投影定理

引言

1、 我们知道平面中有点    到直线    的距离概念, 并且点    到垂足    所在直线与    垂直.

2、 本节将上述内容推广到 Hilbert 空间中去. \includegraphics[width=7cm]{pL.jpg}

3、 度量空间中点到集合的距离: 设    是度量空间,   ,   , 则称  

为 **  到    的距离**.

4、 思考.

(1)、 是否 , 即    到    的距离是否可以达到?

(2)、 若达到, 是否唯一?

泛函分析证明078 |

资料/微信群/

(1)、 若没有任何条件, 是不对的. 比如平面上,    到    的距离为   , 但是达不到!

(2)、 我们将证明: 若    是 Hilbert 空间的完备凸子集时, 有肯定的回答!

极小化向量定理

1、 线性空间中的线段: 设    是线性空间,   , 则称  

为联结    的线段.

2、 线性空间中的凸集: 设    是线性空间,   , 若  

则称    是    中凸集.

3、 极小化向量定理: 设    是内积空间,    是    中非空凸集, 并且按    中由内积导出的距离完备, 那么对每个   , 存在唯一的   , 使得  

泛函分析证明079 |

资料/微信群/

(1)、 存在性. 记   , 则由下确界定义,

而  

故  

在 (9.2:1) 中令    得   .

(2)、 唯一性. 若又有   , 则  

这表明   .

4、 极小化向量定理在完备子空间的情形: 设    是内积空间,    是    的一完备子空间, 则对每个   , 存在唯一的   , 使得  

泛函分析证明080 |

资料/微信群/   子空间自然是凸集.

5、 极小化向量定理是内积空间的一个基本定理, 它在微分方程, 现代控制论和逼近论中有重要应用.

内积空间中的正交, 极小化向量的性质

1、 内积空间中的正交: 设    是内积空间,   ,   ,

(1)、 若  

则称 **  互相垂直或正交**, 记作   ;

(2)、 若  

则称 **  与    正交**, 记作   ;

(3)、 若  

则称 **  正交**, 记作   .

(4)、 勾股定理: 设    是内积空间,   ,   , 则  

泛函分析证明081 |

资料/微信群/    

2、 内积空间中极小化向量的性质: 设    是内积空间,    是    的线性空间,   . 若  

则   . 泛函分析证明082 |

资料/微信群/   用反证法. 若    不成立, 则  

而有如下矛盾:  

线性空间中的代数补子空间 (直和)

1、 代数补子空间: 设    是线性空间,    是    的两个子空间, 若  

则称

(1)、    是    和    的直和, 记作   ;

(2)、    和    是    的一对互补子空间;

(3)、    是    的代数补子空间,    是    的代数补子空间.

2、 例.   ,    是一过原点的直线, 则任一过原点但异于    的直线    都是    的代数补子空间.

3、 设    是 线性空间,    是    的两个子空间, 且   , 则  

泛函分析证明083 |

资料/微信群/   用反证法. 若    线性相关, 则存在不全为零的常数   , 使得   .  若   , 则  

若   , 则可类似导出矛盾.

内积空间中的正交补子空间

1、 正交补子空间: 设    是内积空间,    是    的子集, 则称  

为    在    中的正交补.  

2、    是    的闭子空间. 泛函分析证明084 |

资料/微信群/

(1)、 设   ,   , 则  

故 **  是    的线性子空间**.

(2)、 又若 ** **, 则对   ,  

而 ** **. 这表明    是闭集.

3、 若    是    的线性子空间, 则   . 泛函分析证明085 |

资料/微信群/    

4、   . 泛函分析证明086 |

资料/微信群/    

5、   . 泛函分析证明087 |

资料/微信群/   由  

知   . 由上一结论即知   .

6、 记   , 则   . (  包含于其正交补的正交补) 泛函分析证明088 |

资料/微信群/    

Hilbert 空间中的正交分解

1、 投影定理: 设    是 Hilbert 空间,    是    的闭子空间, 则  

泛函分析证明089 |

资料/微信群/

(1)、    是 Hilbert 空间    完备.

(2)、 由   ,    闭    完备.

(3)、 存在性. 由极小化向量定理及内积空间中极小化向量的性质知  

令   , 则    也被唯一确定, 且   ,   .

(4)、 唯一性. 若又有   ,   ,   , 则  

2、 正交和正交投影: 设    是内积空间,    是    的两个子空间, 若  

则称    是    与    的正交和, 记作   ; 而  

记作   .  定义  

为    到    上的映射, 称为投影算子, 其具有性质:

(1)、    是从    到    的有界线性算子, 且当    时,   ; 泛函分析证明090 |

资料/微信群/

(1-1)、 由勾股定理,    知   .

(1-2)、 进一步,   .

(2)、   ,   ,   ;

(3)、   , 其中    是算子的乘积.

3、 投影定理的一个新描述. 设    是 Hilbert 空间,    是    的闭子空间, 则  

4、 正交补的正交补: 设    是 Hilbert 空间,    是    的闭子空间, 则  

泛函分析证明091 |

资料/微信群/   我们有   . 另一方面,  

5、 内积空间中子集的线性包稠密的充要条件: 设    是 Hilbert 空间    中的非空子集, 则  

泛函分析证明092 |

资料/微信群/     :  

:  

9.2-1点到集合的距离

请叙述度量空间中’点到集合的距离‘的概念, 并在平面中求点    到集合    的距离.