有界线性算子空间和共轭空间

有界线性算子全体所成空间

1、 记号: 设    是赋范线性空间, 记  

2、    是赋范线性空间:  

泛函分析证明055 |

资料/微信群/

(1)、   ,   ;  

(2)、  

(这蕴含   )

(3)、  

(这蕴含   )

3、 当    是 Banach 空间时,    也是 Banach 空间. 泛函分析证明056 |

资料/微信群/   设    是    中的 Cauchy 列, 则  

4、 有界线性算子的乘积: 设    是赋范线性空间,   , 则可定义    与    的乘积    如下:  

且由  

知  

5、 赋范代数和 Banach 代数: 设    是赋范线性空间,    中定义了两个向量的乘积, 且满足  

则称    是赋范代数. 当    完备时, 称    为Banach 代数.

6、    是赋范代数; 当    是 Banach 空间时,    是 Banach 代数.

共轭空间

1、 共轭空间: 设    是赋范线性空间, 称  

为    的共轭空间.

2、 共轭空间是 Banach 空间: 任何赋范线性空间的共轭空间都是 Banach 空间.

3、 赋范线性空间的同构.

(1)、 设    是两个赋范线性空间,    是线性算子, 若  

则称    是    到    中的保距算子.

(2)、 若    又是映射到    上的 (即    是满射), 则称    是同构映射, 此时称    同构.

4、 保距算子是单射. 泛函分析证明057 |

资料/微信群/    

5、 同构映射保持线性运算及范数不变, 而同构的赋范线性空间    看成一样, 不加以区分, 记作   .

6、 例.   . 泛函分析证明058 |

资料/微信群/   记   , 则  

设   , 记   , 则

故  

是有界线性算子. 往证    保范, 映上 (即满射), 而   .

(1)、    保范: 由 (8.2.2:dual) 知   . 又由  

知  

而   .

(2)、    是映上的: 对   , 做    上的泛函  

则    是    上的线性泛函, 且有    知    是有界线性泛函. 由    即知   .

7、 例.   . 泛函分析证明059 |

资料/微信群/   同上例的证明:  

设   , 令   , 则

而  

即

故  

是线性有界算子. 往证    保范, 映上, 而   .

(1)、    保范: 由 (8.2.2:p dual) 及 Holder 不等式知  

又由 (8.2.2:p dual 2) 知   .

(2)、    映上: 对   , 作    上的泛函  

则    是    上的线性有界泛函, 且由    知   .

8.2-1保距算子是单射

请写出保距算子的定义, 并证明保距算子是单射.

8.2-2赋范线性空间到自身的线性算子构成的空间是赋范代数

请写出赋范代数的定义, 并证明: 若    是赋范线性空间, 则    是赋范代数.

8.2-3赋范线性空间到B空间的线性算子构成的空间是B空间

设    是赋范线性空间,    是 Banach 空间时, 试证:    是 Banach 空间.