实变函数与泛函分析2022版

张祖锦

目录

  • 1 集合 (set)
    • 1.1 集合的表示
    • 1.2 集合的运算
    • 1.3 对等与基数
    • 1.4 可数集合
    • 1.5 不可数集合
  • 2 集合
    • 2.1 度量空间,n维欧氏空间
    • 2.2 聚点,内点,界点
    • 2.3 开集,闭集,完备集
    • 2.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
    • 2.5 Cantor 三分集
  • 3 测度论
    • 3.1 外测度
    • 3.2 可测集
    • 3.3 可测集类
  • 4 可测函数
    • 4.1 可测函数及其性质
    • 4.2 Egrov 定理
    • 4.3 可测函数的构造
    • 4.4 依测度收敛
  • 5 积分论
    • 5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介
    • 5.2 非负简单函数的L积分
    • 5.3 非负可测函数的L积分
    • 5.4 一般可测函数的L积分
    • 5.5 R积分和L积分
    • 5.6 L积分的几何意义,Fubini定理
  • 6 微分与不定积分
  • 7 度量空间和赋范线性空间
    • 7.1 度量空间的进一步例子
    • 7.2 度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
    • 7.3 连续映射
    • 7.4 柯西点列和完备度量空间
    • 7.5 度量空间的完备化
    • 7.6 压缩映射原理及其应用
    • 7.7 线性空间
    • 7.8 赋范线性空间和巴拿赫空间
  • 8 有界线性算子和连续线性泛函
    • 8.1 有界线性算子和连续线性泛函
    • 8.2 有界线性算子空间和共轭空间
  • 9 内积空间和希尔伯特 (Hilbert) 空间
    • 9.1 内积空间的基本概念
    • 9.2 投影定理
  • 10 过期
    • 10.1 2019级客观题题目讲解
度量空间的完备化
  • 1 序言, 保距映...
  • 2 度量空间的完备化
  • 3 Quiz

度量空间的完备化

序言, 保距映射, 等距同构

1、  

2、 那么一般的不完备度量空间是否也可成为某一完备度量空间的稠密子空间呢?  本节回答这一问题.

3、 保距映射 设   ,    是度量空间,    满足

则称    是保距映射. 例子:  

4、 注意. 保距映射一定是单射, 但不一定是满射. 泛函分析I证明026 |

资料/微信群/   回忆单射:  

5、 等距同构映射: 若    是满的保距映射, 则称    是从    到    的等距同构映射,    和    称为等距同构.

6、 等距同构的度量空间的一切与距离有关的性质都是一样的, 今后不再区分它们, 视为同一. 正如以前高等代数所说: 线性同构的线性空间不再区分; 同构 (保持线性运算和内积) 的欧氏空间不再区分!