课程简介

自我介绍 Introduction

1、 张祖锦

(1)、 高中时,  张开双臂拥抱祖国锦绣河山. 赫然写在书本上...

(2)、 工作八年后, 张氏祖传八段锦. [武功]跟锦练八段锦 |

可惜了.

2、 1987 年生在江西兴国的一个小山村.

3、 2000 年高中就读于兴国平川中学. 嘿, 那时也拿到了个全国高中数学联赛三等奖 |

4、 2003 年本科就读于中南大学数学与应用数学专业. 学了太多计算机课程, 你看 本科时的课程与成绩 | 大三时也没怎么培训, 参加了湖南省首届大学生数学竞赛一等奖 | 那时和同学一起做题, 大部分时候都是他先有思路, 我能完成后半段.

5、 2009 年中山大学硕博连读了. 其实也学了蛮多课程, 看研究生时的课程与成绩 |     期间也练了蛮多武功: 单杠挂臂后空翻 | 双杠仰卧起坐 | 悬垂慢翻上 |

6、 2012 年中山大学博士毕业. 回到了这里, 一呆啊, 就是    年哦. 你看, 读书能改变命运吧, 好好读咯. 为师八年载 | 2019 年还有打陀螺 | 而目前啥都没了, 跑跑步而已.

7、 基本上每年都来教 实变 56 课时, 选修    必修; 现在成了 实变与泛函 72 课时, 必修  real analysis and functional analysis.  

以前的自我介绍 |    [教学]本科教学材料 |

2022-2023-1 (这里可以找我...)

星期一 1-2节 实变函数与泛函分析 1-15周 地点: 7-309 数学与应用数学1901

星期一 5-6节 实变函数与泛函分析 1-15周 地点: 7-308 数学与应用数学1902

星期二 1-2节 实变函数与泛函分析 1-15周 地点: 7-308 数学与应用数学1902

星期二 3-4节 实变函数与泛函分析 1-15周 地点: 7-208 数学与应用数学1901

星期四 5-7节 现代偏微分方程导论 1-12周 地点: 7-305 基础数学研究生

星期五 1-2节 实变函数与泛函分析 1-11周(单) 地点: 7-208 数学与应用数学1901

星期五 1-2节 实变函数与泛函分析 2-12周(双) 地点: 7-208 数学与应用数学1902

回忆 Riemann 积分-数学分析

先看看 Riemann 长啥样.

Riemann (18260917-18660720, Germany)

小作业: 介绍下黎曼.  设    是    上的有界函数, 若对

都有极限

存在且收敛于同一个值   , 则称    在    上 Riemann 可积.  思想是啥?  

它有如下 缺陷 flaw:

1、 被积函数应 差不多 连续 (第 5 章我们将详细刻画, 应在除去一个 长度为 0 的集合外连续), 而    上的 Dirichlet 函数

我们将在实变函数中将可积函数类扩大, 让更多的函数可积分, 更多函数的下方图形可求面积呢.  小作业: 介绍下狄利克雷.  小作业: 严格证明 Dirichlet 函数不是 Riemann 可积.

2、 极限与积分交换次序的要求太严格 (一致收敛 是充分条件), 对如下 非一致收敛

仍然有

我们将在实变函数中将极限与积分交换次序的要求降低到简单的验算.   小作业: 再给出一个不一致收敛的函数列, 使得积分与极限仍可交换次序. 并证明之.

3、 微积分基本定理的局限性: Newton-Leibnitz 公式 设    在    上连续, 在    内可导, 且   , 则

实变函数证明001 |

资料/微信群/    

但是    这一要求也太严格. 因为意大利的 Volterra 于 1881 年构造了一个函数   , 满足    有界, 但   .  我们将在实变函数中把 Newton-Leibnitz 公式成立的函数要求降到最低.  小作业: 翻阅资料, 这个导函数有界, 但导函数不是黎曼可积的例子是啥. 并证明之.

构造 Lebesgue 积分-实变函数

Lebesgue (18750628-19410726, France)

实变函数的开创者 Lebesgue (勒贝格) 之传记 |

1、 Riemann 积分是对定义域进行分划, Lebesgue 积分则是对值域进行分划 (条条大路通罗马, 这条路更艰辛, 但风景这边独好): 当    (  表示远远小于) 时,

极限存在不? 存在的话, 就是 Lebesgue 积分!  同样是求面积, 方法不同. 浅显的说, 要数一堆面值为    毛和    元的硬币总额, Riemann 积分的思想是 一个个拿过来相加, 而 Lebesgue 积分的思想是 先将硬币整理, 面值相同的堆在一起.  宋诗也有云:  

上面是 Riemann 积分的思想, 下面是 Lebesgue 积分的思想

2、 路很艰辛, 但还是要走 (路虽远, 不行不至; 事虽难, 不为不成)! 现在的问题是如何求    的长度. 先看个例子: 对 Dirichlet 函数而言,

那么 无理数的长度 和 有理数的长度 是多少呢?  我们将在第三章中将以前所学 长度 推广为 测度 measure, 而可定义诸多集合的测度. 更多的集合可以求面积啦.

3、 本书结构如下. 还有泛函分析呢. 这个等我们学完实变函数再说吧. 不然说了又忘记了.    

小作业: 总结下你自大学以来学过的空间 (比如线性空间, 群, 环, 域).

学习实变函数与泛函分析的重要意义

1、 对数学分析是一种复习与加深, 应注意比较. 学后定有 会当凌绝顶, 一览众山小: 杜甫 24 岁时的狂傲 的感觉. 刚才不是看到了嘛. 数分/高代全都在脚下呢.

2、 学习更高深分析知识的基础, 现代分析数学基本都在 Lebesgue 的框架下讨论 (当然 Riemann 积分有用, 用来算算的啦). 第一章的 可数 概念也贯穿于以后任何一门分析课程. 可以说 没有可数, 就没有现代数学.

3、 实际点的好处: 以前考研究生时初试要考, 现在考研究生基本都在复试中考或问. 学懂了定当 ** 刮目相看**, 区别对待. 不过国防科大可不是, 初试 150 分, 而数分和高代一共才 150 呢 国防科大的数学专业考研初试要求 |

4、 以后读了研究生, 常用 Lebesgue 积分, 时不时控制收敛 (实变的) 下, 共鸣 (泛函的) 下.

实变函数与泛函分析的考核标准与学习方法

1、 本课程是必修课 (compulsory course), 是数学专业重要的基础理论和专业知识的课程.

2、 课前预习, 课中认真听讲, 课后独立完成作业. (2020年06月16日作)  

记住: 温故而知新是真理. 大家手机下载’学习通‘app, 加入班级. 用于课堂签到, 课堂考试, 课后复习等. 也记得加入课程微信群.   小作业: 学期结束时, 说说对课程的体认 (体会与认识).

3、 建议: 多看, 多理解---实变学十遍, 泛函不泛谈.  我读大学的时候 刘一戎 老师的诗:  

我于 2005 年 09 月 14 日写的一首打油诗:  

我于 2017 年 10 月 31 日写的一首打油诗:  

4、 尽量跟上进度, 跟不上也要把以前的知识当做常识先记起来, 多用了自然就会了. 下次再看的时候尽量补充证明. 再说了, 手机一打开, 就能看到实变与泛函的内容呢.

5、 孔子学琴对你定有启发.

(1)、 孔子学古琴师襄子，十日不进。师襄子曰：“可以益矣。”孔子曰：“丘已习其曲矣，未得其数也。”有间，曰：“已习其数，可以益矣。”孔子曰：“丘未得其志也。”有间，曰：“已习其志，可以益矣。”孔子曰：“丘未得其为人也。”有间，有所穆然深思焉，有所怡然高望而远志焉。曰：“丘得其为人，黯然而黑，几然而长，眼如望羊，如王四国，非文王其谁能为此也！”师襄子辟席再拜，曰：“师盖云《文王操》也。”

(2)、 孔子向师襄子学琴，学了十天仍没有学习新曲子，师襄子对他说：“可以增加学习内容了。”孔子说：“我已经熟悉乐曲的形式，但还没有掌握方法。”过了一段时间，师襄子说：“你已经会弹奏的技巧了，可以增加学习内容了。”孔子说：“我还没有领会曲子的意境。”过了一段时间，师襄子说：“你已经领会了曲子的意境，可以增加学习内容了。”孔子说：“我还不了解作者。”又过了一段时间，孔子神情俨然，仿佛进到新的境界：时而神情庄重穆然，若有所思，时而怡然高望，志意深远；孔子说：“我知道他是谁了：那人皮肤深黑，体形颀长，眼光明亮远大，像个统治四方诸侯的王者，若不是周文王还有谁能撰作这首乐曲呢？”师襄子听到后，赶紧起身拜了两拜，回答道：“老琴师传授此曲时就是这样说的，这支曲子叫做《文王操》啊！”

集合 (set)

集合的表示

1、 集合 (set) 的定义: 若干事物的全体 (朴素的语言)

2、 常用集合的符号.

(1)、    自然数集合 (natural numbers);

(2)、    整数集合 (Zahlen 德语);

(3)、    有理数集合 (quotients);

(4)、    实数集合 (real numbers);

(5)、    复数集合 (complex numbers).

3、 集合的表示法  

4、 包含关系.  

5、 例.  

6、 例.    在    处连续    

对   ,   , 定义  

而  

总结起来,    在    处连续    

7、 集合相等.  

8、 例. 设    在    上连续, 则

实变函数证明002 |

资料/微信群/    设   ,   . 再不妨设   .

(1)、 由    知  

(2)、 由连续函数的介值定理,  

这表明   .

1.1-1原像保持并运算

设    是映射, 则    的子集    的原像为

按照集合的特征性质描述法, 有

试证: 对   , 有  

1.1-2原像保持交运算

设    是映射, 则    的子集    的原像为

按照集合的特征性质描述法, 有

试证: 对   , 有  

1.1-3原像保持补运算

设    是映射, 则    的子集    的原像为

按照集合的特征性质描述法, 有

试证: 对   , 有