实变函数与泛函分析2022版

张祖锦

目录

  • 1 集合 (set)
    • 1.1 集合的表示
    • 1.2 集合的运算
    • 1.3 对等与基数
    • 1.4 可数集合
    • 1.5 不可数集合
  • 2 集合
    • 2.1 度量空间,n维欧氏空间
    • 2.2 聚点,内点,界点
    • 2.3 开集,闭集,完备集
    • 2.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
    • 2.5 Cantor 三分集
  • 3 测度论
    • 3.1 外测度
    • 3.2 可测集
    • 3.3 可测集类
  • 4 可测函数
    • 4.1 可测函数及其性质
    • 4.2 Egrov 定理
    • 4.3 可测函数的构造
    • 4.4 依测度收敛
  • 5 积分论
    • 5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介
    • 5.2 非负简单函数的L积分
    • 5.3 非负可测函数的L积分
    • 5.4 一般可测函数的L积分
    • 5.5 R积分和L积分
    • 5.6 L积分的几何意义,Fubini定理
  • 6 微分与不定积分
  • 7 度量空间和赋范线性空间
    • 7.1 度量空间的进一步例子
    • 7.2 度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
    • 7.3 连续映射
    • 7.4 柯西点列和完备度量空间
    • 7.5 度量空间的完备化
    • 7.6 压缩映射原理及其应用
    • 7.7 线性空间
    • 7.8 赋范线性空间和巴拿赫空间
  • 8 有界线性算子和连续线性泛函
    • 8.1 有界线性算子和连续线性泛函
    • 8.2 有界线性算子空间和共轭空间
  • 9 内积空间和希尔伯特 (Hilbert) 空间
    • 9.1 内积空间的基本概念
    • 9.2 投影定理
  • 10 过期
    • 10.1 2019级客观题题目讲解
赋范线性空间和巴拿赫空间
  • 1 赋范线性空间和巴...
  • 2 巴拿赫空间的例子
  • 3 有限维赋范线性空间
  • 4 Quiz
  • 5 Discuss

赋范线性空间和巴拿赫 (Banach) 空间

赋范线性空间和巴拿赫 (Banach) 空间

1、 赋范线性空间 (normed linear space): 设    是实 (或复) 线性空间, 若存在  

满足

(1)、 正定性   ;

(2)、 正齐次性    或   ,   ;

(3)、 三角不等式   ,

则称    为向量    的范数 (norm),    按范数    称为赋范线性空间, 记作   .

2、 依范数收敛 (强收敛): 设   , 若  

则称    依范数收敛 (强收敛) 于   , 记作    或   .

3、 赋范线性空间是度量空间: 设    是赋范线性空间, 则记  

后知    是    上的距离, 而    是度量空间, 且满足

(1)、    (或   ),   ;

(2)、   ,   .

以上两点反映了空间的度量结构与线性结构之间具有某种协调性.

4、 Banach 空间: 既然赋范线性空间是度量空间, 就可按照7.4.2完备度量空间 | 那样考虑其是否是完备的 (Cauchy 列是否一定收敛于空间中某一点). 完备的赋范线性空间称为Banach 空间.

5、 范数    是赋范线性空间    上的连续函数. 泛函分析证明044 |

资料/微信群/   由三角不等式知    

交换    的位置即得    综合上述两式有 两边之差小于等于第三边  

于是  

这表明    是    上的一致连续函数.