高等数学

目录

  • 1 第一章 极限与函数
    • 1.1 函数
      • 1.1.1 集合
      • 1.1.2 函数及其表示
      • 1.1.3 函数的特性
      • 1.1.4 反函数
      • 1.1.5 复合函数
      • 1.1.6 初等函数
    • 1.2 第二节 数列的极限
      • 1.2.1 数列极限的定义
      • 1.2.2 数列极限的性质与运算法则
      • 1.2.3 数列极限存在的判别定理
    • 1.3 函数的极限
      • 1.3.1 自变量趋于有限值时函数的极限
      • 1.3.2 自变量趋于无穷大时函数的极限
      • 1.3.3 函数极限的性质
      • 1.3.4 两个重要的极限
    • 1.4 无穷大与无穷小
      • 1.4.1 无穷小的概念
      • 1.4.2 无穷大的概念
      • 1.4.3 等价无穷小
    • 1.5 连续函数
      • 1.5.1 连续函数的概念
      • 1.5.2 函数的间断点
      • 1.5.3 初等函数的连续性
      • 1.5.4 初等函数的连续性在求函数极限中的应用
      • 1.5.5 连续函数的性质
  • 2 导数与微分
    • 2.1 导数的概念
      • 2.1.1 导数的定义
      • 2.1.2 函数求导举例
      • 2.1.3 导数与连续性
    • 2.2 函数求导法则
      • 2.2.1 四则运算与反函数的求导法则
      • 2.2.2 复合函数的求导法则
    • 2.3 高阶函数
    • 2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的求导法则
      • 2.4.1 隐函数及其求导法则
      • 2.4.2 由参数方程确定的函数的求导法则
    • 2.5 函数的微分
      • 2.5.1 微分的概念
      • 2.5.2 微分的几何意义及其运算法则
      • 2.5.3 微分在近似计算中的应用
    • 2.6 边际与弹性
      • 2.6.1 经济学中的常用函数
      • 2.6.2 边际与弹性函数
  • 3 微分中值定理与导数的应用
    • 3.1 微分中值定理
      • 3.1.1 罗尔定理
      • 3.1.2 中值定理
    • 3.2 罗必达法则
      • 3.2.1 0/0与∞/∞
      • 3.2.2 其他型的未定型
    • 3.3 泰勒公式
      • 3.3.1 泰勒公式
      • 3.3.2 常用函数的泰勒公式
      • 3.3.3 泰勒公式的应用
    • 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
      • 3.4.1 函数的单调性
      • 3.4.2 曲线的凹凸性
    • 3.5 函数的极值与最值
      • 3.5.1 函数的极值
      • 3.5.2 函数的最值及其应用
    • 3.6 函数图形的绘制
    • 3.7 曲率
      • 3.7.1 曲率的概念
      • 3.7.2 曲率与曲率圆
    • 3.8 方程的近似解
  • 4 不定积分
    • 4.1 不定积分的概念与性质
      • 4.1.1 不定积分的概念与性质
      • 4.1.2 基本积分表
    • 4.2 换元积分法
      • 4.2.1 第一类换元积分
      • 4.2.2 第二类换元积分
    • 4.3 分部积分法
    • 4.4 有理函数和能转化成有理函数的积分
      • 4.4.1 有理函数的积分
      • 4.4.2 可以转化为有理函数的积分
  • 5 定积分
    • 5.1 定积分的概念与性质
      • 5.1.1 定积分的概念
      • 5.1.2 定积分的基本性质
    • 5.2 定积分的基本公式
      • 5.2.1 积分上限函数
      • 5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式
    • 5.3 定积分的计算
      • 5.3.1 换元积分法
      • 5.3.2 分部积分法
    • 5.4 广义积分
      • 5.4.1 无限区间上函数的广义积分
      • 5.4.2 无界函数的广义积分
    • 5.5 定积分的应用
      • 5.5.1 面积公式（直角坐标）
      • 5.5.2 面积公式（极坐标）
      • 5.5.3 体积公式、弧长和物理应用
  • 6 空间解析几何概要
    • 6.1 向量及其线性运算
      • 6.1.1 向量的概念及向量的加法
      • 6.1.2 向量的减法与数乘
    • 6.2 直角坐标系
    • 6.3 向量的乘法
      • 6.3.1 向量的数量积
      • 6.3.2 向量的向量积
    • 6.4 曲面与空间曲线及其方程
      • 6.4.1 曲面与方程
      • 6.4.2 球坐标与柱坐标
      • 6.4.3 空间曲线的方程
    • 6.5 平面
      • 6.5.1 平面的方程
      • 6.5.2 平面方程的应用
    • 6.6 空间直线
      • 6.6.1 空间直线的方程
      • 6.6.2 直线方程的应用
    • 6.7 柱面、旋转曲面和二次曲面
      • 6.7.1 柱面
      • 6.7.2 旋转曲面
      • 6.7.3 二次曲面（1）
      • 6.7.4 二次曲面（2）
  • 7 多元函数微分学及其应用
    • 7.1 多元函数的极限与连续
      • 7.1.1 平面点集
      • 7.1.2 多元函数的概念
      • 7.1.3 多元函数的极限
      • 7.1.4 多元函数的连续性
    • 7.2 偏导数
      • 7.2.1 偏导数的定义及其计算
      • 7.2.2 高阶偏导数
      • 7.2.3 偏边际与偏弹性
    • 7.3 全微分
      • 7.3.1 全微分的定义及其计算
      • 7.3.2 全微分在近似计算中的应用
    • 7.4 复合函数的微分法
      • 7.4.1 复合函数求导法则（1）
      • 7.4.2 复合函数求导法则（2）
    • 7.5 隐函数的求导
      • 7.5.1 一个方程的情形
      • 7.5.2 方程组的情形
    • 7.6 多元函数学的几何应用
      • 7.6.1 空间曲线的切线与法平面
      • 7.6.2 曲面的切平面与法线
    • 7.7 方向导数与梯度
      • 7.7.1 方向导数
      • 7.7.2 梯度
    • 7.8 多元函数的极值及其应用
      • 7.8.1 二元函数的极值与最值
      • 7.8.2 条件极值 拉格朗日乘数法
    • 7.9 二元函数的泰勒公式
    • 7.10 最小二乘法
  • 8 多元函数微分学及其应用
    • 8.1 二重积分
      • 8.1.1 二重积分的概念与性质
      • 8.1.2 二重积分计算（直角坐标系）
      • 8.1.3 二重积分计算（极坐标系）
    • 8.2 三重积分
      • 8.2.1 三重积分计算（直角坐标系）
      • 8.2.2 三重积分计算（极坐标系）
    • 8.3 重积分的应用
      • 8.3.1 曲面的面积
      • 8.3.2 物理上的应用
    • 8.4 曲线上的积分
      • 8.4.1 对弧长的曲线积分
      • 8.4.2 对坐标的曲线积分
      • 8.4.3 格林公式及其应用
    • 8.5 曲面上的积分
      • 8.5.1 对面积的曲面积分
      • 8.5.2 对坐标的曲面积分
      • 8.5.3 高斯公式
      • 8.5.4 斯托克斯公式
  • 9 无穷级数
    • 9.1 常数项级数的概念与性质
      • 9.1.1 常数项级数的概念
      • 9.1.2 收敛级数的基本性质
    • 9.2 常数项级数的收敛性判别法
      • 9.2.1 正项级数的收敛性判别法
      • 9.2.2 一般级数的收敛性判别法
      • 9.2.3 绝对收敛与条件收敛
    • 9.3 幂级数
      • 9.3.1 阿贝尔定理
      • 9.3.2 收敛半径与幂级数的计算
    • 9.4 函数展开为幂级数及其应用
      • 9.4.1 泰勒公式
      • 9.4.2 函数展开为幂级数
      • 9.4.3 函数展开为幂级数的应用
    • 9.5 函数项级数的一致收敛性
      • 9.5.1 函数项级数的一致收敛性概念
      • 9.5.2 一致收敛的判别法则
    • 9.6 傅里叶级数
      • 9.6.1 函数展开为傅里叶级数
      • 9.6.2 周期延拓
      • 9.6.3 一般周期函数
  • 10 常微分方程
    • 10.1 常微分方程的基本概念
    • 10.2 一阶微分方程
      • 10.2.1 可分离变量方程 齐次方程
      • 10.2.2 一阶线性方程
      • 10.2.3 全微分方程
      • 10.2.4 一阶方程的近似解
    • 10.3 可降阶的高阶方程
    • 10.4 高阶线性方程
    • 10.5 常系数线性方程
      • 10.5.1 二阶常系数齐次线性方程
      • 10.5.2 高阶常系数齐次线性方程
      • 10.5.3 非齐次方程通解
      • 10.5.4 欧拉方程
    • 10.6 微分方程的幂级数解法
    • 10.7 常系数线性微分方程组
    • 10.8 微分方程应用举例
  • 11 差分方程简介
    • 11.1 差分与差分方程
    • 11.2 一阶常系数线性差分方程
      • 11.2.1 一阶常系数齐次差分方程求解
      • 11.2.2 一阶常系数非齐次差分方程求解
全微分