可测集类

可测集的例子

1、 零测度集可测:

实变函数证明094 |

资料/微信群/     ,  

试验成功啦!    可测.

2、 (开、闭、半开半闭) 区间    可测, 且   . 实变函数证明095 |

资料/微信群/   规则的东西嘛. 一定要不忘初心.

3、 开集、闭集可测. 实变函数证明096 |

资料/微信群/

(1)、 对于开集而言,

(1-1)、   :    中开集是至多可数个互不相交的开区间的并, 而可测.

(1-2)、   :    中开集是可数个互不相交的半开半闭区间的并 (书本第 34 页), 而可测.

(2)、 对于闭集而言, 其作为开集的补集, 是可测的.

4、 Borel 集可测.

(1)、 **  代数**: 就是一个集族   , 其满足

(1-1)、   ,

(1-2)、    对可数并运算封闭:  

(1-3)、    对补运算封闭:  

(2)、 当然, 随便给一个集族   , 其不一定是    代数. 但是我们可以考虑 由    生成的    代数  

是啥? 就是把包含    的所有    代数交起来; 换句话说, 是包含    的最小    代数. 比较线性包, 凸包.

(3)、 Borel 代数:  

(4)、 Borel集:  

实变函数证明097 |

资料/微信群/    

可测集的构造

1、 定义:  

我们已经知道有限个开集的交是开集, 但可数个开集的交就不一定是开集的嘛. 所以我们给出上述定义.

2、 正如开集与闭集对偶一样,    集与    集对偶. 实变函数证明098 |

资料/微信群/   利用 De Morgan 律. 求补运算下,  

3、 可测集长啥样? 嘿. 可测集    集    零测度集:

实变函数证明099 |

资料/微信群/

(1)、   . 此时, 由外测度的定义,

令   , 则  

然后对   ,   ; 令  

则   , 且  

(2)、   . 将    写成  

取    集  

则  

4、 可测集    集    零测度集:

实变函数证明100 |

资料/微信群/   注意到开集与闭集的对偶关系, 我们有  

测度的内、外正规性

1、 可测集的测度可用开集/紧集的测度来逼近.

外包/内填嘛. 外可用开集的测度逼近/内可用紧集的测度逼近. 实变函数证明101 |

资料/微信群/

(1)、 外正规性. 若   , 则结论显然成立. 往设   . 由可测集的构造 (证明只用到外测度的定义) 知

(2)、 内正规性.

(2-1)、 若    有界, 则   . 由外正规性,

令   , 则    是有界闭集, 而为紧集, 且  

(2-2)、 若    无界, 则

对每个   , 由已证的有界情形的内正规性知

于是

3.3-1零测度集, 集与可测集的定义与关系

简要叙述零测度集,    集与可测集的定义与关系.

3.3-2零测度集, 集与可测集的定义与关系

简要叙述零测度集,    集与可测集的定义与关系.

3.3-3可测集的内外正规性

简要叙述可测集的定义及其测度的内外正规性.

3.3-4可测集的定义与例子

试给出    为可测集的卡拉泰奥多里 (Caratheodory) 定义, 并举出一个可测集的例子.

3.3-5外测度为零的集合一定可测

证明: 若    的外测度为   , 则    必为可测集.

3.3-6Cantor三分集的测度为0

证明: Cantor 三分集的测度为零.

本章小结

1、 可测函数的等价定义, 四则运算, 上极限/下极限/极限运算.

2、 重要的可测函数类

(1)、 连续函数类, 及其与可测函数的关系: Lusin 定理.

(2)、 重要的可测函数类: 简单函数类. 其与可测函数的关系: 非负可测时, 递增逼近; 有界可测时, 一致逼近; 一般可测时, 点点逼近.

3、 可测函数列各种收敛及其关系: 一致收敛, 几乎处处收敛, 依测度收敛.

3.4-1外测度的定义

外测度的定义   .

3.4-2外测度的性质

外测度的三个性质:   ;   ;   .

3.4-3可测集的等价刻画

可测集的三个等价定义:  

3.4-4可测集的性质

可测集的性质:

(1)、   ;

(2)、   ;

(3)、 可数可加性:   ;

(4)、   ;

(5)、   .

3.4-5可测集的例子

可测集的例子:

(1)、   ;

(2)、   ;

(3)、   ;

(4)、   .

3.4-6可测集的构造

可测集的构造:  

3.4-7测度的正规性

测度的正规性: