《初等数学研究》课程标准

适应专业：数学与应用数学专业

所属教研室：数学与应用数学研室

课程编号：07215119

课程名称：初等数学研究（Elementary Mathematics Research）

课程类型：专业核心课

     学时学分：64学时（4学分）

     一、课程概述

（一）课程性质。

初等数学研究是高等师范院校数学与应用数学（师范）专业的专业课。它是在学生掌握了一定的高等数学理论知识的基础上，继心理学、教育学之后而开设的。本课程从中学数学教学的需要出发，以基本问题分成若干专题进行研究，在内容上适当加深和拓广，在理论、观点、思想、方法上予以总结提高，并着重解决理论方面的问题。

本课程的重点是培养学生作为未来的中学数学教师严谨、系统的初等数学理论和基础知识，训练作为未来的中学数学教师的技巧，为教好中学数学打下较坚实的基础。

（二）基本理念。

该课程与中学数学教学联系密切，用先进的思想、观点和方法，对初等数学的基础理论和基本知识进行分析、研究。通过该课程的学习，能够使学生对初等数学有全面而连贯的理解和认识，掌握从事初等数学教学与研究的方法，提高学生从事中学数学教学、驾驭中学数学教材的能力和进行数学教学研究的理论水平，为将来从事数学教学工作打下必要的基础。

（三）设计思路。

1.教学改革基本理念

基础教育新课程标准对课程体系、课程内容、课程设置等方面进行了根本性的变革，这使以提高本科生初等数学素养为宗旨《初等数学研究》课程的开设面临挑战。因此，《初等数学研究》的教学基本理念也要发生相应的变化，应以高观点统帅初等数学，紧密联系中学实际，突出并加强课程的研究性，注意改变学生的学习方式。 初等数学虽然抽象的深度不如高等数学，但它的综合性强，数形并举，题型繁多，而且方法、策略、技巧层出不穷，这些都为我们提供了丰富的研究课题。在《初等数学研究》的教学中，我们可以充分利用这种特点，指导学生了解初等数学研究的现状与动向，尽可能多的向学生介绍初等数学研究的新成果，并注意把数学家的创造过程反映出来，将学生带入初等数学研究的前沿领域，指导学生如何去选择初等数学研究的问题与课题，如何进行课题的研究.以培养他们分析问题和解决问题的能力和创新思维意识。

2.总体设计原则

（1）对教材内容灵活安排，增加介绍中学新教改的内容。

  为了适应中学课程改革的需要，初等数学研究课程必须精选内容，用以较高的观点审视、观察和阐述初等数学中的相关内容，对中学数学中用描述的方法引进的一些数学概念给出精确的定义，对未作证明或证明不完整的具有广泛应用性的教学思想方法作进一步的训练与研究，帮助学生对初等数学知识形成较完善的认知结构，并增加部分新教改内容。为学生将来从事数学教学、研究工作和应用数学打下坚实的基础。对中学中学生比较熟悉的内容快速带过，而中学没有讲透或没提到的内容着重讲解，如:不等式的部分内容、允许重复的排列与组合、梅涅劳定理、初等几何的变换、轨迹、作图等内容着重讲解。

（2）授课方式灵活多样，主要采取教师导引——自主学习——师生讨论交流等形式。

 新课改强调“探究”教学方法，提倡主体教育、师生互动和科学探索，强调以“探究”为特征的教学策略、方法，师生开展研究性学习，对学生可自学掌握的内容简化，分小组讨论，上台演示，不仅要讲解题目的解答过程，还要讲解自己的思维过程，下面学生提问。其他学生有不同的解法和意见，可以上台补充，在这样的互动气氛下，台上台下学生思维更为活跃，课堂气氛热烈。学生毕业后大多到中小学工作，而中学招聘教师时通常要经过说课和试讲一关，经过学生上台演示，学生不但对所学内容理解更透彻，经过这样的训练，学生的教态、口才、组织教学能力等也得到了提高，不少学生还要求多次上台机会，课堂气氛很活跃。

（3）突出研究特点，重视培养学生的研究创新能力。

调动学生的积极性和让学生参与进来研究是上好这门课程的关键。从确立学生的主体地位入手，有效地改变教师的教学方式和学生的学习方式，使教师成为教学活动的组织者、引导者、合作者，学生真正成为学习的主人。重视对学生进行研究创新能力的培养。师范专业的学生毕业后大多到中小学工作，且目前我国的教育还是应试教育的阶段，鼓励学生查阅近年的中考或高考题，自己作系统的归纳总结，并结合所学知识对题解也作相应的总结，为就业面试的试讲及说课做准备。

课后给学生布置研究任务，介绍研究的方法、步骤和基本要求，资料的收集、整理和加工方面的知识，指出参考读物。课堂教学应引导启发学生分析探索，在传授知识技能的同时，更要注重培养学生的探索研究能力。根据学生的成果，会在下课前留出十几分钟让学生上台演示自己的成果。这样可激起学生探索研究的兴趣和潜能。比如，讲到数列内容时，就有学生结合高中知识，总结了数列求和的一般方法，数列通项求法总结，详细分析可化为递归问题的类型和不动点法求数列通项的类型，并就书本上的例子分别以不同的方法给予解答。中学几何问题较多会用代数方法解决，学生就一些几何证明问题，分别利用不同的方法给予归纳。不少学生在探索研究过程中，已经找到毕业论文的方向。使学生扩大了知识面，提高了科研意识和能力。

（4）高等数学知识与初等数学知识建立联系。

结合《高等代数》和《高等几何》的知识对相关内容作比较及联系，例如利用初等数学方法和仿射变换来证明梅涅劳定理等，使学生对所学内容更感兴趣。

利用高等数学的知识，如极限、导数等，讲解不等式的证明、函数凹凸性的证明

分别利用初等数学及高等数学教学，与大学所学知识融会贯通，思路更加开阔。

（5）运用现代的教学手段。

制作教学课件，提高课堂教学效率。特别在几何变换、轨迹的求解和一些涉及合成轨迹的例子中利用“几何画板”，可将图形变换的整个动态过程演示出来，并能多次重复再现整个分析过程，让学生理解得更透彻，并能够注意到在解轨迹题的时候要更全面，不会有遗漏。

3.课程设置依据

专业依据。全国各高等师范本科院数学与应用数学（师范类）专业均开设了本课程。

培养对象依据。本课程与师范生从事中小学数学教学和研究有联系密切，是师范生培养教学技能和研究能力必备的数学专业课程。

4.课程内容结构

5.理论与实践比例

理论教学64学时，实践教学0学时。

6.课时安排说明

本课程总计64学时，4学分，16教学周，其中理论教学64学时，实践教学0学时。

7.学时分配

（参看本课程标准“课程内容结构”和“课程内容”）

8.考试与评价方式

建立“三位一体”的评价方式，亦即过程评价：以学生在教学过程的参与程度作为评价的基本标准；目标评价：以课程标准目标作为评价的重要标准；能力评价：以学生运用本课程知识解决相关理论和实际问题为参照标准。

总成绩=平时成绩30%+期末考试成绩70%。    

 二、课程目标

（一）总体目标。

本课程的总目标是通过该课程学习，能使学生对初等数学有全面而连贯的理解和认识，掌握从事初等数学教学与研究的方法，提高学生从事中驾驭中学数学教材的能力和进行数学教学研究的理论水平，为将来从事数学教学工作打下必要的基础；使学生学会用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决学习、生活、工作中遇到的实际问题，从而进一步增进对数学的理解和兴趣；使学生具有一定的创新精神和提出问题分析问题解决问题的能力，从而促进生活、事业的全面充分的发展；使学生既具有独立思考又具有团体协作精神，在科学工作事业中实事求是、坚持真理，勇于攻克难题；使学生能敏感地把握现实社会经济的脉搏，适应社会经济的变革发展，做时代的主人。

（二）具体目标。

通过本课程的教学，使师范生具有较高的数学素养，学会用现代数学的思想、观点和方法对中学数学进行分析、研究，居高临下地对中学教材有较全面、系统、深入的理解和把握。

通过本课程的教学，展现数学知识的发生、发展过程，体现初等数学的高度的技巧性、严密的逻辑性和广泛的应用性；在实践教学活动中，加深对理论知识学习的理解，培养、提高应用型人才的综合素质。

 三、课程内容

第一单元  绪论

（一）课程教学内容

§1.1 基础内容。

了解科学的数学，了解数学研究的对象，了解科学数学的发展，掌握初等数学研究的对象，理解初等数学的含义，掌握初等数学问题及其解决。

§1.2 提高内容。

初等数学问题及其解决。

§1.3 扩展内容。

著名初等数学问题的再研究。

（二）学习性主要任务。

了解科学的数学概念，把握数学的科学含义；理解数学研究的对象及其变迁，了解科学数学的发展及各个阶段不同特点；掌握初等数学研究的对象，明确初等数学在数学学科中的地位、作用，及其与中学数学的联系，学会用高等数学的理论与观点、重要的数学思想方法分析、解决初等数学问题。理解初等数学的含义，了解一些著名初等数学问题的历史渊源及其解决方法、策略，以及它们发展的方向与现状。

（三）学时分配。4学时（其中：理论教学4学时／实践教学0学时）

第二单元  数的理论

 §1.1 基础内容。

16世纪之前的数，16、17世纪的数，18世纪之后的数，自然数的基数理论，正整数的序数理论，数系扩充的原则，整数集，有理数集，实数的定义，一元数的推广——复数，数系的性质。

§1.2 提高内容。

实数理论及其性质。

§1.3 扩展内容。

数学归纳法在解题中的应用。

（二）学习性主要任务。

了解16世纪之前的数及其发展历史，了解16、17世纪的数及其发展历史，了解18世纪之后的数及其发展历史，理解自然数的基数理论，掌握正整数的序数理论，掌握数系扩充的原则与方式，掌握整数集的定义及性质，理解有理数集的定义及性质，掌握实数的定义及性质，掌握一元数的推广——复数的概念及其性质，掌握数系的性质。

（三）学时分配。10学时（其中：理论教学10学时／实践教学0学时）

第三单元  函数的理论

（一）课程教学内容。

§1.1 基础内容。

式的定义，解析式的定义域与值域，多项式的恒等变换，一类多元多项式的因式分解，分式恒等变换，根式的转化，加法与乘法运算的统一体现——指数与对数，三角式的恒等变换，函数的定义，函数的分类，基本初等函数的公理化定义，函数基本性质的讨论，方程与不等式，同解变形，多项式方程与不等式，一元二次方程及不等式的解，一元三次、四次方程的公式解，特殊的整式方程解法举例，函数方程举例，基本不等式及其应用举例，基本数列，由基本数列得到的数列，可化为基本数列的数列举例。

§1.2 提高内容。

基本初等函数的公理化定义。

§1.3 扩展内容。

特殊的整式方程解法。

（二）学习性主要任务。

了解式的定义及分类，掌握解析式的定义域与值域，理解多项式的恒等变换，掌握一类多元多项式的因式分解，掌握分式恒等变换，了解根式的转化，理解加法与乘法运算的统一体现——指数与对数，掌握三角式的恒等变换，理解函数的定义与函数的分类，基本初等函数的公理化定义，函数基本性质的讨论，方程与不等式，同解变形，掌握多项式方程与不等式的概念，掌握一元二次方程及不等式的解法，掌握一元三次、四次方程的公式解，了解特殊的整式方程解法举例、函数方程举例，掌握基本不等式及其应用举例，了解基本数列以及由基本数列得到的数列，掌握可化为基本数列的数列。

（三）学时分配。 12学时（其中：理论教学12学时／实践教学0学时）

第四单元  几何变换

（一） 课程教学内容。

§1.1 基础内容。

几何学与变换群，反射变换，反射变换的积，合同变换，运用合同变换解题例说，合同变换的推广，相似变换的性质，特殊的相似变换——位似变换，运用相似变换解题例说，反演变换，运用反演变换解题例说，等距变换，拓扑变换。

§1.2 提高内容。

位似变换。

§1.3 扩展内容。

等距变换与拓扑变换。

（二）学习性主要任务。

了解几何学与变换群，掌握反射变换及反射变换的积，掌握合同变换，并能运用合同变换解题，掌握合同变换的推广，理解相似变换的性质，掌握特殊的相似变换——位似变换，能运用相似变换解题，掌握反演变换的概念，能运用反演变换解题，掌握等距变换与拓扑变换。

（三）学时分配。10学时（其中：理论教学10学时／实践教学0学时）

第五单元  几何解题思路

（一）课程教学内容。

§1.1 基础内容。

平面基本图形，空间基本图形，基本图形的问题解决。解决几何问题的基本方法：几何方法，代数方法，向量方法，面积方法，解析方法。几何问题的解决，几何图形的存在性：几何轨迹，几何作图。

§1.2 提高内容。

几何问题的解决。

§1.3 扩展内容。

用面积方法解决几何问题的方法与技巧。

（二）学习性主要任务。

掌握平面基本图形，掌握空间基本图形，能用基本图形解决问题。掌握解决几何问题的几种常用基本方法：几何方法，代数方法，向量方法，面积方法，解析方法。掌握几何问题的解决策略，掌握几何图形的存在性：几何轨迹与几何作图。

（三）学时分配。8学时（其中：理论教学8学时／实践教学0学时）

第六单元  初等的组合数学

（一）课程教学内容。

§1.1 基础内容。

两个基本原理与排列组合，排列组合问题例说，多项式定理，组合恒等式，容斥原理，抽屉原理，富比尼原理。

§1.2 提高内容。

抽屉原理及其在解题中的应用。

§1.3 扩展内容。

富比尼原理。

（二）学习性主要任务。

掌握两个基本原理及其应用，理解排列组合的概念及其性质，掌握排列组合解决问题的方法与策略，掌握多项式定理，能利用组合恒等式解决问题，掌握容斥原理，掌握抽屉原理，了解富比尼原理。

（三）学时分配。4学时（其中：理论教学4学时／实践教学0学时）

四、实施建议

（一）教学组织建议。

为实现本课程的目标，体现本课程的基本理念，提倡多种教学形式。

1、考虑到数学系专业的要求，力求做到：密切联系中学教学实际、突出重点、深入浅出、删繁就简、注重应用。对重要概念如数、函数、几何变换、排列组合等尽可能从具体问题引入，抽象成一般概念后，再将其应用到实际问题中去，在考虑到基本理论的系统性、完整性、统一性的同时，对许多定理的证明和推导，重点进行思路分析，解答的具体过程由学生自行完成。

2、本课程的教学，以课堂教学为主，结合现代教育技术手段进行教学，在教学中，要注重结合本校学生的具体情况，适当降低难度，以基础知识、基本方法与基本技能为基础，以高观点统领中学数学为目的，以适用、够用、有用为原则。灵活运用启发式、讨论式、研究式等方法组织教学活动。提倡互动式、设疑式等多种教学形式组织教学。

3、数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间互动的过程。教师是教

学活动的组织者、引导者与合作者。一切的教学活动必须建立在以学生为中心的基础上。要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到发展。要让学生获得成功的体验，树立信心。而要体现以学生为中心的理念，必须在教学过程中充分发挥学生的主观能动性，发掘学生的创新精神，

其次，要让学生有多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识，最后，要让学生能根据自身行动的反馈信息来形成对客观事物的认识和解决实际问题的方案。这就要求我们教师在教学过程中尽力帮助学生自己进行知识构建，而不是去复制知识，即教师要引导学生自己去认识和发现知识，认识和发现科学的方法，创造和实现知识与科学方法的应用。为此，教师就要精心设计每一次的教学活动，要根据不同层次的教学对象，课程的不同内容以及不同的目标要求灵活多样地组织教学。或讲授，或讨论，或课题设计，或问题解决，或设立情境。

（二）考核方式建议。

本课程为考试课，应加强平时测试及作业训练,学生成绩的评定以期终考试结果及作业为主要依据。

《初等数学研究》是考试课，平时成绩占总评成绩的30%，其构成为：

到课率10分 + 课堂听课、课内讨论表现10分 + 作业情况10分；期末闭卷考试成绩占总评成绩的70%。

（三）教材选用建议。

《初等数学研究教程》(普通高等教育十一五国家级规划教材)  葛军，涂荣豹著，  江苏教育出版社，2009年7月第2版。

（四）资源开发建议。

进一步丰富教学课件、规范实验教学、充分利用网上教学和学习资源，加强师生间的互动交流。

（五）条件建设建议。

学校现有的实验教学机房、多媒体教室，硬件条件较好，管理较规范，注意工具软件的及时增补和版本更新。

执笔人：张新全  教研室审核人：栾庆芳  院（系）审核人：乔宗敏