实变函数与泛函分析2022版

张祖锦

目录

  • 1 集合 (set)
    • 1.1 集合的表示
    • 1.2 集合的运算
    • 1.3 对等与基数
    • 1.4 可数集合
    • 1.5 不可数集合
  • 2 集合
    • 2.1 度量空间,n维欧氏空间
    • 2.2 聚点,内点,界点
    • 2.3 开集,闭集,完备集
    • 2.4 直线上的开集、闭集及完备集的构造
    • 2.5 Cantor 三分集
  • 3 测度论
    • 3.1 外测度
    • 3.2 可测集
    • 3.3 可测集类
  • 4 可测函数
    • 4.1 可测函数及其性质
    • 4.2 Egrov 定理
    • 4.3 可测函数的构造
    • 4.4 依测度收敛
  • 5 积分论
    • 5.1 Riemann 积分的局限性, Lebesgue 积分简介
    • 5.2 非负简单函数的L积分
    • 5.3 非负可测函数的L积分
    • 5.4 一般可测函数的L积分
    • 5.5 R积分和L积分
    • 5.6 L积分的几何意义,Fubini定理
  • 6 微分与不定积分
  • 7 度量空间和赋范线性空间
    • 7.1 度量空间的进一步例子
    • 7.2 度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
    • 7.3 连续映射
    • 7.4 柯西点列和完备度量空间
    • 7.5 度量空间的完备化
    • 7.6 压缩映射原理及其应用
    • 7.7 线性空间
    • 7.8 赋范线性空间和巴拿赫空间
  • 8 有界线性算子和连续线性泛函
    • 8.1 有界线性算子和连续线性泛函
    • 8.2 有界线性算子空间和共轭空间
  • 9 内积空间和希尔伯特 (Hilbert) 空间
    • 9.1 内积空间的基本概念
    • 9.2 投影定理
  • 10 过期
    • 10.1 2019级客观题题目讲解
度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间
  • 1 度量空间中的极限
  • 2 度量空间中点列收...
  • 3 度量空间中的稠密...
  • 4 Quiz
  • 5 Discuss

度量空间中的极限, 稠密集, 可分空间

度量空间中的极限

1、 回忆2.1.1度量空间的定义与例子 | 的一些概念.

2、 极限: 设    是度量空间,   , 若  

则称    是收敛点列,    是    的极限, 记作   .

3、 极限的唯一性:   . 泛函分析I证明003 |

资料/微信群/

(1)、 先证:  

几何上很直观. 严格证明需要用反证法:  

(2)、 有了上述准备, 现在我们用反证法证明极限的唯一性:  

事实上, 若   , 则  

但  

于是  

这与 (*) 矛盾. 故有结论.

4、 收敛点列的有界性:    有界. 泛函分析I证明004 |

资料/微信群/    

不记得直径的概念? 看看2.1.1度量空间的定义与例子 |

5、 闭集的序列刻画:    是闭集    若   , 则   .  注. 啥叫闭集, 就是在极限运算下封闭的集合, 也就是    中的序列取个极限, 还要在    中! 记得不? 不行就看看2.3.2闭集及其性质 |