聚点 (cluster point), 内点 (interior point), 界点 (boundary point)

点与集的第一类关系: 内点, 外点, 聚点

设   .

1、 若  

则称    为    的内点 (interior point);    的全体内点所成集合称为    的开核, 记作   .

2、 若  

则称    为    的外点 (exterior point).    的外点全体为   . 不用再给个记号啦.

3、 若    既不是    的内点, 也不是    的外点, 则

此时, 称    为    的界点 (boundary point); 全体界点所成集合称为    的边界, 记作   .  

4、 总结:    与    的关系必有且仅有 内点、外点、界点 这三种.

点与集的第二类关系: 聚点, 孤立点和外点

1、 刚才我们看的是    的邻域是否完全落在    或   上, 我们现在看    的去心邻域是否与    有交. 这一性质对研究函数的极限很重要. 回忆二元函数极限的定义 |  比如: 设    是    上的函数,    是    的   ,   .  若  

则称    在    处极限存在.  这就要求   . 否则如何谈函数极限: 当    时, 函数值的变化趋势.

2、 若

则称    为    的聚点 (cluster point);    的全体聚点所成集合称为    的导集 (derived set), 记作   .

3、    称为    的闭包 (closure), 记作    或   ,    中的点称为    的极限点 (limit point). 为啥考虑闭包? 看例子:  

4、 若    不是    的聚点, 则  

而只有两种情形,

(1)、 若   , 则称    为    的孤立点 (isolated point).

(2)、 若   , 此时,    为    的外点.

5、 总结:    与    的关系必有且仅有 聚点、孤立点、外点 这三种.

边界点要么是聚点, 要么是孤立点

实变函数证明055 |

资料/微信群/    

聚点的等价刻画

实变函数证明054 |

资料/微信群/   (2)    (3), (3)    (1) 显然成立. 往证 (1)    (2). 归纳地给出互异点列!!  

若    已经给出, 则取  

后,  

这些   , 互异, .  小作业: 详细讲解聚点的等价刻画.

闭包的等价刻画

注意与导集的等价刻画比较. 实变函数证明056 |

资料/微信群/

1、 证明  

2、 证明  

3、 证明  

设   .

(1)、 若   , 则   , 得证.

(2)、 若   , 则    是    的

(2-1)、  

(2-2)、 或  

小作业: 详细讲解闭包的等价刻画.

边界与闭包的关系

实变函数证明057 |

资料/微信群/    

闭包、开核的对偶关系

联系 De Morgan 律.  ** .**  **  比    小, 看成交,    比    大, 看成并.** 实变函数证明058 |

资料/微信群/    

这里, 我们用到  

开核, 导集, 闭包保持集合的包含关系

实变函数证明059 |

资料/微信群/    

导集与并运算可交换

1、  

并的导集等于导集的并. 实变函数证明060 |

资料/微信群/   证   :  

证   : 即要证    或   , 我们证其逆否命题:  

2、 思考:  

实变函数证明197 |

资料/微信群/    

导集, 边界不空的充分条件

1、 ((导集不空的一个充分条件** Bolzano-Weierstrass 定理: 设    有界无限, 则   . 实变函数证明061 |

资料/微信群/   实数系的基本定理咯, 数学分析的内容.

2、 没见过? 无限集    一定有一个可数子集   , 而由聚点定理,  

这不就找到了    中的互异点列    收敛于   , 而   .

3、 边界不空的一个充分条件 设   ,   , 则   . 实变函数证明062 |

资料/微信群/   取   . 令