消元法的中国元素

教学目标：树立学生的正确的人生观、价值观和价值观，培养爱国敬业的理念，牢记从自己做起，努力学好数学，为祖国数学的发展和祖国的建设刻苦学习，奉献为自己的力量。

案例意义：学习中国数学家刻苦钻研数学的精神，数学古为今用，如何在前人的基础上对数学创新；理解数学广阔的应用前景，激发发学习数学的兴趣。

案例叙述：

消元法是解未知数的个数方程组的非常重要的方法，在线性方程组的求解中有非常好的应用。在用消元法解方程组的历史演变过程中充满了中国元素，对世界数学的发展有重要的影响。

中国在两汉时期就能解一次方程，古时候称为“方程术”。到了宋元时期又出现了具有世界意义的成就——天元术。那么，当未知数不止一个的时候，怎么列出高次联立方程组求解呢？有这样一道古代数学题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔及长各几步？答曰：阔二十四步，长三十六步”。这就是说，长方形田地的面积等于八度六四平方步，长与宽的和是六十步，长与宽各多少步？此题列成方程式即是：xy＝864，x+y=60，其中x、y分别表示田的长和宽，这是一个二元二次方程组问题，此题选自我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》一书。这说明，我国宋代数学家就已结合生产实践对多元高次方程组有了研究。那么，有没有三元回三次方程组，四元四次方程组呢？当然有。早在宋、元时期，我国数学家就圆满地解决了这个问题。

元代数学家朱世杰，在与他同时代的数学家秦九韶、李治所创立的一元高次方程的数值解法和天元术的基础上，进一步发展了“四元术”，创造了用消元法解二、三、四元高次方程组的方法。朱世杰这—重大发明，都记录在他的杰作《四元玉鉴》一书中。

朱世杰是元代数学家、教育家，毕生从事数学教育。有“中世纪世界最伟大的数学家”之誉。朱世杰在当时天元术的基础上发展出“四元术”，也就是列出四元高次多项式方程，以及消元求解的方法。此外他还创造出“垛积法”，即高阶等差数列的求和方法，与“招差术”，即高次内插法。主要著作是《算学启蒙》与《四元玉鉴》。与《算学启蒙》的通俗性相比，《四元玉鉴》则是朱世杰多年研究成果的结晶，其中最重要的成果是，把李冶的天元术从一个未知数推广到二元、三元乃至四元高次联立方程组上，这就是所谓的“四元术”。

　　朱世杰的“四元术”是这样的，令常数项居中，然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”。也就是说，他用天、地、人、物来表示四个未知数，即今天的x、y、z、w。例如，方程x+ 2y+3z+4w+5xy+6zw=A可以用一种图表来表示，他不仅给出了这种图表的四则运算法则，还发明了消元法，可以依次消元，最后只留一个未知数，从而求得整个方程的解。欧洲直到18世纪，才由西尔维斯特、凯莱等人用近代方法对消元法进行了较为全面的研究。美国人乔治萨顿被公认为是科学史的奠基人。他评价朱世杰是“一位最杰出的数学家”，称赞《四元玉鉴》是“中世纪最杰出的数学著作之一”。

　　著名数学家、中国科学院院士、首届国家最高科学技术奖获得者吴文俊在拓扑学、数学机械化和中国数学史研究领域做出了划时代的成就，为我国的现代数学事业和数学史学科发展做出了卓越的贡献。

上世纪70年代，吴文俊先生将研究兴趣转向中国古代数学。他以敏锐的目光和深邃的思想把中国传统数学的特点概括为构造性与机械化，不仅将其成功地应用于数学机械化新领域，成为古为今用、自主创新的典范，而且也开创和引领了继李俨（1892—1963）、钱宝琮（1892—1974）之后中国数学史研究的新局面。在多部数学史著作的序言中阐明自己对中国传统数学及其研究方法的认识，逐渐形成了独到的具有鲜明时代特色、影响深远的数学史认识论和方法论，即“吴文俊数学史观”， 为弘扬中国古代数学文化作出了巨大贡献 。

“古为今用”——开创数学机械化的新领域

　　所谓“古为今用”，就是要从历史上的数学思想方法中获得借鉴和教益，以历史借鉴和教益来促进现实的数学研究，这是数学史研究的重要意义和价值之所在。吴文俊的数学史研究自始至终都自觉地贯彻了“古为今用”的原则，这是他学术研究的鲜明特点，其数学机械化理论的创立就是在“古为今用”的原则指导下将数学史研究成果应用于现代数学研究而取得的卓越成就。

　　吴文俊在解多元高次方程组方面取得了重要突破，他创造的“三角化整序法”是目前唯一完整的非线性多项式方程组消元解法，在国际数学界被称为“吴方法”，而“吴方法”的思想恰恰来自中国古代数学的启示，特别是受到元代数学家朱世杰（1249—1314）的“四元术”的启示。吴文俊明确指出：

“我解方程的方法基本上可以说是从朱世杰那儿来的，他用消去法，一个个消元，方法上可以说有个原始的样板。当然朱世杰没有什么理论，很粗糙；我发展下来，有一个真正现代数学的基础，就是代数几何。”

　　他不仅说明了自己数学创造的思想来源，同时也启示我们，从“历史借鉴”升华到“理论创新”，不仅需要数学家有敏锐的历史洞察力，而且更需要有高度的独创性思维。吴文俊正是借助现代代数几何的理论和工具，打破了代数几何领域中的理想论论式传统，恢复了零点集论式，建立了“三角化整序法”，在现代代数几何的基础上发展了中国古代“四元术”的消去法。以上这些构成了吴文俊“数学机械化”思想的主要内容。

中国科学技术大学潘建伟领衔的量子光学和量子信息团队的陆朝阳、刘乃乐研究小组,在国际上首次成功实现了用量子计算机求解线性方程组的实验。线性方程组广泛地应用于几乎每一个科学和工程领域,包括数值计算、信号处理、经济学和计算机科学等。比如与我们日常生活紧密相关的气象预报,就需要建立并求解包含百万变量的线性方程组,来实现对大气中各种物理参数(温度、气压、湿度等)的模拟。