实变函数与泛函分析2022版

张祖锦

目录

  • 1 集合 (set)
    • 1.1 集合的表示
    • 1.2 集合的运算
    • 1.3 对等与基数
    • 1.4 可数集合
    • 1.5 不可数集合
  • 2 集合
    • 2.1 度量空间,n维欧氏空间
    • 2.2 聚点,内点,界点
    • 2.3 开集,闭集,完备集
    • 2.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
    • 2.5 Cantor 三分集
  • 3 测度论
    • 3.1 外测度
    • 3.2 可测集
    • 3.3 可测集类
  • 4 可测函数
    • 4.1 可测函数及其性质
    • 4.2 Egrov 定理
    • 4.3 可测函数的构造
    • 4.4 依测度收敛
  • 5 积分论
    • 5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介
    • 5.2 非负简单函数的L积分
    • 5.3 非负可测函数的L积分
    • 5.4 一般可测函数的L积分
    • 5.5 R积分和L积分
    • 5.6 L积分的几何意义,Fubini定理
  • 6 微分与不定积分
  • 7 度量空间和赋范线性空间
    • 7.1 度量空间的进一步例子
    • 7.2 度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
    • 7.3 连续映射
    • 7.4 柯西点列和完备度量空间
    • 7.5 度量空间的完备化
    • 7.6 压缩映射原理及其应用
    • 7.7 线性空间
    • 7.8 赋范线性空间和巴拿赫空间
  • 8 有界线性算子和连续线性泛函
    • 8.1 有界线性算子和连续线性泛函
    • 8.2 有界线性算子空间和共轭空间
  • 9 内积空间和希尔伯特 (Hilbert) 空间
    • 9.1 内积空间的基本概念
    • 9.2 投影定理
  • 10 过期
    • 10.1 2019级客观题题目讲解
线性空间
  • 1 线性空间
  • 2 线性空间的例子
  • 3 线性空间的相关概念
  • 4 Discuss

线性空间

线性空间

1、 线性空间: 设    是一个非空集合,    是一个数域 (其中的元素称为数). 若定义了

(1)、    中元素的加法运算:  

(2)、 数与    中元素的数乘 (数量乘积) 运算:  

满足

(1)、   ;

(2)、   ;

(3)、    中存在零元素 (记作   ), 使得   ;

(4)、 对   , 存在    的负元素 (记作   ), 使得   ;

(5)、   ;

(6)、    (或   ),   ;

(7)、    (或   ),   ;

(8)、    (或   ),   ,

则称    关于上述加法和数乘运算称为线性空间 (或向量空间),    中的元素称为向量.

2、 实线性空间: 若   , 则称    是实线性空间.

3、 复线性空间: 若   , 则称    是复线性空间.

4、 零元素是唯一的. 泛函分析证明031 |

资料/微信群/   设又有元素    满足   , 则  

5、 对   ,    的负元素是唯一的. 泛函分析证明032 |

资料/微信群/   对   , 若又有    使得   , 则  

6、   . 泛函分析证明033 |

资料/微信群/   对   ,   . 由零元素的唯一性即知   .

7、   ,    (或   ). 泛函分析证明034 |

资料/微信群/    

8、   . 泛函分析证明035 |

资料/微信群/     . 由    的负元素是唯一的知   .

9、 线性空间可以定义元素的减法:   .