要点提示

“数与代数”是义务教育阶段最基本的课程内容之一，掌握“数与代数”的基础知识与基本技能，建立良好的数感，形成初步的代数思想，是进一步学习其他数学知识的重要前提。小学生学习数学是从数的认识和数的运算开始的，“数与代数”的内容贯穿小学数学学习的始终。“数与代数”学习内容的主线是：从数及数的运算到代数及其运算，再到方程和解方程、函数……在书的认识中，要理解从数量抽象出数，数的扩充；体会两个抽象：表示方法的抽象和运算的逐步抽象。《数学课程标准》在第一、第二学段，较为系统地设计了“数与代数”的内容，包括数的认识、数的运算、常见的量、式与方程以及正比例与反比例等内容，如何全面准确地理解和把握“数与代数”的内容，是提高数学教学质量的重要议题。

 

学习目标

1. 理解把握整数、小数、分数的意义和运算，熟知几个主要版本教材有关此内容的编写要点。

2. 理解式与方程内容的含义及应用，正、反比例的意义，常见的量等主要内容，熟知几个主要版本教材有关次内容的编写要点。

3. 掌握“数与代数”核心内容的教学策略，能根据一个具体的课时内容独立进行教材分析并进行教材设计。

4. 能准确理解与分析小学阶段的“数与代数”内容及教材。

 

第一节“整数的认识与运算”内容与教材分析

整数的认识与运算是小学数学课程的核心内容之一，理解和掌握有关整数概念的内容与运算，是学生数学知识与技能发展的需要，也是进一步学习小数、分数概念与计算的必要准备。通过对这部分内容的学习，学生要能正确理解数的意义与运算，而这也是学生数感逐步建立起来的标志。

一、整数的认识

（一）《数学课程标准》对“整数的认识”内容的要求

在第一学段，《数学课程标准》对整数的认识设计了4项内容；在第二学段，设计了2项内容。可见，“整数的认识”教学上要集中在第一学段，第二学段的任务是系统地梳理十进制计数法和万以上的数。主要包括如下几个方面：

第一，理解数的意义，能认数、读数和写数；

第二，会表示数的大小比较；

第三，理解数的表示，了解十进制计数法；

第四，在生活或现实情境中感受大数的意义，了解数在日常生活中的作用。

在第一学段，“万以内数的认识”是“整数的认识”的主要内容。学生要理解数的意义和数的表示，认识数位和数位上的值。在实际教学中，一般将“万以内数的认识”分为几个阶段，较为普遍的安排方式是："20以内数的认识”→“百以内数的认识”→“万以内数的认识”，也可以在百以内数的认识后，安排一次千以内数的认识。

在“整数的认识”内容中理解数的意义和数的表示是核心内容，在此基础上了解数的大小，感受大数，为以后学习数的运算奠定基础。运用数的表示方法可以表示任意大的数，就形成十进制计数法。在小学阶段学习全部正整数的内容，到高年级还有负数的初步认识。《数学课程标准冷在第一、第二学段都提出了感受大数意义和对大数进行估计的要求。第一学段的要求是在生活情境中感受大数的意义，在第二学段情境的范围有所扩大，即在现实情境中感受大数的意义，无论是何种情境，都希望通过具体的情境加深学生对大数的感受，增强学生的数感。受客观条件的限制，学生对大数实际感知起来不太容易，因此应该借助一些活动引导学生从多个角度去理解这些大数，借助生活中的实例来充分地感知大数，逐步在头脑中建立起1000和10000有多大的概念，发展数感。而在对大数进行估计的时候，让学生了解选择合适单位的重要性：教室到学校体育馆的距离应当选用米作单位；家到学校的距离要选择千米作单位；太阳到地球的距离扰要用光年作单位。

（二）数概念建立与位值的理解

学生整数概念的建立从认识10以内的数开始，虽然绝大多数学生在人学以前都认识很多数，但学生建立抽象的数概念，把数与它所代表的量联系起来还需要一个过程。这部分内容的重点在于使学生从数量抽象到数。把2个人、2棵树、2只羊、2条鱼都用“2”，来表示，用一个数字（特殊的符号）来表示数量．已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“2”。反过来，这个2可以表示任何具有2这样数量特征的事物。这个抽象过程在小学一年级开始认识数时就要强调，直到认识较大的数。学生逐渐认识数的抽象表示，逐步建立数概念。自然数的基本特征是后一个数比前一个数大1，从具体的数量抽象出数以后，学生可以通过自然数的这一特征认识更大的数。在这个过程中，学生可以理解自然数的大小关系。数数有逐一数和逐群数，学生最初是逐一数，然后发展到逐群数，学生理解逐群数是很重要的，特别是以“10个为一组”的数，对于理解卜进制与位值是非常重要的。

为了表示更大的数，建立数位概念就显得尤为重要。不同计数单位，按照一定顺序排列，它们所占位置叫作数位。同一个数字，由于所在数位不同，计数单位不同，所表示数值也就不同。在学习过程中要让学生明白数位的含义，不同位置上的数字表示不同大小的数，认识个、十、百、千、万等不同的数位，理解不同数位上的数字表示不同大小的数，是理解整数概念所必需的。学生必须清楚地了解，同样一个数字“3"，在个位上表示3；在十位上表示30；在百位上表示300。要让学生理解，自然数是无限多的，如果每一个自然数都用一个独立的名称命名，这是非常不方便的，也是不可能做到的。为了解决这个问题，人们创造出一种计数制度，就是现在我们使用的十进制计数法。我国的计数单位是每四位一级，万以内数的个位、十位、百位、千位为个级，学生理解各级上的每个数字的意义，这是理解多位数各个数位上的数字意义的前提条件。

位值概念不仅代表数概念背后的含义，更是算理法则的基础。学生如果不清楚位值概念，那么计算常常流于死记规则而不了解过程，这将导致计算错误的发生。相反的，若是学生具有正确的位值概念，就能准确掌握数值的含义，并能以此作为基础，轻松学习延伸性的数概念与运算算则。

认数时直观模型非常重要，在一个好的以十为基底的直观模型中，分别表示一、十、百的具体物是成比例的，即一个十是一的10倍，一个百是十的10倍，最清楚表达一、十、百之间关系的直观模型通常由单一来构成十的群，比如数学小棒、小方块都具备这样的特点。计数器虽然在数的认识中具有重要作用，但是它是不成比例的教具，一列算珠交换成高位的一个算珠，对于学生来说是很抽象的。不成比例的教具可以保持数字的轨迹，但不能像成比例的教具那样能促进学生的理解。所以，在数的认识过程中，不能仅用计数器，还要和直观的小棒和小方块结合运用。

（三）教材案例分析

通过前面的分析可知，整数的认识涉及五个单元的内容，这里选取北师大版一年级下册“100以内数的认识”这个单元。100以内数的认识处于学习数概念的第二阶段，前一阶段有10以内数、11-20的数认识，后一阶段还有万以内数和大数的认识，在这个内容的处理上，既要拓展学生对“计数单位”的认识，进一步感知、理解“十进制”“位值制”两个基本概念，又要注意培养学生的数感，同时还要注意进一步培养数的应用意识。

1．关于数数

这个内容的教学重点是能够正确地数出100以内的物体的个数，感知100的意义；理解计数单位“百”及“一”“十”“百”之间的关系。教学难点是感受位值，理解百位上的1表示100，培养学生的数感。

2．数的读写与组成

这个内容是在学生能够正确地数出100以内的物体的个数，理解计数单位“一”“十”“百”及它们之间的关系基础上进行的。重点是数的读写与组成，难点是体会各数位上数字的意义。

3．数的大小比较

这个内容是学生在能够正确地数出100以内物体的个数，能够正确并且熟练地读、写100以内数的基础上学习的。数的大小比较在编排中分两个层次，一个是比较数的大小，如“谁的红果多”；二是数的相对大小关系，如“小小养殖场”。

数的相对大小关系学习是学生利用已有经验，会用“多一些、少一些、多得多、少得多”描述数之间的大小关系，一方面要帮助学生理解这类词的意义，另一方面让学生在这个过程中体会数的相对大小关系。

4．理解数的顺序

教材给出了一张未填满数的百数表，通过填写百数表，构建数与数之间的逻辑关系，使学生更清楚地了解100以内数的顺序与大小，探究百数表中隐含的规律，。这张未填满数的百数表横排、竖排、斜排都隐含着规律，不同的学生可能用不同的方法去描述相同的规律。在建构表的过程中，可以留下百数表中其中的一行与一列的数，其他位置上的数空着，再给出一些数，让学生帮助找“家”；之后，去掉原先的那一行与一列的数，请学生利用找到“家”的几个数再给“新数”找家……通过确定数的位置让学生熟悉100以内数的顺序，帮助学生建立数感。

二、整数运算

运算是数学的重要内容，不仅是数学课程中“数与代数”的重要内容，也是学习其他内容的重要基础，“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”也都与运算有着密切的联系，成为不可或缺的内容。运算对实现课程目标发挥着重要的支撑作用，如：获得“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；运用数学的思维方式进行思考，增强发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力等，都与运算学习有关。

学习整数运算首先要使学生理解算理，把握四则运算的本质。比如，学习加法时，要使学生理解加一个正数比原数大这个算理；减法是加法的逆运算，减去一个正数就比原来的数小；乘法是加法的简便运算，是求相同加数的和，这是乘法的本质特征；除法是乘法的逆运算。教学中应强调让学生理解四则运算，了解它们之间的关系。

对于运算的难度和熟练程度，《数学课程标准》针对不同的内容提出了明确的要求。限制运算的步骤是为了控制繁杂的问题，学生对每一步骤的计算可能都会做，但如果有一个步骤出错，就会导致结果错误。在有了计算器之后，人们在现实生活中遇到繁杂问题时，可以选择用计算工具，而没有必要把大量时间用于复杂的运算。淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法，准确地得到运算结果，比运算的熟练程度更重要。重视学生是否理解算理，是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看运算的速度。

（一）整数加减运算

《数学课程标准》关于整数的加减运算在两个阶段分别提出了具体的要求。

课标摘要

第一学段有5条要求：

（1）结合具体情境，体会整数四则运算的意义。

（2）能熟练地口算20以内的加减法，能口算简单的百以内的加减法。

（3）能计算两位数和三位数的加减法。

（4）能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。

（5）经历与他人交流各自算法的过程。

第二学段有3条要求：

（1）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减的互逆关系。

（2）在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算。

（3）能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探索简单的规律。

可见，整数加减法第一学段重点是意义及口算、笔算的内容。第二学段只有估算、用计算器算，和进一步体会加与减的互逆关系。

整数加减运算的教学重在使学生理解算理。一般从以下几个方面理解算理：一是从四则运算的意义去理解；二是从数的意义理解；三是运用运算律及其性质理解。4+3=？还没有学过的学生，他是怎么算的？把4根小棒和3根小棒合在一起，然后数一数是4根，有的学生在4的基础上，一根一根接着数5、6、7。这里的道理就是加法，把两部分合在一起，看看是多少，或者运用自然数数序的含义，后面的数总比前面的数多1，所以学生能够算出来，久而久之，学生就熟练了，记住了，基本能脱口而出了。再比如，计算7－2=？有的学生用加法来计算这道题，就是运用了“减法是加法的逆运算”这个道理。7+6和15－9这样的题目涉及进位和退位，重点要从数的意义理解“进位”和“退位”。

可以发现运算过程是一种推理，这里的逻辑推理对于一年级小学生来说还是很难的，算理主要是十进制，算法是相同数位对齐，从个位算起，满十向前一位进“1”。对于低年级的学生来说，理解算理时要运用直观的手段，数形结合的方法，可以是小棒、方格、方块等与计数器结合运用，需要说明的是计数器与小棒相比十进制关系要抽象些，在遇到进位和退位就麻烦了，所以运用计数器时要把拔的过程画出来，更有利于学生理解进位的问题。因此教学中要让学生经历摆一摆、画一画、圈一圈等活动，还有就是让学生多交流，结合操作过程，把想法讲出来。

多位数相减时，分别把相同计数单位的数相减，哪一个计数单位上的数不够减，就从高一级的计数单位上退一再减，为了简便，通常写成竖式计算。退位减法其实是用了结合律，所以用结合律讲减法是关键所在。由此可见，退位减法可以用以上一连串竖式解释：当被减数中的个位数不够减时，便要向十位数借一，当十与个位数相加再去减，所以，退位减法的关键是结合律。连续退位减法帮助学生理解为什么退一很重要，因为理解借一其实是理解数的重组与换算的过程，三位数减三位数的连续退位的减法最困难的是对十位上的数的正确计算，可以采用多种策略帮助学生理解。

（二）整数乘除运算

《数学课程标准》关于整数的乘除运算在两个学段分别提出了具体的要求。

课标摘要

第一学段有5条要求：

（1）结合具体情境，体会整数四则运算的意义。

（2）能熟练地口算表内乘除法，能口算一位数乘除两位数。

（3）能计算一位数乘两位数和三位数、两位数乘两位数的乘法，两位数和三位数除以一位数的除法。

（4）能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用。

（5）经历与他人交流各自算法的过程。

第二学段有2条要求：

（1）能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。

（2）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会乘与除的互逆关系。

整数乘法的口算与笔算大多在第一学段，第二学段主要是学习三位数乘两位数和三位数除以两位数，以及估算、用计算器计算和进一步体会乘与除的互逆关系。要特别重视表内乘除法的计算的熟练程度。因为不管是一步的乘除法运算，还是混合运算，实际上都是在应用20以内的加减法和表内乘除法。

整数乘法分为表内乘法和多位数乘法。表内乘法就是两个一位数相乘，可以根据乘法的意义用相同数连加的方法求出它们的积，通常是把所有两个一位数相乘和它们的结果编成乘法口诀或一个乘法表，计算时直接利用这些结果求乘积。我国计算乘法时使用乘法口诀，现在教材基本上用“大九九”81句口诀表。学习口诀时要注意理解每一句乘法口诀的意义，明白口诀的来源。另外，熟记乘法口诀是小学生应具备的最基本的计算能力。在教学指导时，要突出两个方面：一是理解每一句话的具体意思，它表示哪两个数相乘的积；二是感受口诀的作用，能很快得到乘法算式的结果。

多位数乘法分为多位数乘一位数与多位数乘多位数，多位数乘一位数可以把多位数写成不同计数单位数的和的形式，然后根据乘法分配律，归结为表内乘法来计算。多位数乘多位数，也是先把其中一个乘数写成不同计数单位数的和的形式，然后根据分配律与表内乘法进行运算。

乘法的计算策略跟加减法比起来略显复杂，这是因为乘法的计算要将数字分成好儿个部分。这种分配性在乘法计算中是一个非常重要的概念，例如25x6,有的学生会把25分成20和5，将每个部分都乘6，再加起来得到答案，学生在学习乘法时要发展这样的概念，才能把整数乘法做好。

整数除法也分为表内除法和多位数除法。表内除法就是被除数和除数都是一位数，或者被除数是两位数，除数和商都是一位数的除法，可以用乘法口诀直接求商。多位数除法包含两种情况：一种是除数是一位数，被除数和商都是多位数的除法；另一种是除数是多位数，被除数也是多位数的除法。多位数除一位数，可以把多位数写成不同的计数单位数的和的形式，再根据除法运算性质用表内除法计算。多位数除多位数计算也是同样道理。