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三、讨论
四、参考内容
第1章 思维发展与数学思维
1.1 数学思维及主要特点
1.1.1 思维与数学思维
一、思维是什么？是心理学的核心问题。
（一）生理心理学观点：
1. 思维，就是人脑对客观世界的本质属性、相互关系及其内在规律概括的和间接的反映。
2. 人的认识过程：感觉（直接作用于感官，当前事物，个别属性）、
知觉（各种感觉的有机整合，结合以往经验，将事物多种属性综合为有意义的整体）、
注意（心理活动对一定对象的指向和集中）、
记忆（指人对经验过的事物的一种反映，包括识记、再认和重现）、
思维（人脑对客观世界的本质属性、相互关系及其内在规律概括的和间接的反映）、
例如：小学生学习2+3=5
3. 思维的过程：分析（就是将研究对象的整体分为各个部分，并分别加以考察的认识活动）
综合（是指把分析过的对象或现象的各个部分、各属性联合成一个统一的整体）
派生的抽象、概括、比较、分类、具体化、系统化等过程。
4. 思维的实现：在实践活动中由感性认识，在想象的基础上借助语言，以知识经验为中介实现的。
实践活动是基础——语言是工具
（二）皮亚杰（Piager,1896-1980)观点：在《发生认识论》中提出
1. 思维：思维作为一个认识发展过程，是一个内在结构连续的组织和再组织的过程，过程的进行是连续和经常的，但其结果是不连续的，即人的认识发展具有阶段性。
2. 儿童思维结构发展涉及：图式（是动作的组织结构，在相同或类似的环境中由于重复而引起迁移或概括，个体对刺激作出这样或那样的反应，是由于个体具有能够同化这种刺激的某种图式，因而能够做出相应的反应。）
同化（就是把环境因素纳入机体已有的图式或结构之中，以加强和丰富主体的动作。）
顺应（是改变主体动作适应主体变化。）
平衡（就是调节，它是发展中最主要的因素，就是不断成熟的内部组织和外部环境的相互作用，平衡——不平衡——平衡的过程，实现着儿童思维结构的不断变化和发展。）
3. 儿童思维发展四阶段：感觉动作阶段（出生~约2岁）
前运算阶段（约2~7岁）
具体运算阶段（约7~11岁）
形式运算阶段（约11~15岁）
运算：是皮亚杰认知发展阶段论中的一个核心概念。所谓运算，是指通过逻辑推理，将一种状态转化为另一种状态。
例如：2+3=5. 5由2和3转化而来；5与3作用转化为2。
发生认识论为我们理解数学思维提供了一种比较合理、比较符合实际的心理学依据。
（三）信息论观点：信息角度，全新视角
20世纪50年代以来，机器模拟人脑思维过程的研究以及人工智能机的发展，人们谈论“机器思维”也不致遭到什么反对，如果我们承认机器能够实现思维，那么思维的定义就应该从信息论的角度来刻画。
1.思维：运用感知的信息和储存在大脑（或电脑）内的信息去解决问题的过程，即是思维。
2.解决问题：学习知识、形成概念、发现规律、做出决策、创作文艺、证明定理……
3.思维过程：就是一个信息传递、接收和储存、加工的过程。
二、数学思维
（一）数学思维定义：
1.数学的对象：现实世界的空间形式与量的关系。
2.数学思维：人们在探索、认识现实世界的空间形式与量的关系时在头脑中进行的思维活动，就是数学思维。
3.数学思维形式：通过思维活动得到的数学知识，成为一种数学思维形式，在人们进一步的数学思维中发挥作用，可以约简进一步思维的过程。比如勾股定理。“数学是一种思维形式，它牢固地扎根于人类智慧之中……数学表现了人类思维的本质和特征，并在任何国家和民族的文明中都会有所体现。因而在当今的意义下，任何一种完善的形式化思维，都不能忽视这种数学思维形式。”
（二）数学思维特征：
1一般特征：数学研究的对象是纯粹的量，数学思维是客观世界的纯粹的量的本质属性、相互关系及其内在规律性在人的头脑中概括的和间接的反映。
2. 自身特点：不是事物一般的本质和事物之间一般的规律性的关系在人们头脑中的反映，而是以“纯粹的量”的形式来反映事物的本质和事物之间的规律性关系。彭加勒（Poincare,1854~1912)说：“数学家研究的不是物体，而是物体之间的关系；因此，只要关系不变，这些物体被其他物体代换对他们来说是无关紧要的。在他们看来，内容是不重要的，他们感兴趣的只是形式。”
3. 更抽象概括间接：数学思维较之一般思维，具有更高的抽象概括性，以及更大的间接性。数学成为牢固扎根于人类智慧之中的“思维形式”。
1.1.2 数学思维的特点
对数学思维的特点，见仁见智，每个数学家的意见都极具参考价值。
（一）俄国数学家辛钦（1894~1959）指出数学思维的四个特点：
1. 推理的逻辑结构占绝对优势：十分明显，它可以最大限度地注意思维过程的正确性，并保证不出错误；另一方面，思维者在每次析取时眼前能浮现出存在着的全部可能性，并保证一个不漏地考虑到每一种可能性。
2. 思路简洁：总是自觉地努力寻求导向目的的最简洁的逻辑途径，毫不留情地舍弃对于完美无缺的论证不是绝对必要的一切。
3. 精确地分解论证过程：为此，在数学著作中广泛使用概念和判断编号这种简单的方法，在每段的前面标上一个专门符号，指明这一段是研究所有各种情况中的哪一种。
4. 符号精密准确：“每一个数学符号都有严格规定的含义，用另一个符号来替换它，或者把它放到另一位置上，通常总是要引起误解，有时甚至使原来给定的含义完全没有了。”——弗里德曼
（二）我国学者概括数学思维的三个特性：
1. 数学思维的概括性；问题性；相似性。
2. 策略创造与逻辑演绎的结合。——《数学教育学》张奠宙、唐瑞芬、刘鸿坤合著
3. 数学思维的高度抽象性；数学思维形式化的严谨性；数学思维表现的多样性。——教科书
4. 具有更强的间接性和概括性；具有独特的形式化的符号语言；具有显著的美学特性；具有独特的辩证性。 ——《数学的思维方式》
5. 数学思维的特点要包含数学的主要特点，但不能简单地等同于数学的“高度的抽象性、逻辑的严谨性、广泛的适用性”三个特点。（泛泛而谈）
（三）综合各家之说，数学思维有如下几个特点：
1. 数学思维层层抽象与模式化
数学抽象：原型→模型（概念、运算、方法等成为新的原型）→进一步抽象为新的模型→形成模式（纯逻辑结构）。数学在发展，抽象程度仍在不断发展。极度抽象的结构或模式，只要求不存在逻辑矛盾就可以了。许多数学家认为“数学是结构的科学”“数学是模式的科学”。
怀特海（Whtiehead,1861~1947)说：“极端的抽象是真正的武器，用以控制对具体事物的思维。这个近乎矛盾的说法，现已完全成立。”——《今日数学随笔十二篇》斯蒂恩著，马继芳译。
数学抽象的层次性：第1阶段，产生数的概念和创造数的符号，即数字；
第2阶段，从算术过渡到代数，不使用个别的具体数字，使用字母符号，结果可靠；
第3阶段，撇开符号的一切数字内容，撇开数学运算本身的量的内容，特殊→一般。
数学思维经历： 个别→特殊→一般，从运算角度看：
从运算角度看：数字运算→代数式运算→代数系统运算。如：集合、向量、矩阵等的运算。
运算：算术四则运算→代数运算→一般运算，层层概括，逐级抽象。
下面以“数学运算的发展”为例解析数学思维的层层抽象概括性：
1.算术四则运算：是对具体的数进行运算。对具体数的运算形式、结果都不尽相同，但是内中蕴涵着某种规律性，数的运算满足一定的运算律，如加法、乘法的交换律、结合律乘法对加法的分配律等，即“数系通性”。
2.代数运算：以字母代表数，对一般的数、抽象的数的运算。（1）可以便于表达具有普遍意义的运算律；（2）可以用运算符号表达数之间的关系结构；（3）便于把字母表示的运算从数推广到其他各种量的运算。（4）代数的实质：舍去运算对象的个性，把运算对象进行抽象化思维。
3.运算：数可以运算→向量可以运算→行列式、矩阵也可以运算。
什么是运算？如：3+2=5，3×2=6，3-2=1，
2+3=5，2×3=6，2-3=-1.
规律：（1）两个数通过运算得到一个数，这种运算在一个数集中进行，两个运算对象及运算结果都属于这个数集；
（2）参与运算的两个数与次序有关；与次序有关的两个数a、b组成一对，即有序数对（a,b).
（3）+,×，-可以看成由有序整数对→整数集Z上的一个对应，也称一个指派；
（3，2）→5，（3，2）→6，（3，2）→1，
（2，3）→5，（2，3）→6，（2，3）→-1.
“ →”代表一个指派，不同的指派结果代表不同的运算，因此，数集A上的运算本质上是数集A中有序数对到A自身的一个指派。
（4）二元运算：设“*”是将数集S中的数指派给S中有序数对的一个法则，若*指派S中唯一的数给每一个
S中的有序数对，那么*就叫做数集S上的一个二元运算。 这样， +，-，×都是整数集上的运算，÷不是整数集上的运算。
2. 数学思维的符号语言及心理图像
3. 数学思维的统一性的美学特征
4. 数学思维是辩证性的表现方式
