有界线性算子和连续线性泛函
1、 有界线性算子 设 是两个赋范线性空间, 是 的线性子空间 到 中的线性算子, 若
则称
(1)、 是从 到 中的有界线性算子;
(2)、 若 , 则称 是从 到 中的有界线性算子, 简称有界算子.
若 (8.1.2:def bound) 不成立, 也即
则称 是无界算子.
2、 线性算子的有界性与连续性等价 设 是两个赋范线性空间, 是线性算子, 则
泛函分析证明128 |
资料/微信群/
(1)、 : 设 为有界算子, 则
而
故 是连续算子.
(2)、 : 设 是 上的连续算子, 往用反证法证明 是有界算子. 若 无界, 则
令 , 则
但 不成立. 这表明 在 处不连续, 矛盾. 故有结论.
3、 连续线性泛函的一个充要条件 设 是赋范线性空间, 是 上的线性泛函, 则
泛函分析证明129 |
资料/微信群/
(1)、 : 设 是 上的连续线性泛函, 则
故 是 的闭子空间.
(2)、 : 设 是 的闭子空间, 往用反证法证明 有界, 而连续. 若 无界, 则
令 , 则 . 考虑
则
由 是闭集知 . 矛盾. 故有结论.
4、 算子范数 设 是赋范线性空间 的子空间 到赋范线性空间 中的线性算子, 则称
为算子 在 上的范数.
5、 是 上的有界线性算子 . 泛函分析证明130 |
资料/微信群/
(1)、 : 设 是 上的有界线性算子, 则
而
这表明 .
(2)、 : 由 的定义,
而
这表明 是 到 中的有界线性算子.
6、 算子范数的等价刻画 设 是 上的有界线性算子, 则
泛函分析证明131 |
资料/微信群/ 设
则 . 由 (8.1.2:operator) 知
而 . 进一步, 由 的上确界定义,
令 , 则
这表明 .
