附件1：湖南大学本科课程教学大纲（2024版）《高等数学B》教学大纲 .docx

附件1

《高等数学B》课程教学大纲

一、课程基本信息

二、课程简介

（一）课程中文简介（含课程性质、主要内容、授课目标等，300-500字）

高等数学课程是我校理工类学科各专业一门必修的重要基础理论课程，它能使学生获得微积分学方面的基本概念、基本理论和基本方法，并为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

高等数学课程安排上、下两个学期讲授，其主要内容包括：函数的极限与连续、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、向量代数与空间解析几何、多元函数的微分法、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、常微分方程等。

高等数学课程在传授知识的同时，将通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，并注重培养学生具有比较熟练的运算能力以及综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

湖南大学的高等数学课程是国家级精品课程，课程的教学团队是国家级教学团队，课程所使用的教材是十二五国家级规划教材。

（二）课程英文简介（300-500字）

Advanced Mathematics  is an important public basic compulsory course for the students majoring in science and engineering category at Hunan University. After completing this course, students should be able to grasp the basic concepts, basic theories and fundamental principles of calculus, and establish necessary mathematical foundation for further study.

Advanced Mathematics  is two-semester course covering topics like function, limit and continuity, derivative and differential, mean value theorem of calculus and applications of derivatives, indefinite integral, definite integral and its applications, vector algebra and space analytic geometry, differential of multivariate functions, double integral, line and surface integrals, infinite series, ordinary differential equation, etc.

In this course, instructors not only impart knowledge, but also cultivate students’ ability to draw abstraction and generalization, to make logical reasoning and to study independently. This course also focuses on enhancing a student’s ability to achieve relatively proficient calculation and the ability to analyze and solve the problems with all knowledge in hand.

Advanced Mathematics is an excellent course at Hunan University. Our  teaching team is a nationally recognized, and the course textbook belongs to the 12th Five-Year national planning textbook series.

三、课程内容

（一）课程教学目标（结合学校办学定位、专业人才培养要求，根据课程性质，具体描述学习本课程后应该达到的知识、能力水平，以及课程思政育人目标。课程思政育人目标可参照教育部《高等学校课程思政建设指导纲要》填写）

《高等数学B》是非数学类学科各专业一门必修的重要的基础理论课程，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量人才服务的。根据学校办学定位，通过本课程各教学环节，让学生在知识、能力和素养方面达到如下具体目标：

1、通过课程教学，学生了解并掌握函数的极限与连续、一元和多元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、无穷级数（包括傅里叶级数）以及常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

2、在传授知识的同时，通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

3、在课程学习的同时，鼓励学生积极发现与挖掘微积分基本知识与方法在各个不同专业领域中的重要应用，借此培养学生具有家国情怀和探索科学真理的责任感与使命感。

（二）教学基本内容

第一部分  函数、极限、连续

教学目的与要求：

通过本章的学习，学生达到以下要求

1．了解映射的概念与运算。

2．理解函数的概念。

3.了解函数的单调性、有界性、奇偶性和周期性。

4．了解反函数和复合函数的概念。

5．熟悉基本初等函数的性质及其图形。

6．能列简单实际问题中的函数关系。

7．理解极限的、定义，并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。

8．掌握极限的四则运算法则。

9．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

10．了解无穷小量、无穷大量的概念。掌握无穷小量的比较。

11．理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。

12．了解初等函数的连续性。掌握在闭区间上连续的函数的性质（介值定理、最值定理、零点存在定理）。

教学重点：

1. 函数的基本性质与基本初等函数的性质及其图形；

2. 极限的、语言以及极限运算法则；

3. 函数连续性的判定、连续函数的基本性质、闭区间上连续函数的性质。

教学难点：

1. 极限的、语言以及极限运算法则；

2. 无穷小量的比较；

3. 函数连续性的判定。

教学内容：

1. 映射的概念与运算；

2. 函数的概念及基本性质；

3. 基本初等函数；

4. 极限的定义以及四则运算法则；

5. 极限存在准则和两个重要极限；

6. 无穷小量与无穷大量，无穷小量的比较；

7. 函数的连续与间断及连续函数的性质。

教学思政元素：

通过了解极限的具体形成过程，加深对抽象的极限思想的理解。在后续学习中继续体会极限或者逼近思想在解决实际问题中的重要意义。

学时分配：

24课时（课堂教学20课时，习题课4课时）。

第二部分 一元函数微分学

教学目的与要求：通过本章的学习，学生达到以下要求

1．理解导数和微分的概念。了解导数的几何意义及函数的可导性与连续之间的关系。能用导数表示一些物理量。

2．掌握导数和微分的运算法则（包括一阶微分形式不变性）和导数的基本公式。了解高阶导数概念。能熟练地求初等函数的高阶导数。

3．掌握隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。

4．理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理。了解柯西（Cauchy）定理和泰勒（Taylor）定理。会应用拉格朗日定理。

5．理解函数的极值概念。掌握求函数的极值、判断函数的单调性与曲线图形的凸性、求函数图形的拐点等方法。求描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。会解较简单的最大值和最小值的应用问题。

6．掌握洛必达（L’Hospital）法则。

7．知道曲率和曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。

教学重点：

1. 导数和微分的概念及其运算法则；

2. 微分中值定理；

3. 导数与微分的应用。

教学难点：

1. 一阶微分形式不变性；

2. 隐函数和参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的求法；

3. 曲线凸性的判别；

4. 曲率与曲率半径的计算。

教学内容：

1. 导数和微分的概念和运算法则；

2. 高阶导数；

3. 微分中值定理；

4. 导数与微分的应用。

教学思政元素：

1. 通过导数定义的学习，了解牛顿、莱布尼茨等人在微积分创建过程中的巨大成就。从数学家们锲而不舍、克服困难、探索创新的经历中体会求真务实的科学精神。导数这一极限的定义本身也蕴含着从静止思维到动态思维的转换。引导学生从更高的一般认识论的角度观察导数。

2. 通过三大微分中值定理的渐进学习，引导学生发现三者之间的关联或者图示关系。启发学生从特殊（罗尔定理）到一般（拉格朗日中值定理）的发现过程，激发学生的创造热情。

学时分配：26课时（课堂教学22课时，习题课4课时）

第三部分  一元函数积分学

教学目的与要求：通过本章的学习，学生达到以下要求

1．理解不定积分和定积分的概念及性质。

2．熟练掌握不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分、定积分的换元法和分部积分法。掌握较简单的有理函数及三角函数有理式的积分。

3．理解积分上限函数及其性质。熟练掌握牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。

4．了解广义积分的概念。

5．熟练掌握用定积分来表达一些几何量和物理量（如面积、体积、弧长和功等等）的方法。

教学重点：

1. 不定积分和定积分的概念及性质；

2. 不定积分的基本公式和积分方法；

3. 定积分的计算；

4. 定积分的几何意义；

5. 定积分的应用。

教学难点：

1. 不定积分的换元法；

2. 积分上限函数；

3. 定积分的应用。

教学内容：

1. 不定积分和定积分的概念、性质及计算；

2. 广义积分；

3. 定积分的应用。

教学思政元素：

介绍并赏析牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式。该公式是联系微分学与积分学的桥梁，它也是微积分中最基本的公式之一。该公式不但简化了定积分的计算，而且在物理工程等具体问题上有广泛应用。通过重要公式的学习，让学生了解微积分发展的一般历史，并激发微积分学习的动力和兴趣。

学时分配：30课时（课堂教学26课时，习题课4课时）

第四部分  常微分方程

教学目的与要求：通过本章的学习，学生达到以下要求

1．了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。

2．熟练掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。

3．会解齐次方程和伯努利方程。

4．知道下列几种特殊的高阶方程

，和

的降阶法。

5．了解高阶线性微分方程解的结构。

6．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并知道高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

7．掌握自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。

8.知道欧拉方程的解法。

9.会用常微分方程求解一些简单的几何问题、物理问题。

教学重点：

1. 常微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念；

2. 一阶微分方程的解法；

3. 二阶常系数线性微分方程的解法；

4. 常微分方程的应用。

教学难点：

1. 求解一阶齐次方程和伯努利方程的变量代换法；

2. 高阶微分方程的降阶法；

3. 高阶常系数线性微分方程解的结构和求解方法；

4. 微分方程解的应用。

教学内容：

1. 微分方程的基本概念；

2. 一阶微分方程的解法；

3. 高阶微分方程的降阶法；

4. 高阶线性微分方程解的结构和求解方法；

5. 微分方程解的应用。

6. 欧拉方程的解法。

教学思政元素：

1. 了解微分方程的一般概念和模型，体会数学家们在追求简洁模型表示过程中不断克服困难、探索创新的科学精神；

2. 了解常微分方程在现代众多科学与工程领域中的重要应用，增强学生探索科学真理的责任感和使命感。

学时分配：16课时（课堂教学12课时，习题课4课时）

第五部分  向量代数和空间解析几何

教学目的与要求：通过本章的学习，学生达到以下要求

1．理解向量的概念。

2．掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)。掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件。

3．熟练掌握单位向量、方向余弦及向量的坐标表达式。

4．熟练掌握平面的方程和直线的方程及其求法。

5．理解曲面方程的概念。掌握二次曲面的标准方程及其图形。

6. 掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

7. 知道空间曲线的参数方程和一般方程。会求曲线在坐标面上的投影。

教学重点：

1. 向量的运算；

2. 平面方程、直线方程和曲面方程；

3. 二次曲面的标准方程。

教学难点：

1. 平面的方程和直线的方程及其求法；

2. 旋转曲面及柱面方程；

3. 曲线在坐标面上的投影。

教学内容：

1. 向量的概念与运算；

2. 平面方程、直线及其方程；

3. 曲面、空间曲线及其方程；

4. 二次曲面的标准方程。

教学思政元素：

强调数（代数）形（几何）的结合，鼓励学生从不同视角研究问题，从表象中发现不同事物的本质关系，激发学生的创新热情。

学时分配：16课（课堂教学14课时，习题课2课时）

第六部分  多元函数微分学

教学目的与要求：通过本章的学习，学生达到以下要求

1．理解多元函数的概念。

2．理解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭域上连续函数的性质。

3．理解偏导数与全微分的概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。

4．了解方向导数与梯度的概念，并掌握它们的计算方法。

5．熟练掌握复合函数的求导法。

6．会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。

7. 了解高阶偏导数概念。能熟练求二阶偏导数。

8．了解曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线，并掌握它们方程的求法。

9．理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。会求解一些较简单的应用问题的最大值和最小值。

教学重点：

1. 二元函数的极限和连续性；

2. 偏导数和全微分；

3. 复合函数的链式求导法则；

4. 多元函数微分学的应用。

教学难点：

1. 全微分存在的必要条件和充分条件；

2. 隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数；

3. 多元函数微分学的应用。

教学内容：

1. 多元函数的概念、极限和连续性；

2. 多元函数的偏导数和全微分；

3. 方向导数与梯度；

4. 多元函数的求导法则；

5. 多元函数微分学的应用。

教学思政元素：

了解从一元函数可导到多元函数可微这一推广过程，理解科学发展与推广的一般规律。

学时分配：26课时（课堂教学22课时，习题课4课时）

第七部分  多元函数积分学

教学目的与要求：通过本章的学习，学生达到以下要求

1．理解二重积分、三重积分的概念，知道重积分的性质。

2．熟练掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标、换元法）。掌握三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标、换元法）。

3.知道无界区域上的二重积分。

4．理解两类曲线积分的概念。知道两类曲线积分的性质。

5．掌握两类曲线积分的计算方法。

6．掌握格林（Green）公式，会运用平面曲线积分与路径无关的条件。

7．知道对面积的曲面积分的概念及并会计算对面积的曲面积分。

8．能用重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分计算一些几何量（如体积，面积，弧长等等）

教学重点：

1. 重积分的概念和性质；

2. 重积分的计算方法；

3. 曲线积分与对面积的曲面积分；

4. 多元函数积分的应用。

教学难点：

1. 重积分的计算方法；

2. 曲线与曲面积分的意义以及计算方法；

3. 多元函数积分的应用。

教学内容：

1. 重积分的概念和性质；

2. 重积分的计算方法；

3. 两类曲线积分的概念和计算方法；

4. 对面积的曲面积分的概念和计算方法；

5. 多元函数积分的应用。

教学思政元素：

1. 了解从一元函数积分学到多元函数积分学的推广发展过程，认识科学发展的一般规律；

2. 通过介绍格林公式，找出曲线积分与二重积分的转化关系，学生能够透过纷繁复杂的公式看到数学的本质，进而提升学生的数学审美和数学素养。

学时分配：34课时（课堂教学28课时，习题课6课时）

第八部分  无穷级数

教学目的与要求：通过本章的学习，学生达到以下要求

1．理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。了解无穷级数收敛的必要条件。知道无穷级数的基本性质。

2．熟练掌握几何级数、调和级数和P-级数的敛散性。

3．掌握正项级数的比较判别法。熟练掌握正项级数的比值判别法、根值判别法。

4．掌握交错级数的莱布尼兹判别法。

5．了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系。

6．知道函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7．熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。

8．知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。

9．知道函数展开为泰勒级数的充要条件。

10．掌握、、、和的麦克劳林（Maclaurin）展开式，并能利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数。

11．会用幂级数进行一些近似计算。

12．了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数。

教学重点：

1. 正项级数的敛散性判别法；

2. 幂级数的收敛域及和函数的概念和计算方法；

3. 傅里叶（Fourier）级数；

教学难点：

1. 幂级数的和函数的求法；

2. 函数展成幂级数；

3. 函数展开为傅里叶（Fourier）级数。

教学内容：

1. 无穷级数收敛、发散以及和的概念；

2. 无穷级数敛散性的判别定理；

3. 函数项级数；

4. 函数展成幂级数；

5. 傅里叶（Fourier）级数。

教学思政元素：

在介绍级数的基本概念过程中引入刘徽割圆术等问题。介绍优秀的中国数学史让学生了解古人在数学中的贡献与创造，从而树立文化自信。

学时分配：20课时（课堂教学16课时，习题课4课时）

注：1.教学目的与要求包括价值引领、知识传授、能力培养三方面的目的与要求；

2.工科专业须根据工程教育专业认证标准规定的11条毕业要求，明确说明各门课程能够支撑的毕业要求内涵观测点；其它专业可参照相关本科专业培养方案中的“培养目标-毕业要求”，明确各门课程与所支撑的相关专业的毕业要求内涵观测点的对应关系。

四、考核方式

包括考核方式和成绩构成，体现形成性的评价过程。

本课程考核成绩由平时成绩和期末考试成绩组合而成。各部分考核方式及所占比例如下：

1. 平时成绩（50%）由下列各项构成：

① 阶段测验（30%）：按照教学进度由高数教研室统一组织，采取计算机测试方式。

② 课后作业（10%）：依每次完成作业的按时、独立、正确、认真程度等给分；

③ 平时表现（10%）：依上课课堂的到课情况以及上课的认真态度、上课讨论和回答问题情况、上课是否持有教材情况、课后学习情况以及课堂内不定期的小测验给分。目的是强化课堂管理，督促学生平时认真学习。

2. 期末考试成绩（50%）：根据课程统一教学要求，统一考试试题、统一考试时间、统一评分标准、统一评阅试卷。试卷以百分制记分。

五、授课手段（教学方法）

以线下课堂教学为主，线上自学慕课资源为辅。课堂教学以信息化多媒体手段辅助教学，引入互动环节，使同学们能更好融入课堂教学，提高教学效果。

习题课主要是课堂的讲授和课堂练习、讨论相结合。通过对典型例题的分析，帮助学生理解课堂教学内容，并通过相关题型的练习，掌握相应的理论和计算方法。

【注】带星号*的内容由任课老师选讲。

执笔人：彭豪        审核人：周金华         批准人：  雷渊       



《 高等数学BI 》教学进程表（日历） 

课程代码: ZJ001SX24BⅠ              选用教材：大学数学1（第 4版）   湖南大学数学学院组编  高等教育出版社

课程名称: 高等数学BⅠ 习题课教材：高等数学(上)学习指导与练习（第4版） 湖南大学数学院组编  湖南大学出版社

授课学期：2025~2026-1    授课班级:经济学类2501-03，经济学类2504-06 ； 授课教师: 李永群

授课时间: 周一1-4节 ；周三1-2节,5-6节 ；周五1-4节；地点：二教305

答疑方式及时间：班级QQ群答疑（课后均可）； 1-18周周二下午 15:00-16:00 ；地点： 数学院331

（2）课程中心 （可查阅相关资料）               

（3）在线考试（请关注教务系统通知和老师的班级群公告)

备注：课程总评成绩构成：阶段测验安排1次 统一机试30%；作业及平时学习记录等 20%； 期末统一笔试 50%.

教学 18周，授课 16周完成；授课38次，每次90分钟（连续）；

讨论 7次，每次 90分钟；实验(项目) 0次；考试 2次（包括期末考试）.

【注】本期的机试考试的安排请关注教务网站上的通知或任课老师的班级QQ群公告通知.

《高等数学BⅡ》教学进程表

课程代码: ZJ001SX24BⅡ    选用教材：大学数学2（第4版）    湖南大学数学学院组编        高等教育出版社

课程名称: 高等数学BⅡ       习题课教材：高等数学(下)学习指导与练习 湖南大学数学院组编   湖南大学出版社

授课学期：2024~2025-2         授课班级：国贸2401-03，经济2401-04   授课教师：李永群

授课时间，地点:  2025年2月-6月，周一12,56节，周三1234节，周五1234节，二教302

答疑时间、地点：下课后面对面答疑，网上班级QQ群答疑及QQ一对一答疑

课程网上资源：(1)爱课程网：https://www.icourses.cn/sCourse/course_2806.html高等数学资源共享课；

（2）班级QQ群及课程中心 （新）             

（3）在线考试（请关注教务系统通知和老师的班级群公告)

课程总评成绩构成：阶段测验安排(机试占30%）；平时、作业及课堂综合表现等20%；期末（笔试统考）50%。

备注1 教学 16周，授课 16周完成；授课40次，每次90分钟（连续）；讨论 8次，每次 90分钟；

2 实验(项目) 0次；测验(考查) 2次（包括一次机试和期末）；

3 机试和期末笔试的具体安排见教务网站上的通知。

202４-202５-1高等数学B1教学进程表(李永群).doc

《 高等数学B1 》教学进程表（日历） 

课程代码: GE03025           选用教材：大学数学1（第 4版）   湖南大学数学学院组编  高等教育出版社

课程名称: 高等数学B(1)  习题课教材：高等数学(上)学习指导与练习（第3版） 湖南大学数学院组编  湖南大学出版社

授课学期：2024~2025-1    授课班级：经济学类2401-04（国贸2401-03），  授课教师: 李永群

授课时间: 周一56节（34节） ；周三34节（12节） ；周五12节（34节）；地点：二教104，二教205

答疑时间、地点：晚上19—21点网上(班级QQ群)答疑！     1-18周周二下午 15:00-16:00数学院331

课程网上资源  (1)爱课程网：https://www.icourses.cn/sCourse/course_2806.html 高等数学资源共享课；

（2）课程中心 （新）              

（3）在线考试（请关注教务系统通知和老师的班级群公告)

备注：课程总评成绩构成：阶段测验安排1次 统一机试30%；作业及平时学习记录等 20%； 期末统一笔试 50%.

教学 18周，授课 16周完成；授课40次，每次90分钟（连续）；

讨论 8次，每次 90分钟；实验(项目) 0次；考试 2次（包括期末考试）.

【注】本期的机试考试的安排请关注教务网站上的通知或任课老师的班级QQ群公告通知.