7.1逻辑关系的认识
一．基本逻辑事件的表示方法
所谓逻辑，简单的说，就是表示事物的因果关系，即输入、输出之间变化的因果关系。参与逻辑运算的变量叫逻辑变量，用字母A，B表示。每个变量的取值非0即1，0、1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。下面分别讨论集中基本的逻辑关系。
1．非逻辑
当决定一件事物的条件具备时，此事物不发生；而条件不具备时，此事物一定发生。
这种因果关系，称之为逻辑非，或叫非运算。
在图 7-1(a)中，当开关A 合上时，灯F不亮；而当开关A 打开时，灯Y亮。也即当逻辑变量A 的取值为1 时，F的值为0；A 的取值为0 时，F的值为1。可见，对灯F亮这件事情而言，开关A 是逻辑非的关系，并记作F=
,读作F等于A非，或者F等于A 反，A 上面的一横就表示非或反。这种运算就叫做逻辑非运算或逻辑反运算，简称为非或反运算。
假设开关断开和灯泡不亮用“0”表示，开关闭合和灯泡亮用“1”表示，得到图7-1（b）所示的真值表。
非的含义为：当条件不具备时，事件才发生。在逻辑电路中，把能实现非运算的基本单元叫非门，其逻辑符号如图7-1（c）所示。
(a) (b) (c)
图7-1 非逻辑电路、真值表和逻辑符号
对逻辑变量A进行逻辑非运算的表达式为
F=
2．与逻辑、与非逻辑
在图 1-4(a)中，只有当开关A 和开关B 都闭合时，灯F才会亮，也即当逻辑变量A和的取值均为1时，F的值才会为1。可见，对灯F亮这件事情而言，开关A、开关B闭合是逻辑与的关系，并记作F=A•B，读作F等于A 与B，把这种运算叫做逻辑与运算，简称为与运算。与运算和算术运算中的乘法运算是一样的，所以有时又叫逻辑乘法运算，所以又可读作F等于A乘B。为简化书写，可以将A•B简写为AB，省略表示与或者乘的符号“•”。
用1表示开关接通，1表示灯亮，可得图1-4（b）的真值表。
与的 含义是：只有当决定一事件的所有条件全部具备时，这个事件才会发生。在逻辑电路中，把能实现与运算的基本单元叫做与门，其逻辑符号如图1-4（c）所示。
| A | B | F |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
（a） (b) (c)
图1-4 与逻辑电路、真值表和逻辑符号
逻辑函数F与逻辑变量A、B的与运算表达式为
F=A • B
表达式F=
称作逻辑变量A、B的与非，其真值表和逻辑符号如图1-5所示。
| A | B | F |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
（a） （b）
图1-5与非逻辑的真值表和逻辑符号
3. 或逻辑、或非逻辑
决定事件的全部条件至少有一个满足时，事件就发生，把这种因果关系称作或逻辑关系。
在图 1-6(a)中，当开关A 或者开关B 闭合时，灯F就会亮，也即当逻辑变量A 或者B 的取值为1 时，F的值就会为1。可见，对灯F亮这件事情而言，开关A、开关B 闭合是逻辑或的关系，并记作F = A + B ，读作F等于A 或B，把这种运算叫做逻辑或运算，简称为或运算。或运算和算术运算中的加法运算是一样的，所以有时又叫逻辑加法运算，所以又可读作F等于A加B。其真值表如图1-6（b）。
或的含义是：只要有一个或一个以上的条件具备时，这个事件就发生。在逻辑电路中，把能实现或运算的基本单元叫做或门，其逻辑符号如图1-6（c）所示。
逻辑函数Y与逻辑变量A、B的或运算表达式为
F = A + B
| A | B | F |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
(a) (b) (c)
图1-6 或逻辑电路、真值表和逻辑符号
表达式F=
称作逻辑变量A、B的或非，其真值表和逻辑符号如图1-7所示。
| A | B | F |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
图1-7 或非逻辑的真值表和逻辑符号
4. 同或和异或逻辑
逻辑表达式
表示A和B的异或运算，其真值表和逻辑符号如图1-8所示。从真值表中可以看出，异或运算的含义是：当输入变量相同时，输出为0; 当输入变量不同时，输出为1。又可表示为F=A⊕B， 符号“⊕”读做异或。
图1-8 的真值表和逻辑符号
逻辑表达式
表示A和B的同或运算，其真值表和逻辑符号如图1-9所示。从真值表中可以看出，同或运算的含义是：当输入变量相同时，输出为1; 当输入变量不同时，输出为0。又可表示为F=A⊙B， 符号“⊙”读做同或。
图1-9 的真值表和逻辑符号
通过图1-8和图1-9的真值表也可以看出，异或和同或互为非运算。
实际的逻辑问题往往十分复杂，但是它们可以通过基本逻辑关系的组合来实现，如：
为与非运算；
为或非运算；
为与或非运算；
F=A(B+C)+DEF 为复杂运算。
在复合逻辑运算中要特别注意运算的优先顺序，该优先顺序为： ① 圆括号； ②非运算； ③ 与运算； ④ 或运算。
二、逻辑函数的基本公式和常用公式
分析研究各种逻辑事件、逻辑电路，就必须借助逻辑代数这一数学工具。在逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用字母A、B、C、……表示。逻辑变量只有两种取值：真和假，一般“1”表示真，“0”表示假。表达式F=AB等称为逻辑函数。掌握逻辑函数的运算是研究数字电路的基础。
1. 基本公式
表1-5给出了逻辑代数的基本公式。
表1-5 逻辑代数的基本公式
以上公式的证明是非常容易的。最直接的方法是将各变量的各种可能取值逐一代入到等式中进行计算，列出其真值表。若等号两边的值相等，则等式成立，否则就不成立。下面以公式17 和18 的证明为例，说明这种证明方法，其余公式自行证明。
【例 1-9】证明公式 17 A + B •C =(A + B) •(A + C)
解：将A、B、C 所有可能的取值组合逐一代入到上式的两边进行计算，列出真值表，如表1-6 所示。由表可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。
表 1-6 公式17 的真值表
【例1-10】证明公式 18 
解：将变量A、B 所有可能的取值逐一代入到上式进行计算，列出真值表如表1-7 所示。由表可见，等式两边对应的真值表相同，故等式成立。
表 1-7 公式18 的真值表
1. 常用公式
利用前面介绍的基本公式，可以导出一些比较常用公式。如表1-8 所示列出了几个常用公式。灵活运用这些公式可以给逻辑函数的化简和变换带来很大的方便。
表1-8 若干常用公式
上述公式请自行证明。
2. 逻辑代数的三个基本规则
（1）代入规则
在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。这就是所谓的代入定理。
由于任何变量都仅有0和1两种可能状态，所以变量为0 还是1代入到逻辑等式，等
式都一定成立。而任何逻辑函数的取值也仅有0 和1 两种，所以用它取代等式中的同一变量时，等式仍然成立。因此，可以把代入定理看作无须证明的公理。
如已知
，若以(B + C)代入到等式中B的位置，等式仍然成立，故
（2）反演规则
对于任意一个函数表达式Y，若将等式中所有的“•”换成“+”，“+”换成“•”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y的反函数，这个规律叫做反演定理。
利用反演定理可以很容易地求出一个逻辑函数的反函数。在运用反演定理时要注意遵循以下两个规则：
①需遵守“先括号、后乘积、最后加”的运算优先顺序；
②不是一个变量上的非号应保持不变。
【例 1-11】已知Y = Y = A(B + C) + CD，求Y的反函数。
根据反演定理可知
【例 1-12】已知
，求Y的反函数。
根据反演定理可知
（3）对偶规则
对于任何一个逻辑函数表达式 Y，若将等式中所有的“•”换成“+”，“+”换成“•”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到一个新的逻辑式Y′，这个Y′就叫Y的对偶式。
或者说Y和Y′互为对偶式。
若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶定理。在有些情况下，为了证明两个逻辑式相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成，这样可以大大简化证明的过程。
例如，F=A•(B+C),则对偶式F′=A+BC。
3. 逻辑函数的表示方法
逻辑函数的表示方法主要有：逻辑函数表达式、真值表、卡诺图、逻辑图。
（1） 逻辑函数表达式
用与、或、非等逻辑运算表示逻辑变量之间关系的代数式，叫做逻辑函数表达式，例如，F=A+B,F=A+BC等。
（2） 真值表
每一个逻辑变量均有 0、1 两种取值，n 个变量共有2n种不同取值组合，将它们按顺序(一般按二进制递增规律)排列起来，并在相应的位置填入函数的值，即可得到逻辑函数的真值表。
【例 1-13】列出逻辑函数 Y = AB + BC + AC的真值表。
解：A、B、C三个变量共有八种取值组合，将所有组合代入表达式Y = AB +BC + AC
中进行运算，并按照对应关系以表格的形式列写出来。得到如表1-9所示的表格就是逻辑
函数Y 的真值表。
表1-9 例1-13 逻辑函数Y的真值表
（3） 卡诺图
卡诺图是真值表的一种方块图表达形式，其变量的取值必须按照循环码的顺序排列，与真值表有着严格的一一对应关系，因此卡诺图也叫真值方格图。
（4） 逻辑图
由逻辑符号表示的逻辑函数的图形叫做逻辑电路图，简称逻辑图。例如：F=B+AC 的逻辑图如图1-10所示。
图1-10 逻辑图
三．逻辑函数的化简
在数字电路中，用集成电路实现逻辑函数时，一般情况下要用到逻辑函数的最简表达式，或某种简化形式。一个逻辑函数的表达式越简单，它所表示的逻辑关系就越明显，实现它的电路也就越简单，同时可靠性也得到了提高。因此，通常需要通过一定的化简手段找出逻辑函数的最简形式。
在各种逻辑函数表达式中，最常用的是与或表达式，与或表达式就是用逻辑函数的原变量和反变量组合成多个逻辑乘积项，再将这些逻辑乘积项逻辑相加而成的表达式。所谓化简，一般是指化为最简的与或表达式。
判断与或表达式是否最简的条件是：
（1） 逻辑乘积项最少；
（2） 每个乘积项中变量最少
化简逻辑函数的常用方法有两种：一种是公式化简法，它利用逻辑代数中的基本公式、常用公式和定理进行化简；另一种是图形化简法，它利用逻辑函数的卡诺图中最小项的相邻性进行化简。
1． 逻辑函数的公式法化简
公式化简法，就是利用逻辑代数的基本公式、常用公式和定理消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以获得函数式的最简形式。逻辑函数的公式化简法经常用的方法有并项法、吸收法、消去法和配项法。
（1） 并项法
利用公式
，可以将两项合并为一项，消去一个变量，例如：
（2） 吸收法
利用公式A+AB=A，吸收掉多余的项。例如：
Y=AB+A(C+D)B=AB
（3） 消去法
利用公式
（4） 配项法
利用公式B=B(A+)，添上(A+)作配项用，消去更多的项。
例如：
【例 1-14】
2． 逻辑函数的卡诺图化简
卡诺图卡诺图是用来化简逻辑函数的。由英国工程师Karnaugh首先提出，也称卡诺图为K图。卡诺图就是逻辑函数变量的最小项按一定规则排列起来，构成的正方形或矩形的方格图。图中分成若干个小方格，每个小方格填入一个最小项，按一定的规则把小方格中所有的最小项进行合并处理，就可得到简化的逻辑函数表达式，这就是卡诺图化简法。在介绍卡诺图之前，我们先来学习一下最小项的概念。
（1） 最小项和最小项表达式
对于 n 变量的逻辑函数，若m为包含n个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量
或反变量的形式在m 中出现且仅出现一次，则称m 是这n个变量的一个最小项。对于n变
量的逻辑函数，由于每个变量都有原变量和反变量两种形式，所以共有2n个最小项。
例如：一个变量A有两个最小项：
、
；
两个变量A、B有四个最小项：
、
、
、
；
三个变量A、B、C有八个最小项：
、
、
、
、
、
、
、
。
在 n 变量的逻辑函数中，输入变量的任何取值都使一个对应的最小项的值等于1。若把对应输入变量的取值看成一个二进制数，用这个二进制数所表示的十进制数来标记这个最小项，就可以得到这个最小项的编号。按照这种约定，可以得到三变量所有最小项的编号表，如表1-10 所示。
表1-10 三变量最小项的编号表
从表中可以看出，最小项具有如下几个重要性质：
(1)在输入变量的任何取值下，有且仅有一个最小项的值为1；
(2)任意两个不同的最小项之积恒为0；
(3)变量全部最小项之和恒为1；
(4)两个具有相邻性的最小项的和可以合并成一项并消去一对不同因子。
若两个最小项只有一个变量不同，则称这两个最小项具有相邻性。这两个最小项相加时可以合并成一项，并消去一对不同的因子。如
和
两个最小项仅有最后一个因子不同，则它们具有相邻性，且有 +
= AB(
+ C)= AB。
【例 1-15】写出F(A、B、C)=AB+
C的最小项表达式。
= AB +
= AB(
+ C)+（
）
C
=
=
或 =
或 
=
【例 1-16】一个三变量的逻辑函数的真值表如表1-11所示，写出其最小项表达式。
表1-11 一个三变量的逻辑函数的真值表
| A B C | Y |
| 0 0 0 | 0 |
| 0 0 1 | 0 |
| 0 1 0 | 0 |
| 0 1 1 | 0 |
| 1 0 0 | 0 |
| 1 0 1 | 1 |
| 1 1 0 | 1 |
| 1 1 1 | 1 |
首先从真值表中找出使逻辑函数Y为1的变量取值组合，并写出这些变量组合相对应的最小项，最后将这些最小项相或，即得到该逻辑函数Y的最小项表达式。
由真值表可得：
或写成： 
或写成： 
或
（2） 卡诺图
将n变量的全部
个最小项各用一个小方块来表示，并按照循环码排列变量取值顺序，也即按照逻辑相邻性排列所有最小项对应的小方块，使得小方块在几何位置上也相邻地排列起来，这样得到的图形就叫做n 变量最小项的卡诺图。
按照以上方法可以得到二到五变量最小项的卡诺图，如图 1-11所示。
图 1-11 二到五变量的最小项卡诺图
图中小方格中m的下标数字代表相应最小项的编号。根据逻辑函数的最小项表达式，就可以得到该逻辑函数相应的卡诺图。具体的做法为：在表达式中出现的最小项所对应的小方格内填1，不出现的最小项在其对应的小方格内填0或者不填。
【例 1-17】已知逻辑函数为F（A,B,C）=m5+m6+m7，画出该逻辑函数的卡诺图。
解：画出三变量卡诺图的一般形式，在该图中将对应于最小项编号为5，6，7的位置填1，其余位置空这着不填，即可得到该逻辑函数的卡诺图。如图1-12所示。
| 
| 00 | 01 | 11 | 10 |
| 0 |
|
|
|
|
| 1 |
| 1 | 1 | 1 |
图1-12 例1-17的卡诺图
（3） 逻辑函数的卡诺图化简法
卡诺图逻辑相邻性的特点保证了在卡诺图中相邻两方格所代表的最小项只有一个变量不同。因此，若相邻的方格都为1，则对应的最小项可以合并，合并后的结果是消去不同的变量，只保留相同的变量，这是图形化简法的依据。合并最小项的规则是由卡诺图的性质决定的，下面我们来学习这些性质。
性质1：卡诺图中两个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并消去一个变量。
性质2：卡诺图中四个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并消去两个变量。
性质3：卡诺图中
个相邻1格的最小项可以合并成一个与项，并消去n个变量。
例如：图1-13是两个1格合并消去一个变量。
图1-13 两个1格合并后消去一个变量
例如：图1-14是四个1格合并消去两个变量。
图1-14 四个1格合并后消去两个变量
用卡诺图化简的步骤为：
1）将逻辑函数化成与或式，然后画出其卡诺图；
2）按最简原则画出必要的圈；
3）求出每个圈对应的与项，然后相加。
【例 1-18】用卡诺图化简函数
从表达式中可以看出, F为四变量的逻辑函数，但是有的乘积项中缺少一个变量，不符合最小项的规定。因此，每个乘积项中都要将缺少的变量先补上。所以
根据上式画出卡诺图如图1-15所示。 对其进行化简，得到最简表达式为
图1-15 例1-18的卡诺图
【例 1-19】利用图形法化简逻辑函数
。
解：(1) 画出逻辑函数Y 的卡诺图，如图1-16 所示。
(2) 合并最小项，合并方式有图(a)和图(b)两种。
(3) 写出最简与或表达式。
按图(a)合并，则可得到
。
按图(b)合并，则可得到
。
| 
|  00
| 01 |  11
| 10 |
|  0
|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 |
| 00 | 01 | 11 | 10 |
| 0 | 
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 |
(a) (b)
图1-16 例1-19的卡诺图
卡诺图化简应注意以下几个问题：
（1） 列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量的个数。
（2） 画出最小项表达式对应的卡诺图。
（3） 将卡诺图中的1格画圈，不能漏画。
（4） 圈的个数应尽量的少。圈越少，与或表达式的与项就越少。
（5） 圈应尽量的大，圈越大，消去的变量就越多，与项中的变量就越少。
（6） 每个圈应至少包含一个新的1格，否则这个圈就是多余的。
（4） 带有约束项的逻辑函数的卡诺图化简法
实际应用中经常遇到这样的问题，对应于变量的某些取值，函数的值可以是任意的，或者说这些变量的取值根本不会出现。例如，一个逻辑电路的输入为8421BCD码，显然信息中有六个变量组合（1010——1111）是不使用的，这些变量取值所对应的最小项称为约束项。如果电路正常工作，这些约束项决不会出现，那么与这些约束项所对应的电路的输出是什么，也就无所谓了，可以假定为1，也可以假定为0。
约束项的意义在于，它的值可以取0或取1，具体取什么值，可以根据使函数尽量简化这个原则而定。
在逻辑函数表达式中，用
表示约束项。例如
表示最小项
、
为约束项。约束项在卡诺图中用“×”来表示。
【例 1-20】用卡诺图化简逻辑函数
。
解： 该逻辑函数的卡诺图如图1-17（a）所示。对该图可以有两种化简方案：
(1)如图1-17（b）所示,化简结果为
(2)如图1-17（c）所示,化简结果为
(a) (b) (c)
图1-17 例1-20的卡诺图
