四　相对论

没有一种归纳法能够导致物理学的基本概念。对这个事实的不了解，铸成了十九世纪多少研究者在哲学上的根本错误。这也许就是分子论和麦克斯韦理论只有在比较晚近的年代里才能确立起来的缘故。逻辑思维必然是演绎的；它以假设的概念和公理为基础。我们怎样能够指望来选择这些概念和公理，使我们可以希望那些从它们导出来的推论得以证实呢？

最美满的情况显然是出现在这样的场合中：在那里，新的基本假说是由经验世界本身所提示的。作为热力学基础的永动机不存在这一假说，就为经验所提示的基本假说提供了一个例子；伽利略的惯性原理也是这样。而且，在同一范畴里，我们也找到了相对论的基本假说，这理论导致了场论的一个料想不到的扩充和推广，也导致了古典力学基础的更换。

麦克斯韦-洛伦兹理论的成就，使人们对空虚空间电磁场方程的有效性深信不疑，因此，也特别相信这样的断言：光是以某一不变的速率c“在空间里”行进的。这个光速不变的断言对于任何惯性系都有效吗？如果不是这样，那么一个特殊的惯性系，或者更为准确地说，一个特殊的运动状态（属于一个参照体的）就该同一切别的运动状态有所区别。可是这看来同一切力学的和电磁-光学的实验事实相矛盾。

为了这些理由，就必须把光速不变定律对于一切惯性系的有效性，提高到原理的地位上来。由此，空间坐标x₁，x₂，x₃和时间x₄就应当依照“洛伦兹变换”来变换，这种变换是由表示式

（如果时间单位是按照使光速c＝1这样的要求而选取的）的不变性来表征的。

通过这样的程序，时间就失去了绝对的特征，而同“空间”坐标结合在一起，好像具有（近乎）同样的代数学上的特征。时间的绝对性，尤其是同时性的绝对性被破坏了，而四维的描述作为唯一适当的描述被引进来了。

同样，为了说明一切惯性系对于一切自然现象的等效性，必须假设一切表示普遍定律的物理方程组对于洛伦兹变换都是不变的。对这个要求的琢磨，就形成了狭义相对论的内容。

这个理论是同麦克斯韦方程相容的，却不见容于古典力学的基础。质点的运动方程固然能够加以修改（质点的动量和动能的表示式也随着它们作修改），使它们满足这个理论；但是相互作用力这个概念，以及由此而来的体系的势能概念，都失去了它们的基础，因为这些概念都是以绝对同时性这个观念为根据的。由微分方程规定的场代替了力。

由于上述理论只允许由场来产生相互作用，那就要求有一个关于引力的场论。要建立一种理论，像在牛顿的理论中那样，能够把引力场归结为一个偏微分方程的标量解，确实并不困难。可是牛顿引力论中所表示的实验事实却引向另一个方向，那就是广义相对论的方向。

古典力学有一个不能令人满意的方面：在它的基本定律中，同一个质量常数扮演着两个不同的角色，即运动定律中的“惯性质量”和引力定律中的“引力质量”。结果是，物体在纯引力场里的加速度同它的质料无关；或者说，在均匀加速的坐标系（相对于一个“惯性系”是加速的）里，运动的情况就像在一个均匀的引力场（对于一个“不动的”坐标系）里一样。如果人们假定，这两种情况的等效性是完全的，那就使我们的理论思考适应了引力质量同惯性质量相等这一事实。

从这一点出发，就知道在原则上不再有任何理由来偏爱“惯性系”；并且，我们必须承认，坐标（x₁，x₂，x₃，x₄）的非线性变换也具有同等地位。如果我们对狭义相对论的坐标系作这样的变换，那么度规

就转换成一个具有如下形式的广义（黎曼的）度规：

此处各个g_μν，对于μ和v都是对称的，都是x₁，…，x₄的某种函数，对于新坐标系来说，它们既描述度规性质，也描述引力场。

可是上述关于力学基础解释的改进，必须付出代价，那就是——比较严密地考查后就会明白——新坐标不能再像它们在原来坐标系（没有引力场的惯性系）中那样，可以解释为刚体和时钟量度的结果。

走向广义相对论的道路是由于有了下面的假设而打通的：上述用函数g_μν（就是说，由黎曼度规）来表示的关于空间场特性的这种表示，也适合于一般的情况，在一般的情况中，不存在这样的一种坐标系，相对于这种坐标系的度规会采取狭义相对论的简单的准欧几里得形式。

这样，坐标本身就不再表示度规关系，而只是表示那些坐标彼此稍有不同的物体之间的“邻接性”。一切的坐标变换都应当是许可的，只要这些变换不带奇点。自然界的普遍规律，只有用那些对于任意选取的上述变换都是协变的方程来表示，才有意义（广义协变性假设）。

广义相对论的第一个目标是要提出一个雏形，它虽然满足不了构成一个完整体系的所有要求，却能够以尽可能简单的方式同“直接可观察的事实”相联系。如果这理论只限于纯引力力学，牛顿的引力论就能用来作为一个模型。这个雏形可以表征如下：

1．保留质点及其质量的概念。得出一个关于它的运动定律，这个运动定律是翻译成为广义相对论语言的惯性定律。这定律是一组全微分方程，它们具有短程线的特征。

2．牛顿的引力相互作用定律为一组能由g_μν张量组成的最简单的广义协变的微分方程所代替。它是通过使一次降秩的黎曼曲率张量等于零（R_μv＝0）而构成的。

这套表述方式使我们能够处理行星问题。更准确地说，它使我们能够处理质量实际上可忽略的质点在一种（中心对称）引力场里运动的问题，这种引力场是由一个假定是“静止”的质点所产生的。它不考虑“运动着的”质点对引力场的反作用，也不考虑处在中心的质量是怎样产生这引力场的。

同古典力学的类比，表明下面是一条完成这理论的道路。人们这样来构成场方程：

此处R表示黎曼曲率的标量，T_ik是用现象论表示的物质的能量张量。方程的左边是按照使它的散度恒等于零这样的要求而选定的。于是右边的散度也等于零，这就产生了取微分方程形式的物质“运动方程”，这些运动方程适用于T_ik为描述物质只引进另外四个独立函数（比如密度、压力和速度分量，此处，在速度分量之间有一个恒等式，而在压力和密度之间有一个条件方程）的情况。

通过这套表述方式，人们把整个引力力学归结为求一组协变偏微分方程的解。这理论避免了一切我们曾责备过古典力学基础的那些缺点。就我们所知，它足以表示天体力学所观察到的事实。但是它像这样一座建筑物，一个侧翼是用精致的大理古砌成的（方程的左边），而另一个侧翼则是由次等的木料构成的（方程的右边）。物质的现象论的表示，事实上只不过是一种粗糙的代用品，用以代替那种对物质的一切已知性质都能恰当对待的表示。

把麦克斯韦的电磁场理论同引力场理论联系起来并没有什么困难，只要我们所考虑的只限于那种没有有重物质和没有电密度的空间就行了。全部必须做的是，上述方程的右边的T_ik要加上空虚空间里电磁场的能量张量；并且把麦克斯韦关于空虚空间的场方程写成广义协变形式，再加到经过前面那样修改过的一组方程中去。在这些条件下，所有这些方程之间会存在足够数目的微分恒等式，以保证它们的一致性。我们不妨补充一句：整个这一方程组的这种必然的形式性质，还留下T_ik这个部分的正负号听凭人们任意选取，这个事实以后变得很重要。

希望这种理论的基础有最大可能的统一性，这个愿望产生了一些尝试，想把引力场和电磁场包括在一个统一形式的图像之中。这里我们应当特别提到卡鲁查（Kaluza）和克莱因（Klein）的五维理论。我曾经非常仔细地考查过这种可能性，觉得比较妥当的还是承认原来的理论缺乏内在的一致性，因为我并不认为作为五维理论基础的全部假说所包含的任意性要比原来的理论更少。同样的意见也可用于这理论的投影形式，这种工作曾特别为冯·丹茨希（v．Dantzig）和泡利（Pauli）精心琢磨过。

前面所考查的，只是没有物质的场的理论。为要得到一个关于原子构成的物质的完备理论，我们应该怎样从这一点继续前进呢？在这种理论中，奇点肯定必须排除，因为要是不排除奇点，微分方程就不会完全地确定总场。这里，在广义相对论的场论中，我们面临着同样的关于物质的场论表示问题，正像我们原来在纯麦克斯韦理论中所碰到过的一样。

在这里，粒子的场论构造这个企图看来又导致了奇点。这里，也还是通过采用新的场变量，并且通过精心修改和扩充场方程组，来克服这个缺点。可是近来，我在罗森（Rosen）博士的合作下发现：上述引力和电的场方程的最简单的结合，产生了可以表示为不带奇点的中心对称的解（关于纯引力场的施瓦兹、希耳德（Schwarzschild）的著名的中心对称解，以及关于电场的同时也考虑到它的引力作用的赖斯内（Reissner）的解）。我们将在第六节里扼要地讲到它。这样，似乎就可能得到一个关于物质及其相互作用的纯粹场论，而用不着附加的假说，并且，这个场论在接受经验事实的考验时，除了纯粹数学的困难，不导致别的什么困难，可是这些数学上的困难却是非常严重的。