《高等几何》云教材充分运用数学教学技术工具展示射影学概念和定理，结合微课视频、合成语音、动画、扩充阅读、GGB课程等形式阐述解析法和综合法在平面射影几何理论方面应用，揭示射影几何学不变量和不变性．一方面使学习者加深对中学几何特别是解析几何、高等代数理论与方法的理解，从而获得用高观点来处理中学几何问题的能力，为未来的中学几何教学打下基础；再者，本课程包括了许多著名的定理，奇妙的图形，如第一章第一节重点介绍了作图方法，通过数学软件作图化抽象为具体，有助于理解高等几何知识。本课程通过对“仿射变换”“射影平面”“交比”“完全四点形”“Pappus定理”“二维射影坐标系”“配极变换”等知识点的初等几何背景追踪及教学法处理，呈现出上述知识点的教育形态，帮助学生内化高等几何的基本观念，提高理解层次，更好地引导学生提高运用高等几何的思想分析处理中学数学问题的能力．    

高等几何是高等师范院校数学专业的基础课程之一，其目标是是学生认识射影空间的基本特征和研究方法，了解射影空间与仿射空间、欧氏空间的内在联系，明确射影几何与仿射几何、欧氏几何的关系．本课程注重将“学术形态”的高等几何内容转化为“教育形态”，在保持高等几何本质要素的基础上，从学生原有的经验（高等代数、解析几何）和认知（数学软件作图）出发，形成高等几何的概念和方法，抛开学术形态的概念，在相关的生活情境中运用抽象分析法揭示抽象的概念，引导学习者结合对初等几何问题审视来内化射影几何学的新概念，激发学生学习射影几何的兴趣，为进一步学习现代数学做准备，同时也为学生将来从事初等几何的教学做理论上的准备．

讨论之前，必须介绍关于高等几何的一些基本知识。

       首先是关于背景的。高等几何是师范类大学数学专业的必修课程，其主要内容为数学的分支——射影几何。这里有两点必须提及，第一这是师范类大学的重要课程，非师范类的理工大学数学专业并无此课程，原因是开设此课程对师范类学生日后的中学几何教学有帮助；第二是其内容包括仿射几何和射影几何等，但是以射影几何为主，前者是后者的特殊情形，证明涉及复杂的数学推导。

讲稿：

• 射影几何具有悠久的发展历史·远在公元前 四 世纪，古希腊人已经发现了圆锥曲线。公元前三世纪，希腊数学家欧几里得(Euclid)和阿波罗尼(Apollonius)都发表了关于圆锥曲线的专门著作，他们发现了关于圆锥曲线许多有趣的性质，这些性质属于现在射影几何的内容。

• 十五世纪和十六世纪，欧洲的学者由于绘画、雕塑和建筑的需要，发现了透视原理，到了十七世纪，法国数学家笛卡儿(R.     Descartes,1596~1650)引入了直角坐标系，使几何学代数化,许多几何问题归结于代数上的解联立方程组，从而把几何图形的性质归结为一些代数运算,这就是解析几何.

• 解析几何的出现，对于力学     物理学和数学本身的发展，起了很大的推动作用，但是,在另一方面,几何本身仍有它自身的直观性和优美性。与笛卡儿同时代的法国数学家德沙格(G.Desargues，1591~1661)和帕斯卡(B.Pascal，1623~1662 创立了射影几何。 1639 年，德沙格通过对透视的研究，建立了无穷远点和射影空间概念。1649·年，帕斯卡发现了关于圆锥曲线的著名定理。由此，一个优美的数学学科--射影几何产生了.

• 十八世纪是解析几何得到广泛应用的时代，而十九世纪则是射影几何大发展的时代。      

• 射影几何的发展，首先应归功于法国另一个数学家彭色列(J.V.Poncelet，1788~1867)，他于1822 年出版了有名的著作《关于图形的射影性质》，系统研究了图形在中心射影之下不变的性质。 

• 在这之前,射影几何是在欧氏几何的框架里进行研究的.

  但是欧氏几何中的最基本概念--距离，以及角度、面积等性质,在中心射影之下是变化的,既然是这样，为什么射影几何一定要依附于以距离为基石的欧氏几何? 

• 于是,在1847年,德国数学家冯·施道特(K.G.C.von Staudt，1798~1867)等人建立了射影几何自己的公理系统.至此,射影几何作为一个独立的几何学科，基本上完整地建立起来,射影儿何有别于欧氏几何，最显著的差别是射影儿何中没有““直线平行”这个概念，在射影平面中的任意两条不同的射影直线均恰好交于一点。 

• 在这期间,法国数学家庞加莱(H.J.Poincaré,1854~1912)，匈牙利数学家波约依(J.Bolyai,1802~1860)和俄国数学家罗巴切夫斯基(H.И.JoбaqeBcEHй,1792~1856)各自独立地建立了另一些非欧几何的模型，在这些不同的几何学的基础上，1872 年德国数学家克莱因(F.Ch.Klein，1849~1925)在著名的爱尔兰根纲领中给几何学下了一个经典的定义:几何学是研究空间在某个变换群下不变性的一门学问，以上我们扼要地叙述了射影几何的产生和发展，以及射影儿何在整个几何学发展中所处的地位。

• 十九世纪是射影几何的光辉时代，以至于当时英国数学家凯莱(A.Cayley,1821~1895)说过这样一句名言:一切几何都是射影几何!

• 我们打算通俗地介绍平面射影几何当中一些有趣的定理和概念，我们也以大量的例子来说明，如何利用射影几何的知识和方法来解决平面几何学中的问题。

• "从上面关于几何学的发展历程中看出，解析几何和射影几何是以不同的风格平行地前进;与此同时,它们也是相互渗透和相互促进的，在射影几何中采用了解析几何的手段和工具,如射影坐标等。但是，我们在本书中更多的是采用几何方法，以体现射影几何本身的内在美，     我们也说过,射影几何已是一门独立的几何学科,它有着自己的公理系统。但是,作为一本通俗性读物,我们不打算从公理出

 现行高等几何的特征

开设高等几何课程的有工业机械方面的专业，其主要内容偏向于机械制图；测绘专业，侧重于图形绘制等；美术专业，其主要内容为透视；师范专业，其主要内容为射影变换的不变量及其应用，侧重于创新思维和应用能力的培养。

要学好高等几何，主要要去领悟教材中体现出来的思想，去体会“观察——归纳、抽象——研究、创新——应用”这一认识和研究过程。

高等几何的内容如何联系或指导初等几何的学习,是很多人关心的一个问题。如果在学习中能利用射影的观点,侧面地证明一些初等几何问题,不但能巩固所学的有关知识,而且可以获得在比较高的观点上来处理中学几何问题的能力。 高等几何在初等几何中的应用和联系很广,利用高等几何的知识,可以解决用初几方法难于解决的问题。在初等几何中,共线点、共点线是比较棘手的问题,而射影几何正是一种研究图形的点线结合的几何学,所以这类}可题的证明正是它的拿手好戏。

故事听完了，我们看看高等几何对中学几何教学的指导作用。

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教育形态的数学是相对于学术形态的数学而言的．所谓“数学知识的学术形态”是按照逻辑演绎方式进行形式化的表述，显示出一种“冰冷的美丽”（荷兰教育家

语）．数学的教育形态，则是依照人的认知规律作出使人容易接受的陈述，呈现为火热的思考过程．

将“学术形态”的高等几何内容转化为“教育形态”，就是在保持高等几何内容本质要素的基础上，从学生的认知心理出发，以学生原有知识与认知经验为载体传输相关信息，使学生形成关于高等几何的基本观念．其基本方法主要有：引导学生结合对初等几何问题的审视来内化新观念；抛开学术形态的概念，在相关生活情境中运用抽象分析法揭示相关概念．杨俊林教授提出以下几方面的“教育形态”，摘录如下：

“仿射变换”的教育形态

射影平面概念的教育形态

“交比”概念的教育形态

完全四点形定理的教育形态

Ｐａｐｐｕｓ定理的教育形态

构建二维射影坐标系定义的教育形态

“配极变换”的教育形态

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