第二节  数学思想方法的基本介绍

【讨论与交流】
   问题1：什么是数学思想？
   问题2：小学数学教材中蕴含了哪些基本的数学思想方法？
   问题3：数学思想（方法）对于小学数学教学的意义。

问题1：什么是数学思想方法？
   数学思想是是数学的灵魂，是对数学知识的本质认识、理性认识，是学生更好地理解数学概念、定理、公式、法则所必需的知识内核。
    数学知识，一般指数学的各个分支的具体内容，以及相应的概念、性质、法则、公式、公理、定理等。
   数学知识是数学思想方法的载体，数学思想方法是对数学知识的进一步提炼概括。

问题2：小学数学教材中蕴含了哪些基本的数学思想？
   参与《标准（2011版）》撰写及解读的专家学者认为，数学思想具有层次的，三个较高层次的基本思想演变、派生、发展出很多其他的较低层次的数学思想

关于“渗透数学思想方法”本套教材采取的主要措施:
  一是在各个内容领域结合各部分知识的教学渗透各种思想方法;
  二是每册教材单独设置一个单元(二年级开始叫作“数学广角")，为学生提供一些简单的数学化了的问题以及解决这些问题的过程与方法，利用操作直观等手段渗透重要的数学思想方法。
  三是在练习题的设计上仍然注意加大思维含量，渗透数学思想方法。

问题3：数学思想（方法）对于小学数学教学的意义
   首次把数学思想作为义务教育阶段，尤其是小学数学教育的基本目标之一，更加强调数学思想的重要性和重视数学思想的贯彻落实，这在我国的小学数学教育发展中上，具有里程碑的重要意义。

1、有利于建立现代数学教育观、落实新课程理念。
   2、有利于提高教师专业素养、提高教学水平。
   3、有利于提高学生的思维水平、培养“四能”。

第一节  与抽象有关的数学思想

一、抽象思想
  （一）对抽象思想的认识

数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象思想是一般化的思想方法，对于培养人的抽象思维能力和理性精神具有重要的意义。
    1.数学抽象在数学中及教学过程中无所不在
  任何一个数学概念、法则，公式、规律、性质、定理等的概括和推导都要用到抽象概括；用任何数学知识解决纯数学问题或联系实际的问题都需要计算、推理、构建模型，都离不开抽象。
    2.数学抽象是有层次的
  从整数扩展到分数，再从有理数扩展到实数，是逐步抽象的过程。再如从算术中的数（1、2、3）到代数中的常量（a、b等），再到函数中的变量（x、y等），包括利用变量构建模型，也是一个逐步抽象的过程。

    （二）抽象思想的应用
  数学是研究数量关系和空间形式的科学，这种数量关系和空间形式是脱离了具体的事物的，是抽象的，因此，抽象思想在数学中无所不在，也就是说只要有数学课堂教学就应该有抽象思想的存在，只不过呈现方式（目标达成的层次）不同而已。
  学生认识数的过程伴随着整个义务教育阶段甚至高中阶段，如前文所述，学生在学习0～10的认识时就开始与抽象思想打交道了，虽然学生并不完全理解0～10是经过对客观事物的数量多少进行抽象而得到的，但是能够体会到一个人，一面旗，一个足球等都可以用1表示。当学生学习11到20的认识的时候，抽象的层次又提高了，实际上，从10开始已经发生了微妙的但是确是很根本的变化，就是10虽然只是9+1，但是它已经没有用新的符号表示了，而是用了前边的符号1和0。这种变化在11到20的认识中揭开了神秘的面纱，用十进位值制计算法表示比9大的数，如10，11，13，……等等，以后会不断认识更多、更大、更抽象的数，如亿以上的数、分数、小数、负数等。
  就计算而言最简单的计算也是抽象的，如1+2=3，多数小学生需要借助各种实物或者直观图来理解1+2等于3，尽管很多一年级学生甚至部分学前儿童对20以内的加减法能够脱口而出，但是多数是先借助操作或直观的手段计算，再熟能生巧的记忆，有的甚至是死记硬背，并不一定理解抽象的原理。
  （三）抽象思想的教学
    根据小学生的心理特点和规律，小学数学的教学，往往注重操作和直观这样学生容易理解抽象的数学知识，但是教师需要注意的是，操作和直观式教学的手段而非目的，要在适当的时机进行适度的教学抽象，这对发展学生的抽象思维能力和认识数学的本质有益处。如小学数学有关图形与几何知识的教学人们普遍认为小学几何是实验几何几何直观是重要的教学策略和方同样不能把操作和直观作为教学的目的和归宿，对图形的概念性质公式关系定理等的理解和运用才是教学的目的。
  史宁中教授（史宁中.数学思想概论（第一辑），东北师范大学出版社，2008年）认为就抽象的深度而言，大体上分为三个层次：
  1.把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰的表达，我们称其为简约阶段。
  2.去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段。
  3.通过假设或推理建立法则模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段。

他认为第一个层次重要，但是在教学过程中往往被忽视。新数学课程教材及课堂教学提倡教学的一种模式，为创设情境，然后抽象成数学模型并进行解释与应用，这一模型中的抽象与上述出现的第二和第三个层次相吻合说明了抽象的重要性，也印证了第一个层次的抽象被忽略的事实。

这里的模型是广义的，数学概念、法则、公式,数量关系规律等都可以理解为模型。

在到处提倡情境的数学教育时代，抽象在小学数学教学中也往往容易被忽略。因此，在小学数学的教学过程中，在注重操作、直观的同时,在符合学生认知特点的情况下，适时、适当地体现数学抽象的思想,对学生的抽象思维发展是有益的；而且抽象思维发展了,能够促进学生学好数学、用好数学，去解决更多的实际问题，这种做法符合《标准(2011版)》的理念。

二、符号化思想

（一）对符号化思想的认识

数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用；因为数学有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言；符号表示也是一种数学抽象，数学符号是抽象的结果，学生在学习数学的过程中，用符号去表示推理及运算等是数学思考的重要形式，也使结论更具有一般性。

《标准(2011版)解读认为:“符号是数学的语言，是数学的工具，更是数学的方法。”也就是说，用符号表示既是一种数学思想，也是一种数学方法。

数学符号是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的,它来源于生活，但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象根括。如数上可以表示现实生活中任何数量是一个的物体的个数，是一种高度的抽象概括，具有一定的抽象性。 一个数学符号一旦产生并被广泛应用，它就具有明确的含义，就能够进行精确的数学运算和推理证明，因而它具有精确性。数学能够帮助人们完成大量的运算和推理证明，但如果没有简洁的思想和符号的参与，它的工作量及难度也是很大的，让人望而生畏。一旦简洁的符号参与了运算和推理证明，数学的简洁性就体现出来了。如欧洲人12世纪以前基本上用罗马数字进行计数和运算，由于这种计数法不是位值制的，大数的四则运算非常复杂，严重阻碍了数学的发展和普及。直到12世纪印度数字及十进制计数法传人欧洲，才使得算术有了较快的发展和普及。数学符号的发展也经历了从各自独立到逐步规范、统和国际化的过程，最明显的就是早期的数字符号从各自独立的埃及数字、巴比伦数字、中国数字、印度数字和罗马数字到统一的阿拉伯数字。数学符号经历了从发明到应用再到统的逐步完善的过程，并促进了数学的发展；反之，数学的发展也促进了符号的发展。因而，数学和符号是相互促进发展的，而且这种发展可能是个漫长的过程。

《标准(2011版)》把符号意识作为课程内容的十大核心概念之一，由此可见符号意识的重要性。可以从以下几点来理解符号意识。

1.理解符号所表示的数、数量关系和变化规律

小学数学常用的符号主要可以分为以下几类:

数量符号：0~9，未知常量(a, b, c等)，变量(x, y, z等)，圆周率π。

运算符号：加号(+)，减号(一)，乘号(X或●)，除号(÷),乘方(2X2 =2, 2X2X2= 2)，比号( : )。

关系符号：等号(=),近似符号(≈),不等号(≠),大于号(>),小于号(<),平行符号(//),垂直符号(⊥ )。

结合符号：如小括号“( )”，中括号“[ ]”，分数线“―”♂

性质符号：如正号“十”,负号“一”。

    省略符号：三角形(△),角(∠)。

2.能用符号表示数、数量关系和变化规律

这是一个从具体到抽象、从特殊到般的探索和归纳的过程。如通过几组具体的两个数相加，交换加数的位置和不变,归纳出加法交换律,并用符号表示:a+b=b+a。再如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示:S=ab。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。

3、知道使用符号可以进行运算和推理，是进行数学思考的重要形式，得到的结论具有一般性

这一要求是学生具有符号意识的很重要的体现，虽然学生在学习数学的过程中时刻与符号打交道，但是学生(包括部分教师)往往并不关心符号的作用和价值，只关心具体的知识点，而缺乏抽象上升到一般性结论的意识。而这种意识和方法恰恰是把握数学本质、把数学课本由厚变薄的重要方法。如学生知道正方形的边长乘4等于它的周长,边长乘边长等于它的面积；更进一步，如果假设任何一个正方形的边长是a,那么4a就等于该正方形的周长,a2就等于该正方形的面积。这是一个符号化和模型化的过程，同时能够体会这一结论的一般性。

（二）符号化思想的教学

1、在概念公式法则，性质的教学中培养符号意识。

2、在解决问题的过程中培养符号意识。

3、在高年级及六年级下总复习中加强符号化思想的教学。

三、分类思想

分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适用于各种科学的研究；同时也是数学领域解决问题较常用的思想方法。分类讨论思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想，集合思想也离不开分类，一个元素是否属于一个集合，标准是明确的。另外，分类讨论思想还是概率与统计知识的重要基础。

分类思想在小学数学中还有可以挖掘的素材，如有些老师在教学正比例和反比例的意义时，先给出一此语句，让学生判断哪些量是相关联的量，哪些量不是;然后引导学生对相关联的各组量进行分类，发现每组都有两个变量，可以分成4类:两个量的比值一定，两个量的积一定，两个量的和一定，两个量的差一-定。在此基础上引出正比例关系和反比例关系。

（三）分类思想的教学

第一，在分类与整理单元的教学中，注意渗透分类思想，知道统计数据时经常要对统计的事物进行分类，如把气球按颜色分类，把人按照性别分类等。

第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类数的分类等。

第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。

第四，在统计知识的教学中，体现分类的思想。现实生活中的数据丰富多彩，很多时候需要把收集到的数据进行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地作出推断。

第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。如对商品和物品的分类是为了便于管理和选购,对数学知识和方法进行分类，是为了更深人地研究问题、理解知识、优化解决问题的方法。

第六，注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说，有些数学规律在-般情况下成立，在特殊情况下不一定成立;而这种特殊性在小学数学里往往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。如在小学里经常有争议的判断题:如果5a = 2b，那么a:b=2:5；有人认为是对的，有人认为是错的。严格来说，这道题是错的。因为这里并没有规定a和b不等于0。之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成文的约定：在讨论整数的性质时，一般情况下不包括0。这种约定是为了避免麻烦，有一定道理，但是这样就造成了在解决有关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤其是学生进入初中后的学习中,经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。

案例1：把1张一角的人民币换成零钱，现有足够的1、2、5分币。共有多少种换法?

三、集合思想

（一）对集合思想的认识

把指定的具有某种性质的事物看做一个整体就是一个集合（简称集），其中每个事物叫做该集合的元素（简称元）。指定的具有某种性质，是指我们有一定的规则或标准判断任何一个事物是否属于该集合，即给定的集合，它的元素必须是确定的，即任何一个事物是否属于这个集合，是能够确定的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合，因为判断成绩好与不好的标准是模糊的，构成它的元素是不确定的，而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现，只要两个集合的元素完全相同，就说这两个集合相等。如集合A＝{2，4，6，8}，B＝{x|x=2k,0＜k＜5，且k∈N}，那么A=B。
    集合的表示法一般有列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来，并用大扩号括起来表示集合的方法。描述法就是在大括号内写出规定，这个集合元素的特定性质来表示集合的方法，如上述的集合b就是用描述法表示的。列举法的局限性在于单集合的元素过多，或者有无限多个时很难把所有的元素一一列举出来，这时，描述法便体现出了优越性，此外，有时也可以用封闭的曲线（文氏图）来直观的表示集合，即集合间的关系，曲线的内部表示集合的所有元素，如上面的图2-5文字图来表示四边形的分类及相互关系。

（二）集合思想的教学

集合思想在小学数学中广泛渗透，但集合的知识并不是小学数学的必学内容。但应注意把握好知识的难度和要求，尽量使用通俗易懂的语言渗透集合思想。

1.应正确理解有关概念

2.正确把握集合思想的教学要求。

3.集合思想的教学要贯彻小学教学的始终。

案例：六(1)班有36名学生,在举办的文艺活动中，表演歌舞节目的有9人,表演小品等节目的有12人，两类节目都表演的有5人。该班有多少人没参加节目表演?

 36-（9+12－5）＝20（人）

           答：该班有20人没参加节目表演?