度量空间和赋范线性空间

泛函分析 (functional analysis) 绪论

1、 泛函分析是 20 世纪发展起来的一门新的学科.

2、 牛人:

(1)、 希尔伯特 (D. Hilbert, 1862-1943, 德国)

(2)、 巴拿赫 (S. Banach, 1892-1945, 波兰)

(3)、 冯    诺依曼 (J. von Neumann, 1903-1957, 美籍匈牙利)

小作业: 介绍下希尔伯特. 小作业: 介绍下巴拿赫. 小作业: 介绍下 冯    诺依曼.

3、 几个概念的理解:

(1)、 函数 (function): 数    数. 比如   .

(2)、 泛函 (functional): 函数    数. 比如   .

(3)、 算子 (operator): 函数    函数. 比如   .

4、 维数的理解:

(1)、 数学分析, 高等代数一般研究    - 有限维 (finite dimensional).

(2)、 泛函分析一般考虑无限维 (infinite dimensional), 比如    有一组基  

度量空间的进一步例子

度量空间, 离散度量空间

1、 回忆 (Recall): 度量空间 (2.1.1度量空间的定义与例子 | ).  设    是 一个集合,    满足

(1)、 正定性   ;

(2)、 对称性   ;

(3)、 三角不等式   ,

则称    是    上的一个距离 (distance) 或 度量 (metric), 而    称为距离空间或度量空间.

2、  

3、 球形邻域一定是开集! 泛函分析I证明001 |

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4、 例. 离散 (discrete) 度量空间.  对集合   , 定义

思考:   , 而    是开集. 进而

(1)、    是开集. 而离散度量空间中每个子集都是开集.

(2)、    是开集    是闭集, 而离散度量空间中每个子集都是闭集.

(3)、 总结 离散度量空间中的任何子集既开又闭.

更多的度量空间

1、 例. 序列空间    (sequence). 设

定义

这里,    称为收敛因子. 泛函分析I证明002 |

资料/微信群/

(1)、 先证不等式

事实上, 若   , 则结论自明. 若   , 则由三角不等式知  

(2)、 对   , 我们有  

2、 例. 有界函数空间    (bounded). 设    是一个集合,

定义

注.    是为了保证   !

3、 例. 可测函数空间    (measurable).  设    是可测集,   ,

定义

注.    是为了保证  

4、 例.    空间 连续函数空间.  设

定义

注.    上的连续函数空间    有界函数空间    的子空间 (2.1.1度量空间的定义与例子 | )!

5、 例.    平方可和序列空间.  设

定义

注.    保证了   ! 还有, 与序列空间    相比, 因为    中的序列有个好性质   , 而引入这个度量. 试与    比较.

7.1-1三角不等式

试证:

7.1-2Cauchy不等式

试证 Cauchy 不等式: