为什么运输问题约束条件系数矩阵的秩是m+n-1

课堂录播：运输问题的数学模型

产销平衡运输问题的数学模型可表示如下：

式中min表示求极小值，因为目标函数表示运输总费用，要求其极小化，S.T.表示“约束条件为”。约束条件中前m行的意义是由某一个产地Ai运往各个销地的物品数量xij之和等于该产地的产量ai，后n行的意义是由某一个产地Bj运往各个销地的物品数量xij之和等于该销地的销量bi，最后一行表示变量非负约束，因为物品为负数无意义。

如果运输问题的总产量等于总销量，即有

当ɑi，bj满足此条件时称为产销平衡的运输问题，否则称为产销不平衡的运输问题。产销不平衡的运输问题可以通过增加假想产地或假想销地，化成产销平衡的运输问题。

以上模型是一种线性规划模型，单纯形法师求解线性规划问题十分有效的一般方法，因而单纯形法也可以求解运输问题。但是采用线性规划的单纯形法求解运输问题时，先得在每个约束条件中引入一个人工变量，即使求解3个产地，4个销地(m=3,n=4)这样的简单运输问题，在不考虑去掉多余约束条件的情况下，变量数目也会达到19个之多，因而需要寻求更简便的解法。