课前学习任务

我们在第一章学习了线性方程组的解法，在第二章利用矩阵运算简洁地表达线性方程组并用矩阵的秩刻画解的数量情况，然后在第三章利用行列式给出了未知元和方程数量一致时解的公式.  但这些都没有告诉我们解集的“样子”，尚未揭示出解集的结构.  而对于结构的关注是现代数学的一大特点和潮流.

我们先快速回顾下齐次线性方程组的基本概念. 在数域 上，对于由 m 个 n 元齐次线性方程所成的方程组，它的全部数据可由系数矩阵  来表达.  而 n 个未知元通常记作 ，整体上可由它们组成的列向量  来表示. 于是该齐次线性方程组就可以写成矩阵形式 AX=0.

如果某个列向量  满足 ，则称 是齐次线性方程组 AX=0 的解.  而解的全体所成的集合称为解集，它是向量空间  的一个非空子集，因为零向量（零解）总在其中.

课堂学习资料

课后学习任务

我们已经知道，齐次线性方程组的解集是子空间，这表明由方程这种代数对象能够确定出几何对象.  那么自然地要考虑反过来的问题，也就是几何对象能否翻译成代数方程.  具体来说，设 W 是  的任意子空间，我们希望找到一个矩阵 A，使得齐次线性方程组 AX=0 的解集恰为 W.

若 W 为零空间，则只需取 A 为单位矩阵；若 W 为全空间，取 A 为零矩阵即可；接下来重点讨论一般情形.

设 W 的一个基为 ，并令矩阵 .  我们希望找一个矩阵 A 使 AB=O，而这等价于 .  显然 ，设  为齐次线性方程组  的一个基础解系.  只需令 ，则 AB=O 且 rank(A)=n-s.  于是齐次线性方程组 AX=0 之解空间为 s 维且包含了 W 的基 ，故 AX=0 的解空间恰为 W.