关于宇宙学问题的评注
——《相对论的意义》第二版（1945年）的附录⁽¹⁾

（1）虽然从相对论的观点来看，在引力方程里引进“宇宙学项”是可能的，但从逻辑的经济观点来看，却不能这样做。正如弗里德曼（）所首先指出的，如果承认两个质点的度规距离可随时间而变化，那么就能使那个到处是非无限小的物质密度同引力方程的原有形式调和起来。⁽²⁾

（2）只要要求宇宙在空间上是各向同性的，就可得出弗里德曼的形式。因此无疑地，它是适合于宇宙学问题的普遍形式的。

（3）略去空间曲率的影响，就可以得到平均密度同哈布耳膨胀之间的关系，这关系在数量级上已得到经验的证实。

还可以得到从膨胀开始到现在的时间，其数值的数量级是10⁹年。这个时间的短促是不符合恒星发展的理论的。

（4）后者的结果不因空间曲率的引进而有所改变；它也不因考虑到星和星系彼此间相对的无规则运动而有所改变。

（5）有人试图不用多普勒效应来解释哈布耳的光谱线的移动。可是在已知的物理事实中，并没有支持这种想法的。根据这种假说，就有可能用一根刚性杆把两颗星S₁和S₂连接起来。如果沿着杆的光的波长个数在路上应当随时间而变化，那么从S₁发送到S₂并且又反射回来的单色光，就会以不同的频率（由S₁上的时钟量出）回到S₁。这意味着在各地量得的光速要取决于时间，这甚至同狭义相对论也是矛盾的。此外，还应当注意到，在S₁和S₂之间来回往返的光信号就构成一只“钟”，但它却不能同那只在S₁上的钟（比如原子钟）保持不变的关系。这就意味着不存在相对论意义上的度规。这不仅会使人失去对于一切由相对论所得出的那些关系的理解，而且也不符合这样的事实：某些原子论性的形式并不是以“相似性”而是以“全等性”相关联起来的（锐光谱线、原子体积等等的存在）。

可是以上的考查是以波动论为根据的，也许上述假说的某些创议者会设想光的膨胀过程是完全不遵照波动论的，而多少是有点像康普顿效应那样的。关于这种没有散射过程的假定，就构成了一种假说，它从我们现有的知识来看，是证据不足的。它也无法解释为什么频率的相对移动会同原来的频率无关。因此人们不得不认为哈布耳的发现就是星系的膨胀。

（6）假定“世界的起始”（膨胀的开始）大约只在10⁹年以前，对这个假定的怀疑，既有经验性的根源，也有理论性的根源。天文学家倾向于把不同光谱型的星看作是均匀发展的年龄等级，这种发展过程所需要的时间要远超过10⁹年。因此，这样的一种理论实际上是同相对论性方程所论证的结果相矛盾的。可是在我看来，星体的“演化理论”所根据的基础要比场方程脆弱。

理论上的怀疑所根据的是，在开始膨胀时，度规成为奇异的，而密度ρ成为无限大。在这里，应当注意到：目前相对论所根据的是，把物理实在分为两方面，一方面是度规场（引力）；另一方面是电磁场和物质。实际上空间也许是具有均匀的特征的，而目前的理论只能作为极限情况才有效。对于很大的场密度和物质密度，场方程以至这些方程中的场变量都不会有实在的意义。所以人们不可假定这些方程对于很高的场密度和物质密度仍然是有效的，也不可下结论说“膨胀的起始”就必定意味着数学上的奇点。总之，我们必须明白，这些方程不可扩展到这样的一些区域中去。

可是这种考虑并不改变如下的事实：从现存的星和星系的发展观点来看，“世界的起始”实际上是这样的一种起始，在那时，这些星和星系都还没有作为单独的实体而存在。

（7）然而有一些经验的论据是支持这理论所需要的动态空间概念的。尽管铀在进行比较快的分解，而且也看不出有创造铀的可能，但是为什么仍然有铀存在着呢？为什么空间不是充满辐射，使得夜间的天空看起来像一张白炽的曲面呢？这是一个老问题，从静态世界的观点来看，它至今还找不到一个令人满意的答案。但要研究这类问题，就会走得太远了。

（8）由于上述理由，看来我们必须认真接受膨胀宇宙这个观念，尽管这个膨胀的宇宙的“年龄”不长。要是这样做了，主要的问题就变成：空间究竟是具有正的还是负的空间曲率呢？对此，我们要加以如下的评论。

从经验的观点来看，这个决定最后归结于这个表示式是正的（球面的情况）还是负的（伪球面的（pseudospherical）情况）问题。我以为这是最重要的问题。根据目前天文学的状况，要作经验上的决定，看来不是不可能的。因为h（哈布耳膨胀）有比较为大家所公认的值，一切就取决于尽可能准确地测定ρ。

要证明世界是球面的，那是可以想象的。（要证明它是伪球面的，那就难以想象了。）这是由于人们总是能够给ρ定出下界，而不能定出上界。情况所以如此，那是因为我们简直无法形成一种看法，来说明ρ究竟有多大一部分是由天文学上观测不到的（没有辐射的）物体所给予的。我要稍微详细地来讨论这问题。

人们只要考虑到所有辐射星体的质量，就能定出ρ的下界ρ_s。如果看起来，那就要断定是支持球面空间的。如果看来，那就必须试图确定无辐射的物体所分担的部分ρ_d。我们要证明，的下界还是能够求出来的。

我们考查这样一个天体，它包含有许多单个星体，并且在足够的准确度上可看作是一个稳定的体系，比如是一个球状星团（其视差是已知的）。由光谱观测得到的速度，就能确定引力场（在好像是合理的假定下），由此也就能确定那些产生这个场的质量。这样算出的质量能够同星团中可见的星的质量作比较，这样，对于产生场的质量比星团中可见的星的质量究竟大多少，至少得到了一个粗略的近似值。对于这个特殊的星团，我们就因此估计出了。

既然无辐射的星平均要比辐射的星小，由于它们同星团中的各个星之间的相互作用，它们比起较大的星来，平均倾向于较大的速度。所以它们比起大的星来，会更快地从星团里“蒸发”掉。因此可以期望，小的天体在星团里面出现的相对频数会比在星团外面出现的小。由此可以得到一个在整个空间里这个比率的下界（上述星团中的密度关系）。于是得到空间里全部质量的平均密度的下界是：

如果这个量大于，那么就可断定空间是具有球面特征的。另一方面，我却想不出有什么可以确定ρ的上界的可靠方法。

（9）最后，但不是最不重要的：宇宙的年龄，按照这里所用的意义来说，无疑地必定大过由放射性矿物所推断出的坚固地壳的年龄。既然由这些矿物所测定的年龄在任何方面都是可靠的，那么，如果发觉这里所提出的宇宙学的理论同任何这样的结果有矛盾，它就要被推翻。在这种情况下，我看不出有合理的解决办法。

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(1) 这是1945年出版的《相对论的意义》第二版的附录的最后一节。这个附录主要是讨论宇宙学问题，其最后一节原来的标题是“摘要以及其他的评注”。这里译自该书第五版（The Meaning of Relativity，普林斯顿大学出版社出版，1955年），127—132页。标题是我们加的。——编译者

(2) 倘若哈布耳（Hubble）的膨胀是在广义相对论的创立时期发现的，宇宙学项就绝不会引进来。现在看来，场方程里引进这样一个项，更是缺少根据，因为它的引进已失却了原来的唯一根据——即要求导致宇宙学问题的自然解法。——原注