第二节“小数的认识与运算”内容与教材分析

小数是一种特殊的分数，但是又独立于分数，小数也是十进制计数法。小数的出现标志十进制计数法从整数扩展到了分数，使十进制分数与整数在形式上获得了统一。小数与整数一样都是采用十进制的方法计数。在数轴上把相邻的两个整数之间的距离平分成10份，每个等分点就可以用十分之几表示，也可以用一位小数表示，所在的数位就是小数的十分位；如果把相邻的两个整数之间的距离平分成100份，每个等分点就可以用百分之几表示，也可以用两位小数表示，所在的数位就是小数的百分位。平均分的份数越多就越精细，产生的小数单位也就越小，所表示的数值也就越精确。所以小数不仅可以与分数进行相互转化，而且与整数的十进制计数进行了统一。

一、小数的认识

小数的学习分为两个学段，第一学段是小数的初步认识，第二学段是小数的再认识―小数的意义。两个学段的重点不同，呈现的方式和学习的方式也有所区别。

第一学段小数的初步认识主要从实际情境中具体地了解小数，重在对现实情境的选择和运用。主要是基于学生生活经验，借助生活中常见的“量”认识一位小数、两位小数，知道小数所表示的具体量的含义。

第二学段小数意义的学习是借助学生的生活经验和己有认识，探究、理解一位小数的意义，并通过类推，掌握两位小数和三位小数的意义。

二、小数运算

《数学课程标准》在第一、第二学段规定的小数运算如下。

课标摘要

第一学段：会进行一位小数的加减运算。

第二学段：能分别进行简单的小数加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。

运算的难易程度与参与运算的数的单位有关，在整数运算中，整数各数位上的数都是十进关系，处理好对应数位上的数就可以正确进行计算。尽管小数也是十进制，但因为有一个小数点的处理，所以小数的运算比整数运算要复杂一些。

（一）小数加减法

小数加减法在教材中是集中编排的，因为小数加减法与整数加减法在算理上是相通的。这个主题的内容包括小数加减法、混合运算以及整数的运算定律推广到小数。“小数加减法”这一教学内容，是在学生掌握了小数的意义和性质以及整数加减法的基础之后学习的，是学生解决日常生活中实际问题和进一步学习的需要。小数加减的计算方法在算理上与整数一致，都是相同数位上的数才能相加减，只是数域扩展造成了算法的变化。如何使小数的相同数位对齐是新的知识点。

小数加减法教学的重点、难点都集中在小数点的处理问题上，计算的结果都要考虑是否要用小数的基本性质使之变成最简。基于以上原因，把小数加法与减法放在同一个例题中进行教学。这样既突出了知识之间的有机联系，又节省了教学时间，使学生能以较快的速度形成良好的小数加减的认知结构。由于有整数运算做基础，在理解小数意义的基础上学习小数加减计算并不难，教学重点是理解小数加减法的算理，也就是理解为什么小数点要对齐。小数位数不同的小数加减法和整数减小数都是学习的难点，小数加减法与整数加减法的本质意义是一致的，即相同的计数单位相加减。教学中要让学生在理解算理的基础上总结算法，因此在教学策略上要鼓励学生自主学习小数加减法知识。小数加减法和整数加减法，两者之间有着密切的联系和相同之处。整数加减法的计算方法，学生在第一学段的三年级时就已经掌握了。因此，让学生充分应用已有知识来自主学习小数的加减法是这部分内容教学的一个重要策略。教学时，教师应帮助学生激活整数加减法的计算方法这一已有知识经验，并尝试用该方法来计算小数加减；让学生明确列竖式时应如何对齐数位，并懂得道理何在；学会用自己的语言表述自主尝试的过程和结果。通过自主学习小数加减法的知识，懂得应用已有知识来学习新知是获取知识的一条重要途径。

（二）小数乘法

因为小数的计数原则与整数相同，所以小数乘法可以仿照整数乘法的法则进行，不同的是需要解决小数点的问题。小数乘法本质上是分数乘法，而分数乘法的运算定律和运算性质与整数乘法基本相同。

首先要学生理解小数相乘时为什么小数点不对齐。这是因为计算小数加减时，小数点对齐的实质是相同数位对齐。然后，计算小数相乘时，我们根据积的变化规律，把各个因数相应扩大，使之从小数转化为整数，按整数乘法运算。最后，再处理积中的小数点问题。因此，在计算小数相乘时，小数点可以不对齐，只要求“向右看齐”（即末位对齐）就可以了。小数乘法是乘法意义的一次扩展，这就给教与学带来了困难。小数乘法运算，取决于分数乘法的掌握程度。因此，如果学生对分数的意义和分数乘法的意义缺乏深刻理解，在运算过程中就可能出现各种各样的错误。在教学策略上有以下三个方面需要注意。

第一，重点要引导学生用转化的方法学习小数乘法。由于小数乘法与整数乘法之间有着十分密切的联系，因此，教学时应紧紧抓住这种联系，帮助学生将未知转化为已知。如，在2.4x0.8的教学中，可提出转化的问题：“你能将它转化为已学过的乘法算式吗？”引导学生经历将未知转化为已知的学习过程，同时获得用转化的思想方法去探究新知的本领。

第二，指导学生对小数乘法的算理进行合理的解释，提高简单的推理能力。在实际学习过程中，学生感到困难的不是小数乘法计算方法，而是对算理的理解和表述。因此，教学时应给学生提供充分的思考、交流机会，帮助学生对计算的过程进行合理的解释。如，教学2.4x0.8时，应引导学生先说出将因数2.4和0.8转化为整数24和8的理由，再说出积192扩大到原来积的100倍，所以必须将192缩小到它的1/100的理由。对这个算理深人理解后，在实际运算时，就能准确地移动小数点的位置，达到正确计算的目的。

第三，注意引导学生探索因数与积之间大小关系的规律。让学生学会探求模式、发现规律是“数与代数”领域学习的重要目标。在教学时，应重视练习因数与积之间大小关系规律的题，并以此为载体，培养学生养成探索隐含在数、算式中的规律的习惯。

（三）小数除法

对学生而言，小数除法是小学数学的难点。小数除法有四种情况：小数除以整数、整数除以整数（不能整除）、整数除以小数、小数除以小数。小数除法的内容与旧知识联系十分紧密。小数相除的计算法则是以整数除法中被除数和除数同时乘上相同的数（0除外）而商不变，以及小数点位置移动规律等知识为基础来说明的。小数除法的试商方法与除的步骤和整数除法基本相同，不同的只是小数点的处理问题。尽管如此，学生对小数计算过程的理解还是非常困难，学生在计算时常会出现不同的错误。

“除数是小数的除法”是教学中的一个重点和难点，学生在计算过程中出错概率相当大。这个内容是在学习“除数是整数的除法”之后进行教学的，所以，“除数是小数的除法”转化为“除数是整数的除法”是一个教学重点，让学生理解并掌握计算的方法，这也是一个重点。怎样把“除数是小数的除法”转化成“除数是整数的除法”成为教学的关键，关键的方法是用“商不变的性质”把“除数是小数的除法”转化为“除数是整数的小数除法”，然后再计算。在具体问题的处理上，还有一些特别注意的问题，如除到被除数末尾仍有剩余，在剩余部分后面添0后再除等。

小数除法在教学中应注意以下三个方面。第一，利用情境中的小数，通过单位转换的策略，即把被除数和除数同时转换成另一种计数单位，再利用转换后的被除数和除数进行除法运算，以简化计算过程。第二，抓住新旧知识的连接点，为小数除法的学习搭建认知桥梁。本单元内容与已有知识联系十分紧密。小数除法的试商方法、除的步骤和整数除法基本相同，不同的只是小数点的处理问题。因此，要注意复习和运用整数除法的有关知识，为新知识的学习奠定基础。第只，联系数的含义进行算理指导，帮助学生掌握小数相除的计算方法。小数除法的重点是小数点的处理，而商的小数点为什么要和被除数的小数点对齐又涉及数的含义。所以，在说明小数相除的计算方法时要联系数的含义来帮助学生理解算理。