可数集的性质
1、 任何无限集均有一个可数子集. 即: 若 为无限集, 则 . 实变函数证明029 |
资料/微信群/ 归纳定出 的一个可数子集.
(1)、 由 知 .
(2)、 若 已经给出, 则由 知
令 , 则 是 的可数子集.
2、 可数集的任何无限子集为可数集, 可数集的任何子集为有限集或可数集. 实变函数证明030 |
资料/微信群/
(1)、 设 可数, 无限, 则
(2)、 设 可数, , 则
3、 可数, 至多可数 (即: 有限或可数), 则 可数. 实变函数证明031 |
资料/微信群/
(1)、 若 , 则可设
于是
可数.
(2)、 若 , 则
( 可数, 是 的子集, 至多可数) 而化为已证的情形.
4、 至多可数, 则 也至多可数; 且若某 可数, 则 可数. 实变函数证明032 |
资料/微信群/ 时就是性质 (3). 对 作数学归纳法:
5、 为可数集列, 则 可数 (可数个可数集并起来还可数). 实变函数证明033 |
资料/微信群/
(1)、 先设 互不相交: . 由 可数知可再设
于是 可一个不拉地排成蛇形:
(2)、 当 不是互不相交的时候, 令
后有 互不相交且 , 而可化为已证的情形.
6、 可数, 则 可数. 实变函数证明034 |
资料/微信群/ 用 作数学归纳法. 当 时, 设
则
可数. 归纳步为:
7、 是单射, 可数, 则 至多可数. 实变函数证明035 |
资料/微信群/
作为可数集 的子集, 至多可数. 又 是一一映射, 而 也至多可数.
8、 可数, 是满射, 则 至多可数. 实变函数证明036 |
资料/微信群/ 对 , 由 是满射知 . 取定 中的一元 , 则我们构造了 到 的映射 . 由
知 是单射. 由 可数即知 至多可数.
