刚体的运动是由转动和平移组成的。为了能用同一矩阵表示转动和平移，有必要引入(4×4)的齐次坐标变换矩阵。

１、平移的齐次变换

首先，我们介绍点在空间直角坐标系中的平移。如下图所示，空间某一点Ａ，坐标为(x，y，z)当它平移至Ａ′点后，坐标为(x′，y，′z′)。

其中第四列元素Δx,Δy,Δz分别表示沿坐标轴Ｘ,Ｙ,Ｚ的移动量。若算子左乘,表示坐标变换是相对固定坐标系进行的:假如相对动坐标系进行坐标变换,则算子应该右乘。平移的齐次变换公式同样适用于坐标系、物体等的变换。

例  图3.13所示的坐标系与物体的平移变换给出了以下情况:动坐标系{A}相对于固定坐标系的X0、Y0、Z0轴作(一1，2，2)平移后到{A'}；动坐标系{A}相对于自身坐标系(即动系)的X、Y、Z轴分别作(一1，2，2)平移到{A''}；写出坐标系{A'} {A''}的矩阵表达式。

 图3.13   坐标系

解 ：

动坐标系{A}的两个平移坐标变换算子均为：

{A'}坐标系是动系{A}沿固定坐标系作平移变换得来的，因此算子左乘{A'}的矩阵表达式为：

{A″}坐标系是动系{A}沿自身坐标系作平移变换得来的，因此算子右乘，{A″}的矩阵表达式为:

2、旋转的齐次变换

如图3.14所示，空间某一点A，坐标为(x，y，z)，当它绕z轴旋转θ角后至A′点，坐标为(z′y′z′),A′点和A点的坐标关系:

图3.14 　点的旋转变换

A'点和A点的齐次坐标分别为[z' y' z' 1]T和[x y z 1]T，因此A点的旋转齐次变换过程为:

也可简写为

式中,Rot(Ｚ,θ) 表示齐次坐标变换时绕Ｚ轴的旋转算子,算子左乘表示相对于固定坐标系进行变换。绕Ｚ轴的旋转算子可表示为

同理，可写出绕Ｘ轴旋转的算子和绕Ｙ轴旋转的算子

  点A绕任意过原点的单位矢量k旋转θ角的情况，分别为k矢量在固定参考系坐标轴x、y、z上的三个分量，且： 

其中:

当时，即时

当，即时

当，即时

若给出某个旋转齐次变换矩阵:

与平移变换一样，旋转变换算子一般旋转变换算子不仅仅适用于点的旋转变换，而且也适用于坐标系的旋转变换计算。若相对于固定坐标系进行变换，则算子左乘；若相对于动坐标系进行变换，则算子右乘。

例  已知坐标系中点U的齐次坐标u=[7 3 2 1]T，将此点绕Z轴旋转90度,再绕y轴旋转90度，如图3.15所示,求旋转变换后所得的点W。

图3.15 　两次旋转变换

例  图3.16所示单臂操作手，并且手腕也具有一个旋转自由度。手部起始位姿矩阵已知。

若手臂绕轴旋转，则手部到达；若手臂不动，仅手部绕手腕轴旋转，则手部到达。写出手部坐标系{}及{}的矩阵表达式。

图3.16 　手臂转动和手腕转动

解：

手臂绕定轴转动是相对于固定坐标系作旋转变换:

手部绕手腕轴旋转是相对于动坐标系作旋转变换:

3.平移加旋转的齐次变换

平移交换和旋转变换可以组合在一个齐次变换中，称为复合变换。

例： 如图3.17所示，坐标系中点Ｕ，位置矢量Ｕ ＝ 将此点绕Ｚ轴旋转90°再绕Ｙ轴旋转90°再作4i-3j＋7k的平移，求变换后得到的点Ｅ。

由于旋转变换和平移变换都是相对固定坐标系进行的变换，则算子左乘。因此有:

图3.17 　两次旋转变换,一次平移变换

平移加旋转的齐次变换也称为复合齐次变换或一般齐次变换，它并不限定平移变换或旋转变换的次数或先后次序。在运算时规则同前，凡相对固定坐标系进行变换则算子左乘，凡相对动坐标系进行变换则算子右乘。上面以点为例作平移和旋转的一般齐次变换，当然同样适用于坐标系的一般齐次变换。