非负可测函数的 Lebesgue 积分

非负可测函数的 Lebesgue 积分的定义

本节中, 设    是可测集    上的非负可测函数;    是    的可测子集;   .

1、 对可测集    上的非负可测函数   , 怎么定义    在    上的    积分呢? 据   ,  

而自然定义

实变函数证明139 |

资料/微信群/   我们要验证 (5.3:def:limit) 是良定义 (well-defined), 也即与所选的简单函数列无关. 注意到  

而 (5.3:def:limit) 右端有定义. 但为了保证    良定义 (well-defined), 必须验证  

事实上, 对任一固定的   , 任一   ,    则由  

知 ** **. 进一步,  

令    得  

令    得  

令    得  

同理,  

故  

2、 往证

而也可定义 像大多数书上那样    在    上的 Lebesgue 积分为

实变函数证明140 |

资料/微信群/   往证 (5.3:def:sup).  

3、    在    上 Lebesgue 可积  

记作   .

4、    在    上的 Lebesgue 积分为

非负可测函数 Lebesgue 积分的基本性质

1、 底面积为零蕴含体积为零  

2、 非负 Lebesgue 积分为零蕴含被积函数几乎处处为零  

实变函数证明141 |

资料/微信群/   由  

知   ,  

3、 非负 Lebesgue 积分有限蕴含被积函数几乎处处有限  

实变函数证明142 |

资料/微信群/   令   ,  

而  

4、 关于积分区域的可加性  

实变函数证明143 |

资料/微信群/   对    上的简单函数   , 有  

对    取上确界即知结论.

5、 关于被积函数的单调性  

实变函数证明144 |

资料/微信群/   设   , 则   , 而  

6、 非负可测函数几乎处处相等蕴含积分相等  

特别地,  

实变函数证明145 |

资料/微信群/   设   , 则   , 而  

7、 例. 非负可测函数几乎处处相等蕴含积分相等的应用 设  

试证:    在    上非负可测, 并求   .  实变函数证明146 |

资料/微信群/

(1)、    在   ,    上都是连续函数, 而是可测函数; 因此在    上可测.

(2)、 由    知    于   , 因此,  

嘿, 明明是 Lebesgue 积分, 为啥可以用广义黎曼积分计算呢? 等学完第    就知道啦. 不要着急嘛.

非负可测函数 Lebesgue 积分的重要性质1: Levi 引理

1、 Levi 引理: 非负递增可测蕴含积分与极限可交换

实变函数证明147 |

资料/微信群/

(1)、 由    知  

(2)、 往证  

对   ,   , 设    则由  

知 ** .** 再由  

知   . 于是  

令    得  

再令    得  

对所有    取上确界即得  

2、 例. Levi 引理的应用 试求  

实变函数证明148 |

资料/微信群/   由    知    递减. 不能直接利用 Levi 定理. 但是要马上想到    递增, 而由 Levi 定理,  

3、 Levi 引理的推论: 正线性性  

实变函数证明149 |