翻转课堂教学法

传统教学法

1. 预备知识点：高等数学D1；

2. 优秀的教师团队；

3. 学校教学设施齐全.

1)隋如彬等编，微积分（经管类），科学出版社，2012.

2)吴建成主编，高等数学，高等教育出版社，2005.

3)赵树塬主编，微积分(第三版) ，中国人民大学出版社，2007.

4)苏德矿、程吉树主编，微积分学习释疑解难，浙江大学出版社,2007.

5)张伟 汪赛 朱金艳等编 ，微积分（经济管理）学习辅导，机械工业出版社，2013.

    6)同济大学数学教研室，高等数学(上册、下册)（第七版），高教出版社，2014

《高等数学D2》课程教学大纲

一、    课程目标

本课程是会计类、工业设计、传播等专业必修的通识公共课，是高等数学这门课的后半部分，是其他课程的基础，为后继课程学习提供分析和求解问题的方法和技巧。通过对本课程中微分方程与差分方程、多元函数微分学、二重积分及级数等内容的学习，让学生达到如下五个课程教学目标：

课程目标1：引导和帮助学生树立马克思主义的世界观、人生观、价值观，确立为建设有中国特色社会主义而奋斗的政治方向，增强抵制错误思潮和拜金主义、享乐主义、极端个人主义等腐朽思想侵蚀的能力；

课程目标2：能掌握微积分和其他高等数学的知识，用以经济分析；

课程目标3：能掌握高等数学的算法，用以培养科学思维；

课程目标4：能领会数学思想和分析方法，具有创新精神和终身学习能力和意识；

课程目标5：能够将数学的基本概念和方法建立相关问题模型，并获得有效结论。

表1给出了各项教学目标的简要描述，以及每项教学目标的达成途径：

表1 课程目标与达成途径

二、   课程内容与基本要求

《高等数学》D2课程目标与教学内容和方式的对应关系如表2所示。

表2  课程目标与教学内容、教学方法的对应关系

该课程详细教学内容和方法如下所述。

1. 多元函数的微分学

（1）思政融入点

经济学算不上是一门古老的学问。人类经过漫长的自然经济时代，逐渐出现了专业化生产和分工，出现了交换和货币。在这个时候，社会的经济现象才被人注意，并开始成为研究的对象。如果将英国十六世纪关于东印度公司与重金主义之间的争论作为研究经济现象的开始，则经济学的历史到今还不到四百年；亚当·斯密出版他的不朽巨著《国富论》，从而为经济学的系统研究奠定基础，至今也刚满二百年。我们知道牛顿和莱布尼茨于一六七○年前后几乎同时发明了微积分，开创了一个自然科学飞速发展并取得灿烂成就的时代。经济学的进展似乎没有那么顺利，虽然出现过像亚当·斯密和卡尔·马克思这样的天才，但经济学中许多最基本的概念直到上个世纪末才逐渐确立起来。任何一门科学都要用到抽象和逻辑的思维方法，但经济学应用抽象和逻辑却比起一般的自然科学格外困难。在上个世纪以前，经济学虽然普遍地使用归纳、比较和分析的方法，但基本上没有脱离以对历史现象的陈述和对规律的推测为主的论述。或者说，它一直不具备我们一般称之为科学形态的形式。直到大约一百年以前，由于自然科学思维方法的巨大成就的影响，经济学开始转变了。十九世纪七十年代初期，英国的杰文斯、奥地利的门格尔和瑞士的瓦尔拉独立地将微分方法导入经济学，引起了经济学的边际革命。最近一百年来，数学和推理的方法不断渗入经济学，形成了作为经济理论基础的数理经济学。一向被认为属于社会科学的经济学，在数学工具的应用上，在其理论框架的条理化、逻辑化上，在其假定前提的简单明了上，越来越多地带上了传统上被认为只有自然科学才具有的特色。这种自然科学与社会科学的融合，或许可以看作是人类认识史上一个重要的转折。

偏导数、全导数、全微分公式在数理经济学中是一些最基本的手段，当这些表达一旦被赋予经济学的含义时，复杂的事物就变得如此之清晰可辨，以致用不着任何多余的文字说明。尤其是数学规划理论可以说就是为了经济学而创立的。它研究在满足一系列约束之下能够获得极值的条件。经济学的基本任务也正是在遵守资源约束、生产技术约束的条件下，求得消费者使用价值的极大化。经济学之应用数学，有两个不同的领域：研究经济量之间的关系和确定经济量的数值。前者是一门定性的科学，称为数理经济学，后者则是一门定量的科学，称为计量经济学。研究此量与彼量之间的消长关系，确定在达到最佳经济效果时必须满足什么条件，这些是数理经济学最经常的任务。计量经济学则以数理经济学的理论为指导，应用统计学的方法对各种经济量进行测算，这在制订经济政策，评价过去某一经济政策的效果，乃至检验数理经济的理论是否正确，都是经常用得到的。通过偏导数的学习，引导学生把数学归纳、比较和分析、推导等方法渗入经济学，进行边际分析，弹性分析，解决实际问题。树立学生的正确的人生态度，激发学生的学习积极性。

（2）主要内容

     空间解析几何简介，多元函数的极限与连续性，偏导数与全微分，复合函数的微分法，隐函数的偏导及多元函数的极值。

（3）教学方法与要求

教学方法：课堂讲授为辅，课堂解惑、讨论、练习、测试等为主，师生互动讨论，总学时为15.5学时，含思政、习题课，以引导学生的学习兴趣，树立正确的人生态度，激发学生的学习积极性。并讲评作业并补充练习，巩固知识点。教学要求：了解空间直角坐标系、两点距离公式和曲面的方程。了解多元函数的概念，二元函数的表示法与几何意义；理解二元函数的极限与连续。理解多元函数的偏导数与全微分的概念；掌握求偏导数、全微分的方法。会求复合函数的一阶与二阶偏导数；掌握全微分的方法。会求隐函数的导数或偏导数。理解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件；二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求一些简单的有关最大值、最小值的应用题。

（4）重点难点

重点：多元函数的偏导数与全微分、复合函数的一阶与二阶偏导数、隐函数的偏导数、多元函数的极值和条件极值、最值的实际问题。

难点：复合函数的二阶偏导数、隐函数的二阶偏导数及约束条件为两个的条件极值。

2.二重积分

（1）主要内容

   二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算及极坐标系下二重积分的计算。

（2）教学方法与要求

教学方法：课堂讲授为辅，课堂解惑、讨论、练习、测试等为主，讲评作业并补充练习，巩固知识点，师生互动讨论，总学时为7学时。

教学要求：理解二重积分的概念；掌握二重积分的性质。掌握直角坐标系下二重积分的计算及极坐标系下二重积分的计算，交换积分次序。

（3）重点难点

重点：二重积分的计算。

难点：极坐标变换下计算二重积分。

3. 级数

（1）思政融入点

人们认识客观事物数量特征时，往往需要一个由近似到精确的过程。在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题。

我国古代数学理论的奠基者之一，魏晋时的数学家刘徽曾利用圆的内接正多边形来计算圆的面积，称割圆术，其具体做法是，在半径为1的单位圆内内接正六边形，其面积记作a1,它可以作为圆面积A的一个近似值，再以正六边形的每一条边为底，在小弓形内作一个顶点在圆周上的等腰三角形，记这六个三角形的面积之和为a2，于是，圆内内接正十二边形的面积之和为a1+a2，较a1更接近圆的面积A.依次继续下去，可以得到一系列圆面积的近似值：A1=a1，A2=a1+a2，….,An=a1+a2+…+an,当n无限增大时，就得到一个由无穷多个数相加的式子a1+a2+…+an+….，这样的式子称无穷级数。

英国曼彻斯特大学和埃克塞特大学的研究小组指出，印度喀拉拉学校也曾发现可用于计算圆周率的无穷级数，并利用它将圆周率的值精确到小数点后第9位和第10位，后来又精确到第17位。研究人员说，一个极有说服力的间接证据是，15世纪，印度人曾经将他们的发现告知造访印度的精通数学的耶稣会传教士。“无穷级数”可能最终摆到了牛顿本人的书桌上。

约瑟夫是在通读字迹模糊的印度文字材料时得出这些发现的，他的畅销著作《孔雀之冠：非欧洲的数学之根》(The Crest of the Peacock: the Non-European Roots of Mathematics）的第3版将刊登此次发现，该书由普林斯顿大学出版社负责出版。他说：“现代数学的起源通常被视为欧洲人取得的一项成就，但中世纪(14至16世纪）印度的这些发现却被人们忽视或者遗忘了。17世纪末期，牛顿的工作取得了辉煌的成就。他所做的贡献是不容人们抹杀的，尤其在提到微积分的运算法则时更是如此。但喀拉拉学校的学者——特别是马德哈瓦（Madhava）和尼拉坎特哈（Nilakantha）的名字也同样不能忘记，他们取得的成就足以和牛顿平起平坐，因为正是他们发现了微积分的另一个重要组成部分——无穷级数。”

约瑟夫表示：“喀拉拉学校所做的贡献未能获得世人的承认有很多原因，其中一个最重要的原因便是对非欧洲世界的科学发现漠然视之的态度，这种做法无疑是对欧洲殖民主义在科学领域的一种延续。此外，对于中世纪的喀拉拉语、马拉雅拉姆语等印度当地语言的形态，外人可以说是知之甚少，而诸如《Yuktibhasa》等一些最具有开创性的著作却又偏偏使用了这些语言。《Yuktibhasa》的大部分篇幅都用来阐述产生重要影响的无穷级数。”他指出：“我们真的无法想象，西方社会能够抛弃奉行了500年之久的传统，从印度和伊斯兰世界‘进口’学识和著作。但我们还是发现了强有力的证据，例如，由于当时的欧洲耶稣会士曾造访这一地区，所以他们有很多收集相关信息的机会。更为重要的是，这些耶稣会士不但精通数学，同时也精通当地的语言。

约瑟夫说：“他们之所以这么做实际上有很大的动机：教皇格雷戈里八世组建了一个委员会，专门负责为罗马的儒略历实现现代化。这个委员会的成员包括德国耶稣会士、天文学家兼数学家克拉维乌斯，他曾多次要求获得世界其它地区的人如何打造历法的信息，而喀拉拉学校无疑在这一领域扮演着领导者的角色。”他表示：“类似地，人们对更有效的导航方式的需求也变得越发强烈，包括在探险之旅中如何保持时间的准确性。此外，致力于天文学研究的数学家也可凭借自己的努力获得大奖。因此，欧洲重要的耶稣会研究人员的足迹便开始遍布全世界，以获得相关的知识和信息，而喀拉拉学校的数学家无疑是这一领域的大师。”通过级数的学习，激发学生对学习的兴趣，刻苦学习，树立学生的正确的人生态度，增强抵制错误思潮和拜金主义、享乐主义、极端个人主义等腐朽思想侵蚀的能力。

（2）主要内容

     数项级数的基本概念与性质，正项级数收敛性的判别法，交错级数，绝对收敛与条件收敛，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的性质，泰勒公式与泰勒级数，几个基本初等函数的幂级数展开。

（3）教学方法与要求

教学方法：课堂讲授为辅，课堂解惑、讨论、练习、测试等为主，讲评作业并补充练习，巩固知识点，师生互动讨论，总学时为12.5学时，以引导学生刻苦学习，树立正确的人生态度，增强抵制错误思潮和拜金主义、享乐主义、极端个人主义等腐朽思想侵蚀的能力。并讲评作业并补充练习，巩固知识点。

教学要求：理解无穷级数的概念。掌握正项级数、交错级数的收敛性的判别方法。理解任意项级数的敛散性；理解级数的绝对收敛与条件收敛的概念和判别法。会求幂级数的收敛半径、收敛区间；掌握幂级数和函数的性质，会利用幂级数的和函数求一些数值级数的和。了解泰勒公式和泰勒级数的概念，掌握函数展开为幂级数的方法以及一些基本初等函数的泰勒展开式。

（4）重点难点

重点：正项级数与交错级数的收敛性的判别方法、任意项级数的绝对收敛与条件收敛、幂级数的收敛半径与收敛区间、幂级数求和、函数展开成幂级数。

难点：级数收敛性的判别、幂级数求和、函数展开成幂级数。

4. 微分方程与差分方程

（1）思政融入点

微分方程的历史最早谈及微分方程的数学家是 Huygens（克里斯蒂安·惠更斯，荷兰物理学家、天文学家、数学家） 与 Leibniz（莱布尼茨，是德国哲学家、逻辑学家、数学家和科学家），最先以微积分技巧处理微分方程可能是 James Bernoulli （雅各布第一·伯努利）的等时曲线问题（牛顿的方法是几何的）。

常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。

微分方程在经济学中的应用：运用微分方程或微分方程组，可以描述经济系统的动态运行规律。运用微分方程，可以分析经济系统的均衡与稳定性。在微分方程中加入控制变量，将经济学问题转化为最优控制问题，可以分析经济系统的最优控制策略。即研究各经济变量之间的联系及其变化的内在规律，根据经济运行的内在动因，通过建立微分方程模型，并求解微分方程模型，从数量方面刻画与描述经济系统的运行机理、运行过程及变化趋势。如价格调整模型、新技术推广模型、公司净资产分析模型、储蓄、投资与国民收入关系模型等。通过微分方程的学习，让学生理解数学的重要性，勤奋学习，以更好地解决实际问题，激发学生对学习的兴趣，从而树立学生的正确的人生态度，增强抵制错误思潮和拜金主义、享乐主义、极端个人主义等腐朽思想侵蚀的能力。

（2）主要内容

     微分方程的基本概念，一阶微分方程，可降阶的二阶微分方程，二阶常系数齐次线性与非齐次线性微分方程，差分及差分微分方程的基本概念，一阶常系数线性差分方程。

（3）教学方法与要求

教学方法：课堂讲授为辅，课堂解惑、讨论、练习、测试等为主，讲评作业并补充练习，巩固知识点，师生互动讨论，总学时为12.5学时，以引导学生勤奋学习，激发学生对学习的兴趣，从而树立学生的正确的人生态度。并讲评作业并补充练习，巩固知识点。

教学要求：理解微分方程的阶、解、初始条件、通解、特解、线性方程解的结构的概念。会求可分离变量微分方程，一阶线性微分方程，齐次微分方程。会求可降阶的几种二阶微分方程。会求二阶常系数线性齐次方程；二阶常系数线性非齐次方程。了解差分方程的概念，一阶常系数线性差分方程。

（3）重点难点

重点：分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性齐次方程、二阶常系数线性非齐次方程等的通解、特解的求解。

难点：二阶常系数线性非齐次方程的通解的求解。

三、   实践环节及要求

本课程无实践环节

四、   与其它课程的联系

先修课程：高等数学D1

后续课程：线性代数，概率论与数理统计等课程。

五、  学时分配

表3   学时分配表

六、   课程考核方式及成绩评定方法

本课程是考试类课程，考试方式为期末闭卷笔试。

课程考核与成绩评定方法（如表4）为：

考核：1）课后作业、平时表现、课堂表现、含思政的课外应用性作业或课外报告（如学习态度、学习方法等）等；

2）测验（期中考试）、期末考试。（试卷中含思政的问题分析或实际应用等）

成绩评定：学生最终总评成绩由平时成绩50%（平时成绩含课后作业、平时表现、课堂表现、含思政的课外应用性作业或课外报告等，期中或平时测验（试卷中含思政的问题分析或实际应用等）），期末成绩50%。

成绩录入教务系统参照《杭州电子科技大学本科学生成绩管理规定》（杭电教[2013]98号）。

表4 课程考核与成绩评定方法

七、   教学资源

表5本课程的基本教学资源

八、   编制与审核

表6大纲编制与审核信息

杭州电子科技大学

二○二〇至二○二一学年第二学期

学  期  授  课  计  划

（基于MOOCs的“翻转课堂”课程改革项目试点的授课计划）

学院主管教学领导签名：             教研室主任签名：           

2021年  月  日