顺利完成由初等代数（数学）到高等代数（数学）的过渡，使学生快速完成从中学到大学的转变，快速掌握适应大学阶段以及新形势下的学习方法和思维方式；使学生掌握多项式理论和线性代数理论的基本知识、基本理论和基本方法，为后续课程的学习打好“代数学”的知识基础和形成后续学习的必要的代数学素养和能力；使学生了解中国学者在课程知识体系中的贡献，弘扬中华民族的优秀传统文化，增强民族文化自信心；使学生熟悉和掌握课程知识体系中蕴含的现代数学的思想方法，培养学生抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力；使学生初步形成遵循认知规律（从具体到抽象，从特殊到一般和从已知到未知）的认知能力，培养学生的创新意识、创新能力以及分析问题和解决问题的能力。

课程总课时108学时，其中课堂讲授90学时，习题课18学时。

第 1 章   基本代数系统与多项式    

1.1、  集合与映射

1.2、  等价关系与偏序关系

1.3、  整数理论

1.4、  基本代数系统简介

1.5、  一元多项式环

1.6、  带余除法与整除关系

1.7、  最大公因式与最小公倍式

1.8、  唯一因式分解

1.9、  重因式

1.10、复系数、实系数与有理系数多项式

1.11、多项式的Fermat大定理

【教学重点】集合与映射，等价关系与划分、偏序关系与偏序集的定义；群、环、域等基本代数系统的定义和简单例子；数域上的一元多项式代数；多项式的整除与带余除法；最大公因式和最小公倍式的定义及性质，利用带余除法计算两个多项式的最大公因式及最小公倍式，多项式互素的性质及应用；不可约多项式的定义及性质，多项式的唯一因式分解定理；多项式的重因式的定义及是否有重因式的判定条件；复数域、实数域上的因式分解定理，有理系数多项式与整系数多项式的因式分解，有理数域上不可约多项式的判定以及有理系数多项式的有理根；多项式的Fermat大定理及其新证明。

【教学难点】 单射、满射的等价刻画；代数运算与代数系统的特殊元素以及运算规律；等价关系与划分以及用用等价关系的思想分类所研究的对象；Zorn引理等的应用；多项式的带余除法及应用；多项式的最大公因式的等价刻画及性质，多项式互素的性质及应用；数域上不可约多项式等价刻画及性质；有理系数多项式与整系数多项式的因式分解的关系，有理数域上不可约因式的判定。

第 2 章   初等变换与线性方程组和矩阵等价 

2.1、消元法解线性方程组

2.2、  矩阵、矩阵的初等变换与矩阵等价

2.3、  高斯消元法与线性方程组

2.4、  消元法解线性方程组的中国贡献

【教学重点】消元法解线性方程组；矩阵的定义，线性方程组和矩阵的初等变换，矩阵的（行）等价标准形，用初等行变换化矩阵为阶梯形和行简化阶梯形矩阵；高斯消元法解线性方程组。

【教学难点】消元法解线性方程组与方程组的初等变换的关系，线性方程组与矩阵的关系，消元法解线性方程组与矩阵初等变换的关系，线性方程组的同解与矩阵等价的关系，矩阵的等价及标准形，用初等行变换化矩阵为标准形。

第 3 章   行列式

3.1、二阶和三阶行列式

3.2、n阶排列

3.3、n阶行列式的定义

3.4、行列式的性质

3.5、行列式按行（列）展开

3.6、行列式的计算

3.7、行列式的一种公理化定义

3.8、克拉默（Cramer）法则

【学习重点】排列的逆序数及排列的性质；一般行列式的定义及性质；行列式的计算；行列式的公理化定义；克拉默（Cramer）法则。

【学习难点】对换是如何改变排列的逆序数和相关性质；一般行列式的定义；行列式的性质，初等变换与行列式的关系；行列式计算的常用计算方法及技巧；克拉默（Cramer）法则的内涵与外延。

第 4 章   矩阵与矩阵代数   

4.1、矩阵定义及应用举例

4.2、矩阵代数

4.3、可逆矩阵

4.4、分块矩阵及运算

4.5、初等变换与初等矩阵

4.6、分块矩阵的初等变换及应用举例

4.7、n维向量的线性相关性与向量组的秩

4.8、矩阵的秩

【教学重点】矩阵的加法、数乘、乘法、转置、逆运算及满足的运算规律和相应性质；可逆矩阵的定义及判定，伴随矩阵法求逆矩阵；分块矩阵的加法、数乘、乘法、转置、逆运算满足的运算规律；初等变换与初等矩阵及矩阵的等价标准形，用初等变换判断和求矩阵的逆矩阵；分块矩阵的初等变换及应用举例；n维向量空间与向量的线性相关性的定义，向量组线性相关与线性无关的性质及判定；向量组的极大线性无关组与秩的定义及相关性质；矩阵的秩及其等价刻画。

【教学难点】矩阵的运算与数的相应运算的异同；初等变换和初等矩阵之间的关系；用初等行变换化矩阵为阶梯型与行简化阶梯型矩阵；矩阵和分块矩阵的初等变换及其应用技巧；可逆矩阵的性质、判定及求逆矩阵的方法；向量线性相关性和线性无关性的定义及性质；向量组的极大线性无关组的性质与替换定理，向量组的秩和矩阵的秩的等价刻画及相关性质。

第 5 章  线性方程组的一般理论 

5.1、线性方程组有解判定定理

5.2、齐次线性方程组的基础解系

5.3、一般线性方程组解的结构

【教学重点】线性方程组的表示，线性方程组有解的判定定理；齐次线性方程组解的性质与基础解系；线性方程组的解与对应导出组的解之间的关系，一般线性方程组解的结构定理，用初等行变换法求齐次线性方程组的基础解系及线性方程的解。

【教学难点】齐次线性方程组的基础解系，线性方程组有解的判定及其解的结构。

结合课程线上资源，改革传统考核体系，强化过程考核。课程考核采用平时成绩与期末考试成绩综合评价的方式，平时成绩和期末考试成绩各占50%，其中，平时成绩满分100，包括课程课件学习（课前预习课后复习）占20%，章节测试、随堂测验和中期考试占40%，课堂讨论和到课情况占10%，平时作业占30%。期末考试采用闭卷考试，包括本学期所有讲授内容，总分100分。

教材：

郭聿琦，岑嘉评和王正攀，“高等代数教程”， 科学出版社，第1版，第3次印刷，2016，8。

主要参考书：

1.北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，“高等代数”，高等教育出版社，第3版，2011。

2. Alexei I Kostrikin著，张英伯译，代数学引论（第一卷），基础代数， 高等教育出版社，第二版，2011。

3.Guo, Y.Q., Shum, K.P. and Xu, G.T.,“Linear Algebra” (Translated by Tam, P.K.), Science Press (Beijing), 2007。

4,Lang, S.,“Mathematics Talks for Undergraduates”, New York, Springer-Verlag, 1999。