和等价刻画；

2.通过课堂讨论，理论与实践相结合，强化知识应用意识，促进学生知识整合，发展学生的教学能力和反思能力；

3.针对学生的作业中反应出的问题，通过习题课方式提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力和探究意识。

【复习思考】

1.简单的拓扑空间（实数空间、离散空间、平庸空间和包含有限个点的拓扑空间等）所满足的分离性公理有哪些？

第七章  紧致性（6学时）

【学习内容】

1. 紧致空间、可数紧致空间、列紧空间、序列紧致空间、局部紧致空间和仿紧致空间的概念、性质及它们之间存在的蕴含关系。

2. 紧致性与分离性公理之间的关系；n维欧氏空间的紧致子集；度量空间中的紧致性。

3. 6种紧致性所满足的性质（拓扑不变性质、有限可积性质、可遗传的性质等）。

【重点】

1.紧致空间、可数紧致空间、列紧空间、序列紧致空间、局部紧致空间和仿紧致空间的概念、性质及它们之间存在的蕴含关系。

2. 6种紧致性所满足的性质（拓扑不变性质、有限可积性质、可遗传的性质等）。

【难点】

1.紧致空间、可数紧致空间、列紧空间、序列紧致空间、局部紧致空间和仿紧致空间的概念、性质及它们之间存在的蕴含关系。

2. 6种紧致性所满足的性质（拓扑不变性质、有限可积性质、可遗传的性质等）。

【教学方法】

1. 通过多媒体课件和传统教学相结合，讲解紧致空间、可数紧致空间、列紧空间、序列紧致空间、局部紧致空间和仿紧致空间的概念、性质及它们之间存在的蕴含关系，提高学生逻辑思维和推理能力。

2.通过多媒体课件和网络资源课程，搭建教学内容的基本知识结构，培养学生的职业素养。

【复习思考】

1.简单的拓扑空间（实数空间、离散空间、平庸空间和包含有限个点的拓扑空间等）是否是紧致空间、可数紧致空间、列紧空间、序列紧致空间、局部紧致空间和仿紧致空间？

根据《点集拓扑》教学大纲的要求，共17周，每周4课时，共68课时，每一章的课时安排如下表：

细化到每一周的课程设计如下：

使用教材

《点集拓扑讲义》（第四版），熊金城编著，高等教育出版社，2011.

《点集拓扑讲义》（第四版），熊金城编著，高等教育出版社，2011.的电子版教材

参考书目

1.《基础拓扑学讲义》 ，尤承业编著，北京大学出版社，1997.

2.《一般拓扑学基础》，张德学编著， 科学出版社，2012.

3.《拓扑学基础》，林金坤编著，科学出版社，2016.

4.《点集拓扑学》，  徐森林等编著，高等教育出版社， 2007.

5.使用教材：《点集拓扑讲义》（第四版）（熊金城编著，高等教育出版社）的课后习题答案

课程目标

通过本课程的学习，使学生达到以下5个目标：

课程目标1: 掌握点集拓扑的基本概念，了解点集拓扑的发展历史，研究对象（拓扑空间）、中心任务（拓扑不变性质）和本门课程在几何学中的地位和独立价值，掌握拓扑的思想和方法，提高学生的几何修养。

课程目标2: 对拓扑思想和方法有较深的认识和理解，弄清拓扑不变性质是同胚的拓扑空间都具有的性质，培养学生的辩证唯物主义世界观。

课程目标 3: 具备严谨的几何语言表达能力，引导学生能居高临下地处理中学几何教学中的有关问题，以便他们胜任毕业后的教学工作。

课程目标4: 掌握点集拓扑的基本理论，培养学生严谨的逻辑思维能力、推理论证能力和空间想象能力，培养学生的反思及自主学习能力，提高他们分析问题和解决问题的能力，为进一步学习代数拓扑、微分拓扑和几何拓扑、黎曼几何、微分流形等后继几何学课程打下坚实的基础。

课程目标5: 培养建立数学模型，并运用拓扑的方法解决实际应用问题的能力。体会和领悟几何的简洁性与深刻性，提高数学思维能力和科学素养，具备一定的科学研究能力。

 考核方式

本课程考核包括平时考核和期末考核。平时考核包括课堂表现、作业、阶段性测试、网络教学平台视频学习、课程讨论等；期末考核采用闭卷考试。总成绩=平时成绩*30%+期末成绩*70%。

平时成绩评定：

平时成绩（100%）=课堂表现（20%）+作业完成情况（20%）+阶段性测验（20%）+视频学习(15%)+课程讨论(15%)+课堂考勤（10%）

（1）课堂表现：通过学生在课堂上的表现情况、发言与提问情况，来评价学生相关的能力。

（2）作业完成情况：教材课后习题作业及网络平台发布作业完成情况。

（3）阶段性测验：学生在平时测试或期中测试中掌握课程的情况。

（4）视频学习：网络教学平台课程页面资源的学习时间。

（5）课堂考勤（一般不超过总评成绩的10%）。

期末成绩评定：

期末考核主要考察本学期所学的点集拓扑中的基本概念、结论以及学生对所学内容综合理解和应用等。考核方式为闭卷考试，试题一般包含判断题、选择题、证明等题型。

《点集拓扑》视频链接

1       河北师范大学《点集拓扑》教学视频      

2       https://b23.tv/BV1mg4y1b7dE/p1

3       https://b23.tv/BV1xs411s7HK/p1

4      https://b23.tv/BV1C741127AE/p1

5     https://b23.tv/BV1P7411N7fW/p1

《点集拓扑》其他链接

1    https://www.docin.com/search.do?nkey=%E7%82%B9%E9%9B%86%E6%8B%93%E6%89%91&searchcat=1001

2   https://www.docin.com/search.donkey=%E7%82%B9%E9%9B%86%E6%8B%93%E6%89%91%E8%AE%BA%E6%96%87&searchcat=1001

《点集拓扑》将系统地学习拓扑学的基本知识，使同学们了解了一门不同于欧氏几何的一门几何学，其研究拓扑不变性质，如连通性、局部连通性、道路连通性、有关可数性的几个公理等。

    通过本课程的学习，一方面使得学生拓宽眼界，扩大知识领域，提高抽象思维、理性思维能力，为进一步的数学学习打下基础；另一方面使得学生加深对中学几何和数学分析中的理论与方法的理解，比如数学分析中的实数空间R中的数列收敛问题就隶属于点集拓扑中拓扑空间中的序列收敛问题，从而更好地理解中学几何和数学分析中的一些问题，为未来的中学几何教学打下基础；最后，在数学情意方面，认可几何学的价值，特别是几何中的美学价值和理性价值，形成对几何的兴趣以及学习和传播数学的意志品质。

    学习本课程后，学生的收获主要概括为以下6条：

   （1）理解并掌握度量空间和拓扑空间的概念及与之相关的一些基本概念（开集、闭集、邻域，同肧映射，拓扑不变性质等）；熟记常见的拓扑空间的例子（平庸空间、离散空间、有限补空间、可数补空间）；理解并掌握度量空间之间的局部连续和整体连续的概念及其关系，拓扑空间之间的局部连续和整体连续的概念及其关系；理解并掌握拓扑空间中的子集的导集、闭包、内部和边界的概念和性质；理解拓扑空间的基和子基，邻域基和邻域子基的概念及之间的它们的关系；理解并掌握拓扑空间中的序列收敛的概念及其相关的结论。

  （2）掌握子空间的概念及子空间与大空间的关系； 掌握（有限）积空间的概念及其相关的结论（积空间的两个基和一个子基、开映射和闭映射）；商空间的概念及例子。

  （3）掌握连通空间、局部连通空间和道路连通空间的概念、相互之间的蕴含关系和相关的结论（连通空间和局部连通空间的等价刻画；连通子集和道路连通子集的定义和性质等）；了解并掌握连通性的几个简单应用；连通分支和道路连通分支的概念和性质；熟记并会证明连通性、局部连通性和道路连通性是拓扑不变性质、有限可积性质、可商性质。

  （4）理解满足第一可数性公理的拓扑空间和满足第二可数性公理的拓扑空间的定义、它们之间关系和例子；理解可分空间和Lindelof空间的定义、例子及这两个拓扑空间与满足第二可数性公理的拓扑空间之间的关系；理解并掌握常见的几个拓扑空间满足哪些可数性公理；掌握并熟记本章的4个有关可数性的性质满足哪些性质（4个都是拓扑不变性质，第一可数性公理的性质、满足第二可数性公理的性质和可分性质都是有限可积性质；第一可数性公理的性质和满足第二可数性公理的性质是可遗传的性质，可分性对开子空间可遗传，Lindelof性质对闭子空间可遗传）。

  （5）理解并掌握拓扑空间中的九个分离性公理；掌握满足每一个分离性公理的拓扑空间的定义、等价刻画及其它们之间的关联；掌握九个分离性公理所满足的性质，包括是否为拓扑不变性质、有限可积性质、可遗传的性质等。

  （6）了解并掌握紧致空间、可数紧致空间、列紧空间、序列紧致空间、局部紧致空间和仿紧致空间的概念、性质及它们之间存在的蕴含关系；了解并熟记紧致性与分离性公理之间的关系；掌握n维欧氏空间的紧致子集是有界闭集； 了解度量空间中的紧致性；掌握6种紧致性所满足的性质（拓扑不变性质、有限可积性质、可遗传的性质等）。

预备知识   ：初等几何，空间解析几何，数学分析和集合论的相关知识等

适合学习人群   ： 课程适合大学及函授数学与应用数学专业学生、中学老师及有较高几何要求的中学生和数学爱好者作为数学基础课学习