第二节 抽样分布

一、抽样分布的概念

总体分布是指总体内个体数值的频数分布

样本分布是指样本内个体数值的频数分布

抽样分布是指某种统计量的概率分布

二、平均数抽样分布的几个定理

1、从总体中随机抽取容量为n的一切可能样本的平均数之平均数等于总体平均数。

2、容量为n的样本平均数在抽样分布上的标准差，等于总体标准差除以n的平方根。

3、从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。

4、虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大，反映总体μ和ρ的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。

以上四条定理，反映了样本平均数抽样分布的形态，一切可能样本平均数与总体平均数之间的关系，一切可能样本平均数的标准差与总体标准差的关系。

当总体标准差已知时，平均数抽样分布的标准差与样本容量n的平方根成反比，即样本容量n越大，平均数抽样分布的标准差越小，当样本容量n确定时，平均数抽样分布的标准差与总体标准差成正比，即总体内个体数值离散程度越大，平均数抽样分布的标准差越大。

三、样本平均数抽样分布的形态

              

总体标准差已知：

从正态总体中随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数为中心呈正态分布。当总体标准差已知时，将样本平均数转化为标准记分，则一切可能样本平均数的标准记分呈标准正态分布。

                              

总体标准差在一般情况下是未知：

这是需要用样本标准差来估计。数理统计已证明，样本标准差往往低估了总体标准差σ。

总体标准差σ的无偏估计量S等于样本统计量σx乘以贝赛耳氏校正数，公式。

    

 

从正态总体中随机抽取容量为n的一切可能样本平均数的抽样分布呈正态分布。当总体标准差σ未知，需用估计值S来代替，于是平均数标准误也被平均数标准误的估计值所代替，这时一切可能样本平均数的标准记分呈t分布（公式4.6）。

当用S去估计σ时，样本平均数的抽样分布服从t 分布。

（样本平均数的抽样分布）

        

t分布是一簇分布, 当自由度df 不同,则t分度就不同. 当df 趋于无限大时, t分布就与正态分布重合了。t分布的峰狭窄尖峭，尾长且翘的高，在基线上分布的范围广。自由度越小，分布范围越大。当自由度逐渐增大时，t分逐渐接近正态分布。

df：指所抽取的样本中能独立变化的数据个数,随限制因子的个数而变化。 

t分布表的使用：t分布表见教材附表 , 它有单侧与双侧之分。

中央面积为0.95不同自由度t的临界值

自由度	2	4	6	20	30	无穷大
t值	±4.30	±2.78	±2.45	±2.09	±2.04	±1.96