压缩映射原理及其应用

压缩映射原理

1、 数学分析做过习题: 设    是压缩数列, 即

则    收敛.

2、 本节将上述结论推广到完备度量空间.

3、 压缩映射 (contraction mapping): 设    是度量空间,   . 若

则称    是压缩映射. 其一定是连续映射:  

4、 压缩映射的几何意义:    经过    映射后, 它们像的距离缩短了, 不超过    的    倍 ( ).

5、 压缩映射原理: 设    是完备度量空间,    是压缩映射, 那么    有且仅有一个不动点 (也即方程    有且仅有一个解). 泛函分析I证明029 |

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(1)、 存在性. 任取   , 令   , 则由

知  

进而由归结原则 |  

(2)、 唯一性. 设又有   , 则  

6、 压缩映射原理不仅证明了方程    解的存在性和唯一性, 还提供了求解方法-逐次逼近法:  

且有误差估计  

压缩映射原理的应用

1、 压缩映射原理在分析、微分方程、积分方程、代数方程解的存在性和唯一性定理证明中起了重要作用.

2、 压缩映射原理的应用-隐函数存在定理: 设函数    在带状域  

中处处连续, 其处处存在关于    的偏导数   . 如果还存在常数    和   , 满足  

则方程    在区间    上必有唯一的连续函数    作为解:  

泛函分析I证明135 |

资料/微信群/   考虑完备度量空间    上的映射  

则由  

及    知    是压缩映射. 据压缩映射原理,  

3、 压缩映射原理的应用-常微分方程解的存在性和唯一性定理 (Picard): 设    是矩形  

上的二元连续函数, 设   , 又    在    上关于    满足 Lipschitz 条件, 即存在常数   , 使对任意的   , 有  

那么方程    在区间    上有唯一的满足初值条件    的连续函数解, 其中  

泛函分析I证明030 |

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(1)、 ODE (ordinary differential equation)  

等价于 IE (integral equation)  

又等价于映射  

的不动点.

(2)、 为了应用压缩映射原理, 如何选取合适的完备度量空间呢?

(3)、 考虑    (  待定) 的闭子空间  

而完备.    为了保证所考虑函数有定义;    为了保证    有定义啊.

(4)、 由  

知  

(5)、 由  

知  

如此,    保证    的压缩性.

7.6-1压缩映射一定连续

设    是度量空间,    是压缩映射, 试证:    是连续映射.

7.6-2Rn中有界闭集上的弱压缩映射存在唯一的不动点

设    是    维欧氏空间    中有界闭集,    是    到自身中的映射, 并且适合下列条件: 对任意   , 有  

证明映射    在    中存在唯一的不动点.

7.6-3完备度量空间中映射的复合如果压缩, 则该映射存在唯一的不动点

设    是    维欧氏空间    中有界闭集,    是    到自身中的映射, 并且适合下列条件: 对任意   , 有  

证明映射    在    中存在唯一的不动点.