数学史——线性方程组的历史

一、学习线性方程组的历史

线性方程组的历史

大约4000年前，巴比伦人就知道如何解两个二元一次线性方程组成的线性方程组（2*2的线性方程组）。线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术方程》章中已作了比较完整的论述。在中国人的手稿中出现了解释如何消去变元的方法求解带有三个未知量的三方程系统，其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。

对线性方程组的现代研究可以说肇始自莱布尼兹（Leibniz），为了研究线性方程组他于1693年提出了行列式的观念。但是当时他的研究不为人知。克莱姆（Cramer）在他1750年出版的《代数曲线分析入门》（Introductionto the Analysis of Algebraic Curves）中，发表了一个后来以他的名字命名的解n*n线性方程组的法则，但是他没有给出证明。在试图解决一个几何问题，即确定一条通过（1/2）n2 +（3/2）n个定点的次代数曲线时，他发现需要研究线性方程组。

麦克劳林在 18 世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了n个n元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。

欧拉（Euler）也许最早注意到含有n个n元一次线性方程的线性方程组不一定有唯一解，他还指出要获得唯一解必须添加条件。尽管他并没有给出具体条件，但他的脑中有一个方程独立于其余的方程的思想。到了十八世纪，线性方程组的研究通常被归类在行列式之下，所以并没有研究方程的数目与未知数的数目不相等的线性方程组。

与他提出的最小二乘法（发表于1811年的一篇涉及小行星的轨道测定的论文中）相联系的是，为了求解线性方程组，高斯提出了一种现在叫做高斯消元法的系统性的程序，尽管他没有使用矩阵符号。他处理了线性方程组的方程数目与未知数数目不相等的情形。线性方程组的理论问题，包括线性方程组的相容性问题，在十九世纪后半叶被探讨，而且它们至少是被将二次型和双线性型化简成“简单”（规范）型这样的问题部分推动的。

19 世纪，英国数学家史密斯 (H.Smith) 和道奇森 (C-L.Dodgson) 继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了 n个未知数m 个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。这正是现代方程组理论中的重要结果之一。        

大量的科学技术问题，最终往往归结为解线性方程组。因此在线性方程组的数值解法得到发展的同时，线性方程组解的结构等理论性工作也取得了令人满意的进展。现在，线性方程组的数值解法在计算数学中占有重要地位。