案例分析

某区人民检察院接到举报，立案侦查该区公安机关警察马某刑讯逼供一案。2020年5月5日，人民检察院决定对马某刑事拘留，5月10日决定对马某进行逮捕。

结合本章内容回答：

（1）刑讯逼供案件应当由哪个机关立案侦查？

（2）人民检察院是否有决定拘留的权力？

（3）人民检察院是否有执行拘留的权力？

（4）人民检察院是否有决定逮捕的权力？

（5）本案在拘留期限上是否违反法律的规定？