《初等数论》课程教学大纲

编制：代数与几何教研室      编制时间：2019年2月15日

一、课程基本信息

课程代码：07010126

课程名称：初等数论（Elementary Number Theory）

课程类别：专业课

课程性质：限选课

学    分：2学分

总 学 时：32学时

适用专业：数学与应用数学

先修课程：高等数学

二、课程目标

《初等数论》是师范本科学校数学与应用数学专业的一门重要专业课，数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。是在学生进入四年级后开设的一门课程。通过对《初等数论》的教学，使学生掌握初等数论的最基本的内容，使学生在掌握其基本理论的同时为从事中学数学竞赛工作提供宏观理论的积累，初等数论是研究整数最基本的性质，是一门重要的数学基础课。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及不定方程的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。1、国际奥林匹克数学竞赛中所占初等数论内容很多，学好初等数论对于培养学生进行奥林匹克数竞赛的培训工作提供理论的知识储备。2、培养学生初步的科研能力，因为初等数论是数学中理论与实践结合得最完美的基础课程，近代数学中的很多数学思想、概念、方法与技巧都是从整数的性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。确定《初等数论》的教学内容应依据初高中教学实际，立足于培养学生的数学思想、方法和技巧，掌握竞赛数学中初等数论的主要理论和进一步提高和学习的基本理论，因而整个课程分为整除、同余、同余式、不定方程和原根指标几部分。这样处理有助于形成学生完善的数学知识结构，进而从根本上提高学生的素质。

三、内容体系及要求

第一章：整数的可除性（8课时）

1.1 整除的概念、整除的性质、带余数除法；

1.2 最大公因数、辗转相除法； 1．3整数的进一步性质及最小公倍数； 1. 4 质数、算数基本定理及其应用； 1. 5 函数[X]、{X}}及其在数论中中的应用

教学要求：通过本章的学习，使学生掌握带余除法，最小公因数与最大公倍数的概念及其求法；掌握质数的概念及其性质；能熟练应用算数基本定理解决整数中的有关问题；理解函数[X]、{X}的概念

本章重点：整除的基本性质、最大公因数与最小公倍数的性质及其应用、质数的性质及算数基本定理的应用；

本章难点：质数的性质及算数基本定理的应用

教学建议：联系高等代数多项式理论中的一些理论进行讲授

第二章 不定方程（6课时）

2.1 二元一次不定方程

二元一次不定方程的判定条件及其求解公式 2.2 多元一次不定方程

多元一次不定方程判定条件及其求解公式 2.3 勾股数

商高不定方程及其求解公式、性质 2.4 费马大定理的介绍

教学要求：要求学生掌握求解n元一次不定方程及n元一次不定方程组；掌握商高不定方程的求解公式；理解商高不定方程求解公式的指导思想

教学重点：求解n元一次不定方程及n元一次不定方程组、商高不定方程的求解方法

教学难点：商高不定方程的求解公式的指导思想教学建议：联系中小学数学中不定方程的问题进行教学

第三章 同余（9课时）

3.1 同余的概念及性质 同余的概念、性质、简单应用 3.2 剩余类与完全剩余系

剩余类与完全剩余系的概念及其性质

3. 3 简化剩余系与欧拉函数

简化剩余系及其性质、欧拉函数及其性质、计算 3.4 欧拉定理、费马定理及其应用

教学要求:要求学生掌握同余的概念及其性质、理解完全剩余系与简化剩余系的概念、掌握欧拉函数的计算。

教学重点：同余的概念及其性质、欧拉函数的计算、欧拉定理的应用教学难点：欧拉定理与费马定理的应用 教学建议：结合实际问题讲授同余的概念与性质

第四章 同余式（7课时）

4.1 基本概念及一次同余式

同余式基本概念、一次同余式有解的充要条件、求解方法 4.2 孙子定理 孙子定理及其应用

4.3 高次同余式的解数与解法 4.4 质数模的同余式 质数模的同余式的简化与解法

教学要求：通过本章的学习，使学生掌握一次同余式的求解方法与求解公式，掌握孙子定理及其应用，理解高次同余式的解法

教学重点：一次同余式的解法与孙子定理的应用教学难点：孙子定理的应用与高次同余式的解法 教学建议：结合中小学数论问题，讲授孙子定理的应用

第五章 二次同余式与平方剩余（2课时）

5.1 一般二次同余式 一般二次同余式的概念与简化 5.2 单质数的平方剩余与平方非剩余 概念、欧拉判别法、性质 5.3 勒朗得符号 概念、性质、计算 5.4 质数模的二次同余式

同余式的性质、质数模的二次同余式的解法 5.5 雅克比符号 5.6 合数模的性质

教学要求：掌握平方剩余的概念与性质，掌握勒朗得符号的计算，了解二次同余式的解法。

四、教材与参考资料

1．建议教材

闵嗣鹤，严士健. 初等数论[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社，2003.

2．参考资料

[1] 张贤科，初等数论[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]潘承洞,潘承彪. 初等数论(第三版)[M].北京：北京大学出版社，2015.

[3]于秀源，瞿维建. 初等数论[M].  山东：山东教育出版社 ，2004.

[4]王丹华，杨海文，刘咏梅. 初等数论[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2008.

五、课程考核

1．考核方式：闭卷考试

2．成绩评定：本课程成绩由平时成绩和期末考核成绩合成，平时成绩占40%，期末考核成绩占60%。其中平时成绩由考勤、平时作业和课堂表现等三部分组成。

课程考核内容与要求一览表

《初等数论》授课计划

执笔人：艾小梅        制订时间： 2020  年 9 月2日

一、授课基本信息

二、授课计划

教研室主任签名：                                  学院分管教学负责人签名：     

年    月    日                                  年    月    日

说明：（1）本表由主讲教师负责填写，于每学期开学第一周送交学院（部）教务科，由教务科集中送交学院领导审核；（2）此表一式二份，其中，任课教师留一份，教师所在学院留一份；（3）本表于每学期开学第一周向任课班级公布。

教材与参考资料

1．建议教材

闵嗣鹤，严士健. 初等数论[M]. 第三版. 北京：高等教育出版社，2003.

2．参考资料

[1] 张贤科，初等数论[M].北京：高等教育出版社，2016.

[2]潘承洞,潘承彪. 初等数论(第三版)[M].北京：北京大学出版社，2015.

[3]于秀源，瞿维建. 初等数论[M].  山东：山东教育出版社 ，2004.

[4]王丹华，杨海文，刘咏梅. 初等数论[M]. 北京：北京航空航天大学出版社，2008.