第四章　新逻辑

I　罗素的逻辑

要为逻辑的要求辩护，必须改变逻辑。我们看到新逻辑出现了，其中最有趣的是罗素的逻辑。要就形式逻辑写作，他似乎没有什么新东西，仿佛亚里士多德（Aristote）已穷竭了它。但是，罗素划归给逻辑的地盘比经典逻辑的地盘大得无边，他在这个课题上发表了诸多观点，这些观点是有独创性的，同时也是有充分根据的。

首先，罗素把类的逻辑隶属于命题的逻辑，而亚里士多德的逻辑主要是类的逻辑，并把主词与谓词的关系作为它的出发点。经典的三段论，如“苏格拉底（Socrate）是人”等等，让位给假设性的三段论：“如果A为真，则B为真；然后，如果B为真，则C为真”，等等。我认为，这是一个最幸运的观念，因为经典三段论很容易归结为假设性的三段论，而相反的变换并非没有困难。

不过，这还不是一切。罗素的命题逻辑是研究连接词如果、与、或以及否定词非的组合规律的。

罗素在这里添加了两个其他连接词与和或，为逻辑开辟了新领域。符号与、或遵循着与两个记号×和＋相同的规律，即交换律、结合律和分配率。这样一来，与就表示逻辑乘，而或则表示逻辑加。这也是十分有趣的。

罗素得出结论说，任何假命题都隐含着所有其他真命题或假命题。库蒂拉特先生说，这个结论乍看起来似乎是悖论。不过，只要修改过一篇不好的数学论文，就足以辨认出罗素为何是正确的。论文作者起初往往花费很大的努力，却得到一个假方程；可是，一旦得到方程，他接着积累最惊奇的结果只不过是游玩而已，其中一些甚至可以为真。

II

我们看看，新逻辑比经典逻辑有多么丰富；符号增多了，容许各种各样的组合，其数目不再受到限制。人们有权利赋予这种外延以逻辑一词的意义吗？审查这个问题，仅仅就这个词找罗素争吵，也许是无用的。同意他的要求吧；但是，如果在该词的旧意义上宣布不能还原为逻辑的某些真实性，现在发现它们在新意义上——在某种截然不同的意义上——能够还原为逻辑，那么不必大惊小怪。

引入了大量的新概念，这些新概念不仅仅是旧概念的组合。罗素知道这一点，他不仅在第一章“命题逻辑”的开头，而且在第二章“类逻辑”和第三章“关系逻辑”的开头，都引入了新名词，他宣称这些名词是无法定义的。

这并非一切；他同样还引入了他宣称是不可证明的原理。但是，这些不可证明的原理诉诸于直觉即先验综合判断。当我们在数学专题论文中遇到它们在某种程度上明确地被阐明时，我们认为它们是直觉的；因为逻辑一词的意义扩大了，因为现在我们在《论逻辑》一书中发现了它们，它们就改变了特征吗？它们没有改变本性，它们只是改变了地位。

III

能够认为这些原理是伪装的定义吗？因此，总是必须有某种途径证明它们不隐含矛盾。也许还有必要确立，人们把演绎系列无论推进得多么远，他从来也不会面临矛盾。

我们可以尝试如下推理：我们能够证实，适用于免除矛盾的前提的新逻辑的演算只能给出同样免除矛盾的结果。因此，如果在n次演算后我们没有遇到矛盾，那么在n＋1次演算后我们也不会遇到矛盾。这样一来，不可能会有矛盾开始的时刻，这表明我们将永远不会遇到矛盾。我们有权利以这样的方式推理吗？没有，因为这样便会被迫使用全归纳法；要记住，我们迄今还不知道全归纳原理。

因此，我们没有权利认为这些假定是伪装的定义，在我们看来仅剩下一个源泉，承认直觉对于每一个假定的新作用吧。而且，我相信，这实际上是罗素和库蒂拉特先生的思想。

这样，九个不可定义的概念和20个不可证明的命题（我相信，假如是我计算的话，我还会找到一些）中的每一个，都是新逻辑即广义逻辑的基础，它们预先假定我们的直觉和（为什么不说它？）确实的先验综合判断的新颖的和独立的作用。关于这一点，大家似乎都赞同，但是罗素主张，在我看来似乎可疑的东西是，在诉诸直觉之后它将到此结束；我们不需要做其他事情，就能够在任何新元素不介入的情况下建立整个数学。

IV

库蒂拉特先生也常常重复说，这种新逻辑与数的观念完全无关。我不想以计算他的讲解包含多少数词、形容词，例如基数词和序数词，或者像“若干”这样的不定形容词而自娱。不过，我可以引用一些例子：

“两个或多个命题的逻辑积是……”；

“所有命题只能有两个值：真和假”；

“两个关系的相对积是一关系”；

“关系存在于两项之间”，诸如此类，不胜枚举。

这种不方便有时并不是不可避免的，有时它也是本质的。没有两项，关系就是不可理解的；同时没有关系的两项的直觉，没有注意到项是两个，便不可能有关系的直觉，这是因为，如果关系是可相信的，那么它必然有两项，而且只能有两项。

V　算术

我涉及到库蒂拉特先生所谓的序数理论，它是严格意义上所谓的算术的基础。库蒂拉特先生以皮亚诺的五个假定开始，正如皮亚诺和帕多阿（Padoa）所证明的，这五个假定是独立的。

1．零是整数。

2．零不是任何整数的后续数。

3．整数的后续数是整数。

此处补充下面一句话也许是恰当的：

每一个整数都有后续数。

4．如果两个整数的后续数相等，则它们相等。

第五个假定是全归纳原理。

库蒂拉特先生认为，这些假定是伪装的定义；它们由于零公设、后续数公设和整数公设而构成定义。

但是，我们已经看到，由于通过公设而定义是可以接受的，我们必定能够证明，它不隐含矛盾。

在这里，情况果真如此吗？根本不是。

证明不能用范例做出。我们不能取一部分整数，例如头三个，证明它们满足定义。

如果我取数列0，1，2，我看到它满足假定1，2，4和5；但是，要满足假定3，还必须使3是整数，从而数列0，1，2，3满足假定；我们可以证明，它满足假定1，2，4，5，但是假定3此外要求4是整数，数列0，1，2，3，4满足假定，等等。

因此，在没有证明这些假定适合于一切整数的情况下，就不可能证明它适合某些整数；我们必须放弃用范例作为证据。

然后，必须取我们的假定的所有结果，看它们是否不包含矛盾。

如果这些结果为数有限，那么这是很容易的；但是，它们的数目是无限的；它们是整个数学，或至少是全部算术。

于是，该做什么呢？也许严格地说来，我们可重复第III节的推理。

但是，正如我们说过的，这种推理是全归纳法，恰恰是全归纳原理，它的辩护也许是所讨论之点。

VI　希尔伯特的逻辑

现在，我回到希尔伯特的主要工作上，他向海德堡数学家大会报告了这一成果，其法译文由皮埃尔·布特鲁（Pierre Boutroux）先生翻译，发表在《数学教学》杂志上，由霍尔斯特德（Halsted）翻译的英译文发表在《一元论者》⁽¹⁾杂志上。在这一包含着深刻思想的工作中，作者的目的类似于罗素的目的，但是在许多论点上，他与他的前辈有分歧。

他说（《一元论者》，第340页）：“但是，经过细心考虑，我们开始意识到，在逻辑定律的通常阐明中，已经使用了算术的某些基本概念，例如，集的概念，也部分地使用了数的概念。

“我们就这样陷入循环论证之中，因此要避免悖论，必须部分地使逻辑和算术的定律同时发展。”

上面我们已经看到，希尔伯特是在通常的阐明中谈逻辑原理的，这同样适用于罗素的逻辑。这样一来，就罗素而言，逻辑是先于算术的；对希尔伯特来说，它们却是“同时的”。进而我们将发现，在其他方面差别还很大，当我们遇到这些差别时，我们将指出它们。我宁可一步一步地追踪希尔伯特思想的发展，同时按原文引用最重要的段落。

“让我们首先把思想物1（一）作为我们考虑的基础。”（第341页）请注意，在这样做时，我们一点也没有隐含数的概念，因为可以认为，1在这里仅仅是一个符号，我们根本不去试图了解它的意义。“把这个思想物与其本身分别两次、三次或多次地合在一起……”啊！这时情况不再一样了；如果我们引入了“二”、“三”，尤其是“多”、“若干”这些词，那么我们就引入了数的概念；于是，我们现在将发现的有限整数的定义来得太迟了。我们的作者想得太周到了，他察觉到用未经证明的假定来辩论。因此，在这篇报告的末尾，他力图继续真正的修补工序。

希尔伯特接着引入两个简单的对象1和＝，并考虑这两个对象的所有组合以及它们的组合的组合等等。不言而喻，我们必须忘却这两个记号通常的意义，而且不赋予它们以任何意义。

此后，他把这些组合分为两类，即存在类和非存在类，进而还指令这种分法是完全任意的。每一个肯定陈述都告诉我们，某一组合属于存在类；每一个否定陈述都告诉我们，某一组合属于非存在类。

VII

现在，注意一下一个至关重要的差别。在罗素看来，无论什么对象——他用x表示这个对象——都是绝对不确定的对象，他就此没有做任何假定；在希尔伯特看来，它就是由符号1和＝所形成的组合之一；他不能设想引入已经定义的对象的组合之外的任何东西。而且，希尔伯特以最简洁的方式阐述他的思想，我认为我必须充分地重述他的陈述（第348页）：

“在假定中，任意物（相当于通常逻辑中的‘每一个’和‘所有’概念）只表示那些思想物和它们的相互组合，在这个阶段，它们作为基本的东西被拟定下来，或者以新的方式被定义。因此，在从假定出发所进行的演绎推理中，在假定中出现的任意物只能用这样的思想物和它们的组合来代替。

我们也必须及时地回想起，通过添加物和使新的思想物成为基本的东西，先前的假定的有效性扩大了，而且在必要之处，它们按照这个意义经受了变化。”

与罗素观点的对照是一目了然的。对于这位哲学家来说，我们不仅可以用已知的对象，而且可以用任何东西代替x。

罗素对他的观点满怀信心，这就是理解的观点。他从存在的一般观念开始，通过添加新质使它愈来愈丰富，同时对它加以限制。相反地，希尔伯特只是把已知的对象的组合认为是可能的存在；结果（只要看看他的思想的一个方面），我们可以说，他采取外延的观点。

VIII

让我们继续阐释希尔伯特的观念。他引入两个假定，并用他的符号语言陈述它们，但是若用未入门的语言表示则为：每一个质都等于其自身，在两个恒等的量上所进行的每一个运算都给出恒等的结果。

这样陈述，它们倒是明显的，但是如此阐述它们便会歪曲希尔伯特的思想。在他看来，数学只是必须把纯粹的符号结合起来，真正的数学家应该依靠它们推理，而不应该对它们的意义怀有偏见。因此，对他来说，他的假定就不是常人认为的那个样子。

他认为它们是用符号（＝）的公设所描述的定义，该符号迄今还没有任何意义。但是，为了给这个定义辩护，我们必须表明这两个假定没有导致矛盾。为此，希尔伯特利用了我们第III节的推理，似乎并没有察觉他正在利用全归纳法。

IX

希尔伯特的论文的结尾完全是莫名其妙的，我不想去强调它。矛盾堆积着；我们感到作者模糊地意识到他所犯的预期理由的错误，他徒劳地试图去修补他的论据中的漏洞。

这意味着什么呢？在证明通过全归纳假定定义整数并不隐含矛盾这一点上，希尔伯特像罗素和库蒂拉特一样地退却了，因为困难太大了。

X　几何学

库蒂拉特先生说，几何学是一个庞大的学说体系，全归纳原理并没有进入其中。这在某种程度上是真的；我们不能说它完全缺席，但却是很轻微地进入的。如果我们提及霍尔斯特德博士按照希尔伯特原理所建立的有理几何学（New York, John Wiley and Sons, 1904），那么我们在第114页首次看到归纳原理进入了（除非我疏忽出错，这是十分可能的）。⁽²⁾

确实，几何学仅仅在几年前似乎还是直觉统治的领域，这是无可争议的，今天它是逻辑学家似乎在其中大获全胜的王国。没有什么东西能够更好地衡量希尔伯特的几何学著作的重要性以及它们给我们的概念留下的深刻印记。

但是切勿弄错。几何学的基本定理归根结底是什么呢？它就是，几何学的假定不隐含矛盾，我们不能在没有归纳原理的情况下证明这一点。

希尔伯特如何证明这一本质之点呢？他依靠解析，通过解析而依靠算术，通过算术而依靠归纳原理。

如果人们无论何时发明另外一种证明，那么还必须依靠这个原理，因为假定——有必要表明它们不矛盾——的可能结果为数无限。

XI　结论

我们的结论径直是，归纳原理不能被视为整个世界的隐蔽的定义。

这里有三个真理：（1）全归纳原理；（2）欧几里得公设；（3）磷在44°熔化的物理学定律（勒卢阿〔Le Roy〕先生引用的）。

这些据说是三个伪装的定义：第一个是整数的定义；第二个是直线的定义；第三个是磷的定义。

对于第二个我赞同上述说法，对于其他两个我不承认它。我必须说明这种表面不一致的理由。

首先，我们看到，定义只有在它不隐含矛盾的条件下才是可接受的。我们同样已表明，对于第一个定义而言，这种证明是不可能的；另一方面，我们刚好回想起，希尔伯特对于第二个定义给出了完备的证据。

至于第三个定义，它显然不隐含矛盾。这意味着定义保证——正如它应该保证那样——被定义的对象的存在吗？在这里，我们不再处于数学科学领域，而是处于物理科学领域，存在这个词不再具有相同的意义了。它不再表示没有矛盾；它意指客观的存在。

你已经看到我在三个案例之间做出区分的第一个理由；还有第二个理由。在应用中，我们必须明白这三个概念，它们是以这三个公设定义的样子呈现在我们面前的吗？

归纳原理的可能的应用是不可胜数的；例如，举一个我们在上面已经详述的应用吧，在那里，人们企图证明，假定的集合不能够导致矛盾。为此，我们考虑一个三段论系列，我们可以从这些作为前提的假定出发将其继续进行下去。当我们完成了第n个三段论时，我们发现我们还能够做出另一个三段论，这就是第n＋1个三段论。于是，数n足以算做是相继运算的系列；它是通过逐次相加可以得到的数。因此，这是我们可以通过逐次相减而复归为1的数。显然，假如我们有n＝n－1，则我们不能做到这一点，因为此时做减法，我们总会再次得到相同的数。因此，我们被导致考虑这个数n的方式隐含着有限整数的定义，这个定义如下：有限整数是能够通过逐次相加而得到的数；n不等于n－1就是这样。

承认这一点后，我们做什么呢？我表明，如果直到第n个三段论都没有矛盾，那么到第n＋1个三段论将不再有矛盾，而且我们得出将永远没有矛盾的结论。你说：我有权得出这个结论，因为根据定义，整数是就其而言同样的推理是合法的数。但是，这样便隐含着整数的另一种定义，该定义如下：整数是我们可以依赖其进行递归推理的数。在特定的案例中，情况正是如此，我们可以说，如果直到其次数的项目为整数的三段论没有矛盾，与此相随，其数目为下一个整数的三段论也没有矛盾，那么我们就用不着担心其数目是整数的任何次数的三段论有矛盾。

两个定义不是恒等的；它们无疑是等价的，但只有借助于先验综合判断；我们不能通过纯粹的逻辑程序从一个过渡到另一个。因此，在借助于预先假定第一个定义而引入整数之后，我们没有权利采纳第二个定义。

另一方面，关于直线发生了什么呢？我已经多次说明过这一点，以致犹豫地再次重述它，我将限于扼要地概述一下我的思想。正如在先前的案例中那样，我们没有两个在逻辑上相互可还原的等价定义。我们只有用词可表达的定义。因为我们有直线的直觉，或者因为我们能够想像直线，就可以说存在着我们只能意会而不能言传的另一个定义吗？首先，我们不能在几何学空间想像它，而只能在表象空间想像它，其次，我们正好能够同样地想像这样一些对象：它们具有直线的其他特性，却不具有满足欧几里得公设的特性。这些对象是“非欧直线”，从某种观点来看，非欧直线并不是没有意义的实体，而是与某个球面正交的圆（真实空间的真实圆）。在这些同样能够描述的对象中，如果我们把前者（欧几里得直线）叫做直线，而不把后者（非欧直线）叫做直线，这恰恰是通过定义。

最后到达第三个例子，即磷的定义，我们看到，真正的定义也许是：磷是我在那边的烧瓶中看到的一些物质。

XII

既然我论及这个论题，不妨再说一说。我讲过磷的例子：“这个命题是真正的可证实的物理学定律，因为它意味着，除熔点外，具有磷的其他一切特性的物体都像磷一样在44°熔化。”有人反问：“不，这个定律不是可证实的，因为如果表明，两个类似于磷的物体，一个在44°熔化，而另一个在50°熔化，那无疑总是可以说，除了熔点之外，还有某种把它们区别开来的其他未知的性质。”

这完全不是我想要说的话。我应当写道：“所有具有如此这般的为数有限的特性的物体（即是化学书上所讲的磷的特性，熔点除外）都在44°熔化。”

要使直线的案例和磷的案例之间的差别变得更明显，还要多做一些评论。直线在自然界中具有许多或多或少不完善的图像，其主要的图像是光线和固体的旋转轴。假定我们发现光线并不满足欧几里得公设（例如由于证明恒星具有负视差），我们将怎么办呢？或者，按照定义直线是光的轨迹，而它并不满足该公设，或者相反，按照定义直线满足该公设，而光线却不是直线，我们将得出这样的结论吗？

确实，我们可以自由地采纳这个或那个定义，从而自由地采纳这个或那个结论；但是，采纳前者也许是愚蠢的，因为光线恐怕不仅不完全满足欧几里得公设，而且不完全满足直线的其他性质，以致如果它偏离欧几里得直线，那么它也偏离直线的另一个不完善的图像，即固体旋转轴；而最后，它无疑会经受变化，以致昨天还是直线的线明天将不再是直线了，倘使某一物理环境变化了的话。

现在，假定我们发现磷不在44°熔化，而在43.9°熔化。我们能得出结论说，磷按定义是在44°熔化的，而我们称之为磷的这个物体不是真正的磷，或者相反，磷是在43.9°熔化的吗？在这里，我们再次自由地采纳这个或那个定义，从而自由地采纳这个或那个结论；但是，采纳前者也许是愚蠢的，因为每当我们确定了磷的熔点的一个新的小数时，我们不能改变物质的名字。

XIII

总而言之，罗素和希尔伯特各自都做出了强有力的努力；他们每一个都写出了充满有独到见解的、深刻的、往往是有充分理由的论著。这两篇论著向我们提供了许多可供思考的问题，我们从中可以学到许多东西。在他们的结果中，一些结果，甚至许多结果，都是牢靠的，注定会长存下去。

但是，要说他们最终解决了康德和莱布尼兹之间的争论，并摧毁了康德的数学理论，显然是不正确的。我不知道他们是否真的相信他们做到了这一点，不过，假若他们自信如此，那他们可就想错了。

 

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(1) “逻辑和算术的基础”，《一元论者》（Monist）XV., 338—352。

(2) 第二版，1907年，第86页；法文版，1911年，第97页。——G. B. 霍耳斯特德注