学习目标：1）掌握非周期函数的傅立叶变换及逆变换的定义及计算：公式法计算及查表法计算

2）掌握单位脉冲函数定义性质及阶跃函数定义，推导几个重要、常用公式。

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傅立叶变换章节课程思政内容，阅读下面内容并完成后面测验：

傅立（里）叶（Jean Baptiste Joseph Fourier,）（1768-1830）是法国数学家、物理家，以他名字命名的傅立叶级数及变换对数学这门学科的发展产生了深刻的影响，并在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等科学及工程领域一直具有广泛的应用并且仍然继续具有很大的应用价值，其中应用于数码电视、数码通信改变我们的生活。

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768年3月21日-1830年5月16日），法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家。

1780年，就读于地方军校。1795年，任巴黎综合工科大学助教，跟随拿破仑军队远征埃及，成为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官。1817年，当选法国科学院院士。1822年，担任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，敕封为男爵。主要贡献是在研究《热的传播》和《热的分析理论》，创立一套数学理论，对19世纪的数学和物理学的发展都产生了深远影响。

1830年5月16日，在巴黎去世，时年六十三岁。其墓地现位于拉雪兹神父公墓。

傅里叶生于法国中部欧塞尔（Auxerre）一个裁缝家庭，9岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。1780年起就读于地方军校，1795年任巴黎综合工科大学助教，1798年随拿破仑军队远征埃及，受到拿破仑器重，回国后于1801年被任命为伊泽尔省格伦诺布尔地方长官 ^[1]  。

傅里叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未正式发表。傅里叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。傅里叶由于对传热理论的贡献于1817年当选为巴黎科学院院士。

年轻时的傅里叶的画像。

1822年，傅里叶终于出版了专著《热的解析理论》（Theorieanalytique de la Chaleur ，Didot ，Paris，1822）。这部经典著作将欧拉、伯努利等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展成内容丰富的一般理论，三角级数后来就以傅里叶的名字命名。傅里叶应用三角级数求解热传导方程，为了处理无穷区域的热传导问题又导出了当前所称的“傅里叶积分”，这一切都极大地推动了偏微分方程边值问题的研究。然而傅里叶的工作意义远不止此，它迫使人们对函数概念作修正、推广，特别是引起了对不连续函数的探讨；三角级数收敛性问题更刺激了集合论的诞生。因此，《热的解析理论》影响了整个19世纪分析严格化的进程。傅里叶1822年成为科学院终身秘书。

数学研究

1、让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。

2、最早使用定积分符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根个数的判别法等。

3、傅里叶变换的基本思想首先由傅里叶提出，所以以其名字来命名以示纪念。从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

4、傅里叶变换属于调和分析的内容。分析二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，“分析”二字，实际就是条分缕析而已。它通过对函数的条分缕析来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。

5、在数学领域，也是这样，尽管最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似。奇妙的是，现代数学发现傅里叶变换具有非常好的性质，使得它如此的好用和有用，让人不得不感叹造物的神奇。

傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。

3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的傅里叶求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。

4、著名的卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。

5、离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT))。

正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。