数学分析1

刘艳芹

目录

  • 1 实数集与函数
    • 1.1 确界原理
    • 1.2 函数的有界性
    • 1.3 第一章测试
  • 2 数列极限
    • 2.1 数列极限的定义
    • 2.2 收敛数列的性质
      • 2.2.1 收敛数列的性质I
      • 2.2.2 收敛数列的性质II
    • 2.3 数列与子列的关系
    • 2.4 数列的单调有界定理
    • 2.5 数列的Cauchy收敛准则
    • 2.6 Cauchy收敛准则的应用
    • 2.7 第二章测试
  • 3 函数极限
    • 3.1 函数极限的定义
    • 3.2 函数极限的性质
    • 3.3 函数极限的运算法则
    • 3.4 归结原则
    • 3.5 单调有界定理
    • 3.6 柯西准则
    • 3.7 两个重要极限
      • 3.7.1 第一个重要极限
      • 3.7.2 第二个重要极限
    • 3.8 无穷小
      • 3.8.1 无穷小的比较
      • 3.8.2 无穷小的等价代换
    • 3.9 无穷大量
    • 3.10 第三章测试
  • 4 函数的连续性
    • 4.1 函数的连续性
    • 4.2 间断点及其分类
    • 4.3 最大值最小值定理
    • 4.4 介值性定理
    • 4.5 一致连续性概念
    • 4.6 一致连续性定理
    • 4.7 第四章测试
  • 5 导数与微分
    • 5.1 导数的概念
    • 5.2 求导法则
    • 5.3 复合函数的求导法则
    • 5.4 参变量函数的导数
    • 5.5 高阶导数
    • 5.6 微分
    • 5.7 第五章测试
  • 6 微分中值定理及其应用
    • 6.1 Rolle定理
    • 6.2 Language定理
    • 6.3 Cauchy定理
    • 6.4 Taylor公式
    • 6.5 导函数的两个性质
    • 6.6 不定式的极限
    • 6.7 极值的充分条件
    • 6.8 函数的凹凸性
    • 6.9 第六章测试
  • 7 第七章 关于实数集完备性的基本定理
    • 7.1 区间套定理
    • 7.2 区间套定理应用
    • 7.3 聚点定理及致密性定理
    • 7.4 致密性定理应用
    • 7.5 有限覆盖定理
    • 7.6 实数完备性定理的等价性
  • 8 第八章 不定积分
    • 8.1 不定积分概念与基本积分公式
      • 8.1.1 原函数与不定积分
      • 8.1.2 不定积分的线性运算法则
    • 8.2 换元积分法与分部积分法
      • 8.2.1 第一换元积分法
      • 8.2.2 第二换元积分法
      • 8.2.3 分部积分法
    • 8.3 有理函数和可化为有理函数的不定积分
      • 8.3.1 有理函数的不定积分
      • 8.3.2 三角函数有理式的不定积分
      • 8.3.3 某些无理函数的不定积分
  • 9 第九章 定积分
    • 9.1 定积分概念
    • 9.2 牛顿—莱布尼茨公式
    • 9.3 可积条件
    • 9.4 定积分的性质
      • 9.4.1 定积分的性质（一）
      • 9.4.2 定积分的性质（二）与积分中值定理
    • 9.5 微积分学基本定理
      • 9.5.1 变限积分与原函数的存在性
      • 9.5.2 换元积分法
      • 9.5.3 分部积分法与泰勒公式的积分型余项
    • 9.6 可积性理论补叙
  • 10 第十章 定积分的应用
    • 10.1 平面图形的面积
    • 10.2 由平行截面面积求体积
    • 10.3 平面曲线的弧长与曲率
      • 10.3.1 平面曲线的弧长
      • 10.3.2 平面曲线的曲率
    • 10.4 旋转曲面的面积
    • 10.5 定积分在物理中的某些应用
  • 11 第十一章 反常积分
    • 11.1 反常积分概念
      • 11.1.1 无穷积分的概念
      • 11.1.2 瑕积分的概念
    • 11.2 无穷积分的性质与收敛判别
      • 11.2.1 无穷积分收敛的柯西准则；无穷积分的性质；无穷积分计算的分部积分法
      • 11.2.2 非负函数无穷积分收敛性判别法
      • 11.2.3 一般函数无穷积分收敛的狄利克雷判别法、阿贝尔判别法
    • 11.3 瑕穷积分的性质与收敛判别
      • 11.3.1 瑕积分收敛的柯西准则；瑕积分的性质；非负函数瑕积分收敛性判别法
      • 11.3.2 一般函数瑕积分收敛的狄利克雷判别法、阿贝尔判别法
  • 12 第十二章 数项级数
    • 12.1 级数的收敛性
      • 12.1.1 级数收敛的概念
      • 12.1.2 级数收敛的柯西准则
      • 12.1.3 收敛级数的性质
    • 12.2 正项级数
      • 12.2.1 正项级数收敛的一般判别原则，比较原则
      • 12.2.2 比式判别法
      • 12.2.3 根式判别法
      • 12.2.4 积分判别法
    • 12.3 一般项级数
      • 12.3.1 交错级数
      • 12.3.2 绝对收敛级数及其性质
      • 12.3.3 阿贝尔判别法、狄利克列判别法
  • 13 第十三章 函数项级数
    • 13.1 一致收敛性
      • 13.1.1 函数列及其一致收敛的概念
      • 13.1.2 函数列一致收敛的柯西准则、余项准则
      • 13.1.3 函数项级数及其一致收敛的概念；函数级数一致收敛的柯西准则、余项准则
      • 13.1.4 函数级数一致收敛的优级数判别法
      • 13.1.5 函数级数一致收敛的狄利克雷判别法、阿贝尔判别法
    • 13.2 一致收敛的函数列与函数项级数的性质
      • 13.2.1 一致收敛的函数列的极限交换性、连续性、可积性
      • 13.2.2 一致收敛的函数列的可微性
      • 13.2.3 一致收敛的函数项级数的连续性、可积性、可微性
  • 14 第十四章 幂级数
    • 14.1 幂级数
      • 14.1.1 幂级数的收敛域
      • 14.1.2 幂级数的性质，幂级数的运算
    • 14.2 函数的幂级数展开
  • 15 第十五章 傅里叶级数
    • 15.1 傅里叶级数
      • 15.1.1 三角级数·正交系、以2π为周期的函数傅里叶级数
      • 15.1.2 傅里叶级数收敛定理
    • 15.2 以2l为周期的函数的展开
      • 15.2.1 以2l为周期的函数的傅里叶级数
      • 15.2.2 偶函数、奇函数的傅里叶级数
    • 15.3 傅里叶级数收敛定理的证明
      • 15.3.1 两个预备引理
      • 15.3.2 收敛定理的证明
区间套定理应用
  • 1 学习视频
  • 2 课件

柯西收敛准则的证明


证明柯西收敛准则,

即证明数列{an} 收敛的充要条件是: 对任意的