自古以来，人们都渴望揭示星空的秘密，似乎做到这一点，就可以从神的手中接过权杖。

从仰望星空开始，人类就距揭示宇宙奥秘只有一步之遥了。 ----刘慈欣《朝闻道》

20 多年来，丹麦天文学家第谷（如下图左侧所示）一直在丹麦皇家天文台观察行星运转，临死时把观察数据交给了他的助手，德国天文学家、数学家开普勒（如下图右侧所示，但似乎没有书面文件说明开普勒可以使用这个数据，所以后面还扯了些官司出来）。

                第谷·布拉赫（1546 －1601）     约翰内斯·开普勒（1571－1630）

开普勒继承数据后，就以“日心说”为假设，花了好几年的时间，日算夜算，归纳总结出了开普勒三定律（是的，活生生的通过数据猜出来的），成功地预测了一个个天文现象，达到了中世纪天文的高峰。其中开普勒第二定律说的是，在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的，如下图所示。

也就是说，上图中：每块的面积相等且行星经过各段路程的时间也相同，所以运用开普勒第二定律时会要求不规则图形的面积，这就对数学提出了一个不好回答的问题。

计算复杂的面积，我们需要化繁为简。比如阿基米德：

                             古希腊数学家，阿基米德（前287－前212）

他在计算圆的面积时，就是用简单的、好计算的内接正多边形去逼近，从而得到答案

多边形是直线组成的，圆是曲线，所以这种思想称为 以直代曲 ，其在数学中更正式的称谓是 线性近似 （Linear approximation）。

“线性近似”的思想还可用在更一般的复杂图形上，比如微积分的主要研究对象：曲边梯形。

曲边梯形 是一种由某曲线、曲线的两侧边界以及轴围成的图形（这里先给出大致的描述，在后面课程中会给出严格定义），如下图所示。

                             由某曲线、曲线的两侧边界以及轴围成的曲边梯形

根据“线性近似”的思想，可以用一些矩形来逼近曲边梯形的面积，如下图所示。

                                                      用矩形来逼近曲边梯形

矩形越多逼近效果就越好，如下图所示。

1 古典微积分

如下图所示，通过矩形来逼近曲边梯形，最终算出曲边梯形的面积，就是最初的 微积分 ，本课程称之为 古典微积分 。

通过矩形来逼近曲边梯形

不断增加矩形，即不断缩小矩形，最终得到的小矩形在古典微积分中称为 微分 ，如下图所示。

古典微积分中的微分

然后将无数这样的微小矩形的面积加起来，从而算出曲边梯形的面积，如下图所示，这就是古典微积分中的 积分 。

古典微积分中的积分

在古典微积分发明的年代，有一位微积分发展史上的著名“大反派”，这就是贝克莱主教，如下图所示。

英裔爱尔兰哲学家，爱尔兰科克郡克洛因镇主教，乔治·贝克莱（1685－1753）

他提出了著名的质疑，到底什么是“最终得到的小矩形”（作为一个主教，用数学的思维来攻击数学，这明明是被神学耽误了的数学家啊），如下图所示。

贝克莱主教的质疑，什么是“最终得到的小矩形”

这是因为“最终得到的小矩形”这个说法经不起推敲，仔细想想是存在矛盾的：

“最终得到的小矩形”的面积肯定不能为 0，否则无穷多个 0 相加仍然为 0

“最终得到的小矩形”面积必须是最小的，否则相加后得到的面积始终会和曲面梯形有一些误差

  假设“最终得到的小矩形”的宽为，那么很显然宽为的矩形更小，所以“最终得到的小矩形”面积不可能是最小的

            本课程会尝试从解决古典微积分中的问题开始，逐步介绍更严谨的微积分是什么样子的。