第四章 偶然性
I
“我们怎么竟敢谈论偶然性(1)的定律呢？偶然性不是一切定律的对立面吗？”贝尔特朗德（Bertrand）在他的《概率运算》一书的开头这样说。概率与确实性相对立；因此，它是我们不了解的，从而它似乎也是我们无法计算的。在这里，至少表面上有一个矛盾，人们就此已经写了许多论著。
首先，什么是偶然性？古人把现象区分为表面上服从一劳永逸地确立起来的、和谐的定律的现象和归之于偶然性的现象；后者是无法预言的现象，因为它们不服从所有的定律。在每一个领域中，精确的定律并非决定一切，它们只是划出了偶然性可能在其间起作用的界限。在这一概念中，偶然性这个词具有精密的和客观的意义：对一个人来说是偶然性的东西对另一个人来说也是偶然性，甚至对上帝来说也是这样。
但是，这个概念不是我们今天的概念。我们变成了绝对的决定论者，即使那些想保持人类的自由意志的权利的人，也让决定论至少在无机界专门统治。每一个现象不管多么微不足道，都有原因；全智全能的、对自然定律了如指掌的心智，从许多世纪以前就能预见这个原因。如果这样的心智存在，那我们就无法和它玩任何机遇游戏；我们必输无疑。
事实上，对这种心智来说，偶然性一词便没有任何意义，或者确切地讲，就不可能有偶然性。正因为我们软弱和无知，这个词在我们看来才有意义。即使不超出我们微弱无力的人类，白痴心目中的偶然性也不是科学家心目中的偶然性。偶然性仅仅是我们无知的量度。按照定义，偶然发生的现象就是我们不知道其规律的现象。
可是，这个定义完全令人满意吗？当头一批古巴比伦的迦勒底（Chaldean）牧羊人用他们的双眼追踪星球的运动时，他们直到当时还不知道天文学定律；他们会梦想说星球随意运动吗？如果近代物理学家研究新现象，如果他在星期二发现了它的规律，那么他会在星期一说这个现象是偶然发生的吗？而且，为了预言现象，我们不是常常求助于贝尔特朗德的所谓的偶然性定律吗？例如，在气体运动论中，我们借助于气体分子的速度无规则变化即随意变化的假设，得到了著名的马略特（Mariotte）定律和盖·吕萨克（Gay-Lussac）定律。所有的物理学家都会同意，如果速度受无论多么简单的基本定律支配，如果分子像我们所说的那样是有组织的，如果它们服从某种纪律，那么可观察的定律就不会简单得多。正是由于偶然性，也可以说是由于我们的无知，我们才能引出我们的结论；于是，如果偶然性一词仅仅与无知同义，那意味着什么呢？我们必须因此而做如下解释吗？
“你请求我给你预言所发生的现象。很不幸，如果我知道这些现象的定律，那么我只有通过无法解开的运算做预言，因而我便会放弃回答你的尝试；但是，因为我交了好运而不知道这些定律，我将会立即回答你。最令人奇怪的是，我的答案将是正确的。”
这样一来，情况必然很清楚：偶然性并非是我们给我们的无知所取的名字。在我们不知其原因的现象中，有一种是偶然发生的现象，概率运算将会暂时给出它们的信息，另一种不是偶然发生的，只要我们未决定支配它们的定律，我们就无法谈论它，我们必须把上述两种现象区分开来。对于偶然发生的现象本身，通过概率运算给予我们的信息显然将是真的，即使到这些现象将被更充分地了解的那一天也不失其真。
人寿保险公司的董事不知道受保的每一个人何时会死，但是他依靠概率计算和大数定律，他没有弄错，由于他把红利分给股东。在保险单签字后，即使有一个头脑十分敏锐、行动十分紧凑的医生向那位董事揭示出受保人的寿命的偶然性，这些红利也不会丧失。这位医生使董事不再无知，但他并没有影响红利，显然红利不是这种无知的结果。
II
为了找到一个更好的偶然性的定义，我们必须审查某些事实，我们一致认为这些事实是偶然发生的，概率运算似乎可用于它们；然后我们将研究，它们的共同特征是什么。
我们选取的第一个例子是不稳平衡；如果一个圆锥停在它的顶点上，我们清楚地知道，它将倒下去，但是我们不知道它倒向哪一侧；在我们看来，似乎只有偶然性才能决定。如果圆锥完全对称，如果它的轴是完全垂直的，如果除重力外它不再受其他力的作用，那么它根本不会倒下去。但是，对称性的最小欠缺将使它稍微倾斜到一侧或另一侧，而且如果它倾斜了，不管倾斜得多么小，它必将完全倒向那一侧。即使对称性是完美无缺的，极轻微的震动，空气的轻微流动也能够使它倾斜几弧秒；这将足以决定它的倒下，甚至它倒下的方向也是起初倾斜的方向。
我们觉察不到的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著结果，于是我们却说这个结果是由于偶然性。如果我们能够精确地了解自然定律以及宇宙在初始时刻的状态，那么我们就能够正确地预言这同一宇宙在后继时刻的状态。不过，即使自然定律对我们已无进一步的秘密可言，我们也只能近似地知道初始状态。如果情况容许我们以同样的近似度预见后继的状态，这就是我们所要求的一切，那么我们便说该现象被预言了，它受规律支配。但是，实例并非总是如此；可以发生这样的情况：初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别；前者的微小误差造成了后者的巨大误差。预言变得不可能了，我们有的是偶然发生的现象。
我们的第二个例子将与第一个十分相似，我们将举出气象学上的例子。为什么气象学家以某种确实性预报天气有这样的困难呢？为什么狂风暴雨在我们看来似乎是出于偶然，以致许多人觉得祈雨或求晴是十分自然的，而认为祈祷日蚀或月蚀是荒唐可笑的呢？我们看到，大扰动一般发生在大气处于不稳平衡的区域内。气象学家意识到，这种平衡是不稳定的，某处正在产生气旋；可是，他们不能告诉在什么地方；在任何一点多十分之一度或少十分之一度，气旋就在这里突然发生而不在那里突然发生，并把它的破坏波及到它本来不会危害的地区。如果我们早知道这十分之一度，我们就能预见这个气旋，但是观察或者不充分仔细，或者不充分精确，由于这个理由，一切似乎都是出于偶然性的作用。在这里，我们再次发现，在观察者未正确估价的极其轻微的原因和有时会产生可怕灾难的重大结果之间，存在着同样的对照。
让我们举另一个例子，即黄道带上的小行星分布。它们的初始黄经可以是任何黄经；但是，它们的平均运动是不同的，它们已旋转了这么长的时间，以致我们可以说它们现在是沿黄道带随意分布的。它们与太阳之间的距离的十分微小的初始差别，亦即它们平均运动之间的十分微小的差别，都会导致它们目前黄经之间的巨大差异。每日平均运动超出千分之一秒，事实上三年将超出一秒，一万年将超出一度，三四百万年将超出一个圆周，自小行星自身从拉普拉斯（Laplace）星云分离出来，已经过去的时间不知有多少？因此，我们再次看到微小的原因和巨大的结果；或者更准确地讲，我们再次看到原因上的微小差别和结果上的巨大差别。
轮盘赌游戏在外表上好像并未使我们减损前面的例子。设指针绕支点在刻度盘上转动，刻度盘被等分为红黑相间的一百个扇形。若指针停在红扇形上，则算我赢；否则我输。显然，一切均取决于我给指针的初始推动。假定指针将转十圈或二十圈，不过它将比较快地停下来或不那么快地停下来，这由我推它的力的或强或弱而定。推力仅变化千分之一或两千分之一，就足以使指针停在黑扇形或下一个红扇形。这些差别是我们的肌肉感觉无法区分的，甚至最灵敏的仪器也无能为力。于是，我不可能预见我推动的指针将停在何处，这就是我的心紧张地跳动，期望一切都交好运的缘由。原因上的差别是难以觉察的，而结果上的差别对我来说却是至关重要的，由于它就是我的整个赌注。
III
在这方面，请允许我谈谈与我的论题在某种程度上不相干的想法。若干年前，一位哲学家说过，未来由过去决定，但过去并不由未来决定；或者，换句话说，知道现在，我们能够推导出未来，但是不能推导出过去；因为他说过，原因只能够产生一个结果，而同一结果却可以由几个不同的原因产生。很清楚，没有一个科学家能够赞同这个结论。自然定律把前提和后件以下述方式结合在一起；前提完全由后件决定，犹如后件由前提完全决定一样。但是，这位哲学家的错误从何而来呢？我们知道，由于卡诺（Carnot）原理，物理现象是不可逆的，世界趋向于均匀。当两个不同温度的物体接触时，较热的物体便把热量传给较冷的物体；因此我们可以预见，温度将相等。可是，温度一旦相等了，如果询问先前的状态，我们能够回答什么呢？我们可以说，一个是热的，另一个是冷的，但是却无法推测先前哪一个比较热。
然而，实际上温度将永远不会达到完全相等。温度差只是渐近地趋近于零。在到达某一时刻，我们的温度计就无法测出温度差了。但是，如果我们把温度计的灵敏度提高一千倍、十万倍，我们便可以辨认出，还存在着微小的温度差，一个物体依然比另一个物体稍热一些，于是我们能够说，这个物体是先前热得多的物体。
因此，与我们在前一个例子中发现的情况相反，这里是原因上的巨大差别和结果上的微小差别。弗拉马里翁（Flammarion）曾经设想一个以大于光速的速度离开地球的观察者；在他看来，时间会改变符号。历史会倒转，滑铁卢会在奥斯德立兹(2)之前。好了，对于这位观察者来说，结果和原因是颠倒的；不稳平衡不再是例外。由于普适的可逆性，一切在他看来似乎都是出自处于不稳平衡中的一类混沌，整个自然界在他看来好像都交付给偶然性。
IV
现在，就其他例子而言，我们将从中看到在某种程度上不同的特征。首先以气体运动论为例。我们应该怎样描绘充满气体的容器呢？无数以高速运动的分子通过这个容器向各个方向飞驰。在每一时刻，它们都撞击器壁或相互碰撞，这些碰撞在十分不同的条件下发生着。在这里，尤其使我们印象深刻的不是原因的微小，而是它们的复杂性，先前的要素还可以在这里找到，并且起着重要的作用。如果分子从它的轨道向右或向左偏离一个十分微小的量——该量可与气体分子的作用半径相比较，那么它就可以避免碰撞或者在不同的条件下继续碰撞，它在冲撞后的速度方向会发生变化，也许改变90°或180°。
这并非一切；我们刚刚看到，为了使分子在碰撞后偏离一个有限量，就必须使它在碰触前仅仅偏斜一个无穷小量。这样一来，如果分子经受了两个相继的冲击，那么在第一次冲击前，它将足以偏斜一个二阶无穷小量，因为它在第一次遭遇后偏离一阶无穷小量，在第二次打击后，它便会偏离一个有限量。而且，分子将不止经受两次冲击；它每秒钟将经受极多次数的冲击。这样一来，如果第一次冲击使偏离增大A倍（A是一个很大的数），那么在n次冲击后，分子将偏离An倍。因此，偏离将变得十分大，这不仅因为A很大——也就是说因为小原因产生大结果，而且因为指数n很大——也就是说因为冲击很多，原因很复杂。
再举第二个例子。为什么阵雨滴似乎是随意分布的？这又是因为决定雨滴形成的原因是复杂的。在大气中分布着离子。在一段长时间内，它们受到不断变化的气流的作用，它们被捕获在很小的旋流上，以致它们的最后分布不再与它们的初始分布有任何关系。突然，温度下降，水蒸气凝结，这些离子中的每一个都变成雨滴的核心。为了知道这些雨滴将如何分布，为了知道多少雨滴将落在每一块铺路石上，只了解离子的初始状态是不够的，还必须计算无数变幻莫测的小气流的影响。
如果我们使小尘粒在水中悬浮起来，那么情况再次是相同的。水流在瓶中激起波纹，我们不知道水流的规律，我们只知道它是很复杂的。在某一时间之后，小尘粒将随意地、也可以说是均匀地分布在瓶中；这恰恰是由于这些水流的复杂性。如果小尘粒服从某一简单的定律，例如若瓶子旋转，绕瓶轴转动的水流描绘出圆圈，那么情况就不再相同了，因为每一个小尘粒都会保持它的初始高度和距轴的初始距离。
考虑两种液体的混合物或两种精细尘粒的混合物，我们也会达到同样的结果。举一个比较世俗的例子吧，这也发生在我们洗扑克牌的时候。每洗一次牌，牌就经受了一次置换（类似于在代换论中研究的情况）。将发生什么呢？特定置换（例如，一个牌在置换前处在第Φ（n）个位置，在置换后被放到第n个位置）的概率取决于打牌人的习惯。可是，如果这个打牌人洗牌的时间足够长，那将存在许多相继的置换，最终的次序将不再受其他东西支配，而是受偶然性支配；我的意思是说，所有可能的次序将同样是概然的。这个结果正是由于大量的相继置换，也可以说正是由于现象的复杂性。
最后谈谈误差理论。在这里，恰恰在于原因是复杂的和多重的。即使用最好的仪器，观察者面临的陷阱还不知有多少！他应该全力找出最大的陷阱，并避开它们。这些陷阱是产生系统误差的陷阱。但是，当他消除这些陷阱并承认他取得成功时，依然还存在着许多小陷阱，它们的影响积累起来也可能造成危险。偶然误差即由此而来；我们把它们归因于偶然性，因为它们的原因太复杂了、太众多了。在这里，我们再次只有微小的原因，但它们每一个只可能产生微小的结果；正由于它们的联合和它们的数目，它们的结果才变得难以对付。
V
我还可以列举第三种观点，它没有头两种观点重要，我不打算强调它。当我们试图预见一个事件并审查它的前提时，我们要努力调查先前的状况。这不可能适合于宇宙的所有部分，我们满足于知道，什么正在事件应该出现的点的邻域发生，或者什么好像与该事件有某种关系。审查不会是完备的，我们必须知道如何去选择。但是，也可能发生下述情况：我们忽略了这样一些情况，这些情况乍看起来似乎完全是在我们预见之外发生的，人们从来也没有梦想到把任何影响归咎于它，不过与我们的所有预期相反，它最终却起着重要的作用。
一个人经过大街去做生意；了解行情的某人能够讲出，他为什么在这个时刻出发，为什么沿着这条大街行走。砖瓦匠在屋顶上干活。雇用他的包工头在某种程度上可以预见他会做什么。但是，过路人不会想到砖瓦匠，砖瓦匠也不会想到他；他们似乎属于相互之间毫不相干的两个世界。可是，砖瓦匠一不小心把瓦片掉下去了，砸死了那位过路人，我们毫不迟疑地说，这是偶然的。
我们的软弱妨碍我们思考整个宇宙，促使我们把它分为各个部分。我们在试图做这项工作时，尽可能地使人为成分少一些。可是，时时会发生这些部分中的两个相互作用的情况。于是，在我们看来，这种相互作用的结果似乎是出于偶然性。
这是设想偶然性的第三种方式吗？并非总是；事实上，我们最为经常回想起的还是第一种和第二种。这样两个通常彼此毫不相干的世界无论何时如此发生相互作用，这种反作用的定律必然是十分复杂的。另一方面，这两个世界在初始条件上的极微小的改变都足以使它们不发生反作用。要是过路人迟一秒钟通过，或者砖瓦匠早一秒钟掉下瓦片，只需要作多么小的改变啊。
VI
我们所说的一切还没有说明偶然性为什么服从规律。不管原因是微不足道的还是相当复杂的，即使我们不足以预见它们在每一个案例中的结果，至少我们可以平均地预见它们的结果，这个事实会发生吗？为了回答这个问题，我们再次比较详细地研究一下已经引用过的几个例子。
我愿以轮盘赌的例子开始。我说过，指针将要停下来的地点取决于我们给予它的初始推力。具有某一值的这个推力的概率是多少？对此我一无所知，但是我不难假定，这个概率可用连续解析函数来表示。于是，推力包含在a和a＋ε的概率显然等于推力包含在a＋ε和a＋2ε之间的概率，倘若ε很小的话。这是所有解析函数的共同性质。函数的微小变化与变量的微小变化成比例。
但是，我们已经假定，推力极其微小的变化足以改变指针最后停留的扇形的颜色。从a到a＋ε扇形是红的，从a＋ε到a＋2ε扇形是黑的；因此，每一个红扇形的概率与下一个黑扇形的概率相同，从而红的总概率等于黑的总概率。
问题的已知件是表示特定初始推力的概率的解析函数。可是，不管这个已知件是什么，该定理依然为真，由于它取决于所有解析函数的共同性质。由此可以最终得出，我们不再需要这个已知件。
我们刚才就轮盘赌的案例所说的一切也适用于小行星的例子。黄道带可以被看做是一个庞大的轮盘，许多小球以按某种定律变化的各种初始冲量在轮盘上动荡不定。由于与前例相同的理由，它们的目前分布是均匀的且与这个定律无关。于是我们看到，当原因上的微小差别足以引起结果上的巨大差别时，现象为什么服从偶然性定律。因此，这些微小差别的概率之所以可以看做是与这些差别本身成比例，正因为这些差别是很小的，以及连续函数的无穷小增量与变量的增量成比例。
举一个完全不同的例子，在这里特别插入了原因的复杂性。设一个打牌人洗一堆扑克牌。每洗一次，他都改变了牌的次序，他可以用各种方式改变它们。为了简化说明，让我们只考虑三张牌。在洗牌前，它们占据的位置分别是123，在洗牌后它们可能占据的位置是
123，231，312，321，132，213。
这六个假定中的每一个都是可能的，它们分别具有的概率是
p1，p2，p3，p4，p5，p6。
这六个数之和等于1；而这就是我们关于它们所知道的一切；这六个概率自然取决于打牌人的习惯，我们不知道他的习惯。
在第二次洗牌和随后的洗牌中，将在相同的条件下重复这一过程；我的意思是，例如p4总是表示三张牌在第n次洗牌后和在第n＋1次洗牌前占据位置123、而在第n＋1次洗牌后占据位置321的概率。不管数n是多少，这依然为真，由于打牌人的习惯和他的洗牌方式仍旧相同。
但是，如果洗牌的次数很多，那么在第一次洗牌前占据位置123的牌，在最后一次洗牌后可能占据位置
123，231，312，321，132，213，
这六个假定的概率显然将是相同的，都等于1/6；不管我们不知道的数p1……p6是什么，这都为真。洗牌的极多次数，也就是说原因的复杂性，却产生了均匀性。
如果多于三张牌，这也可以不加改变地应用，不过即便用三张牌，证明也相当复杂；我们只针对两张牌给出证明也就足够了。这样一来，我们只有两种可能性12，21，其概率是p1和p2＝1－p1。
设n是洗牌的次数，并且假定，若牌最后按原来的次序则我赢，若牌最后次序颠倒则我输。于是，我的数学期望将是（p1－p2）n。
p1－p2之差肯定小于1；这样一来，如果n很大，我的数学期望将是零；为了意识到游戏是公平的，我不需要知道p1和p2。
如果数p1和p2之一等于1，而另一个等于零，那就总是有例外。这时，它就不能适用了，因为我们的初始假定太简单了。
我们刚才所看到的东西不仅适用于牌的混合，而且也适用于一切混合，例如粉尘的混合物和液体的混合物；即使对于气体运动论中的气体分子的混合物也同样适用。
回到这个理论上来吧，设在某一时刻气体分子不能相互碰撞，但由于它们冲撞盛装气体的瓶子的内侧，它们却可以偏斜。如果瓶子的形状足够复杂，分子的分布和速度的分布不要太长时间就变均匀了。但是，如果瓶子是球形的或者它具有立方体的形状，情况就不是如此了。为什么？因为在第一种情况下，球心距任何轨道的距离将总是不变的；在第二种情况下，每一个轨道与立方体面的夹角的绝对值也是不变的。
这样，我们看到，所谓太简单的条件意味着什么；它们是保持某些东西、容许不变量依然存在的条件。是该问题的微分方程太简单，以致我们不能应用偶然性定律吗？这个问题起初看来似乎缺乏精确的意义；现在我们知道，它意味着什么。如果它们保持某些东西，如果它们容许一致积分，它们就太简单。如果初始条件中的某些东西依然不变，那么很清楚，最后的解就不再能够与初始状态无关。
我们最终达到了误差理论。我们不知道偶然误差由什么引起，而且正因为我们不知道，我们才意识到它们服从高斯定律。悖论就是这样的。说明几乎与前例中的相同。我们只需要知道一件事：误差是否很多，误差是否很小，每一种误差是否既有正又有负。每一种误差的概率曲线是什么？我们不知道；我们只是假定它是对称的。接着我们证明，合成误差将遵从高斯定律，这个合成定律与我们不知道的特定定律无关。在这里，结果的简单性恰恰又源于已知件的复杂性。
VII
但是，我们并没有结束悖论。我正好回想起弗拉马里翁虚构的故事，即跑得比光快的人，他的时间改变符号。我说过，在他看来，一切现象似乎都出于偶然性。从某种观点来看，这是正确的，可是所有这些现象在给定时刻不可能按照偶然性定律分布，由于分布与我们所见相同，我们看到它们是和谐地展开的，并非出自原始的混沌，我们不认为它们是受偶然性支配的。
这意味着什么呢？在弗拉马里翁的假想人物吕芒（Lumen）看来，微小的原因似乎产生巨大的结果；对我们来说，当我们以为我们看到大结果出于小原因时，事情为什么不同样地继续进行呢？同一推理在他的情况中不适用吗？
让我们返回到这个论据上。当原因上的微小差别产生结果上的巨大差别时，这些结果为什么按照偶然性定律分布呢？假定原因上一毫米之差产生结果上的一千米之差。如果在结果相应于一千米且具有偶数编号的情况下我赢，那么我赢的概率将是1/2。为什么？因为要做到这一点，原因必须相应于具有偶数编号的一毫米。现在，按照全部外观，原因在某些界限之间变化的概率与离开这些界限的距离成比例，倘若这一距离很小的话。如果不承认这个假设，那就不再会有用连续函数表示概率的任何方法了。
现在，当大原因产生小结果时，将会发生什么情况呢？这是我们不应当把现象归之于偶然性的案例，相反地，吕芒却把它归之于偶然性。结果上的一毫米差别对应于原因上的一千米的差别。在两个相距n千米的界限之间包含的原因的概率还与n成比例吗？我们没有理由假定如此，由于这个距离即n千米是很大的。但是，结果处于两个相隔n毫米界限之间的概率将正好相同，这样一来它将不与n成正比，虽然这个距离即n毫米是很小的。因此，无法用连续曲线表示结果概率的定律。据说，在该词的解析意义上，这个曲线可能依然是连续的；纵坐标的无穷小变化对应于横坐标的无穷小变化。但是，实际上这个曲线不是连续的，由于纵坐标的很小的变化不可能对应于横坐标的很小的变化。要用普通铅笔画曲线变得不可能了；这就是我的意思。
这样一来，我们必须得出什么结论呢？吕芒没有权利说原因（他的原因，我们的结果）的概率必须用连续函数来表示。但是，我们为什么有这种权利呢？正因为这种不稳平衡状态，即我们所谓的初始状态，本身只是以往长期的历史的最终结局。在这一历史进程中，复杂的原因长时间起作用：它们有助于产生要素的混合物，它们至少在小区域内倾向于使一切变均匀；它们把棱角磨圆，把小丘推平，把凹地填满。原来为它们所作的曲线不管可能多么随意和不规则，可是它们对于使曲线变规则起了如此多的作用，以致最终它们向我们提供的是连续的曲线。这就是我们可以满怀信心地假定曲线具有连续性的缘由。
对于这样的结论，吕芒不会有相同的理由。在他看来，复杂的原因似乎不可能是相等和规则的动因，相反地，这些原因只会创造出不等和差异。他会看到，一个愈来愈多变的世界从一种原始混沌中出现。他能够观察到的变化对他来说是未曾料到的和不可能预见的。在他看来，这些变化好像出于某种随意性；但是，这种随意性也许完全不同于我们的偶然性，由于它可能与所有的定律相对立，而我们的偶然性却有它的定律。所有这些方面要求冗长的解释，这也许有助于更充分地理解宇宙的不可逆性。
VIII
我们曾企图定义偶然性，现在提一个问题是适当的。就这个定义是可能的而言，这样定义的偶然性有客观性吗？
对此可以怀疑。我已经讲过十分微小的原因或十分复杂的原因。但是，对一个人来说是很小的原因对另一个人来说可能是很大的原因，而对一个人来说似乎是很复杂的原因对另一个来说似乎又是简单的。我已经部分地回答了这些问题，我明确说过，在什么案例中微分方程变得太简单，以致偶然性定律不再适用。但是，稍为比较仔细地审查一下这个问题是恰当的，因为我们还可以采用其他观点。
“很微小”这个短语意指什么呢？为了理解，我们只需要回到我们已经讲过的东西上。差别很微小，区间很小，只有在这个区间的界限内概率才依然明显不变。为什么这个概率在小区间内可以认为是不变的呢？正因为我们假定，概率定律用连续曲线来表示，它不仅在解析意义上是连续的，而且实际上也是连续的，正如已经说明的那样。这意味着，它不仅没有呈现出绝对的空隙，而且也没有太尖锐或太严重的凸角或凹角。
什么给我们以做这个假设的权利呢？我们已经说过，许多年代以来，总是存在着一些复杂的原因，它们以同一方式不停地作用，促使世界趋向于均匀，永远也不能逆行。这些原因一点一滴地把凸角磨光，把凹角填平，这就是我们的概率曲线现在只显示出和缓起伏的缘由。在若干亿亿年后，朝着均匀性又迈出了另一步，这些起伏将减缓十倍；我们曲线的平均曲率半径将增大十倍。由于在我们的曲线上这样的长度的弧不能被视为直线，因此像今天在我们看来似乎不是很小的长度，相反地，在那个时代都说它很小，因为那时曲率比现在小十倍，这个长度的弧可以明显与线段相等。
因此，“很微小”这个短语依然是相对的；但是，它不是对于某某人是相对的，而是对于世界的实际状态是相对的。当世界变得更均匀时，当所有事物更充分地混合时，它将会改变它的意义。但是，到那时，人类无疑不能再生存下去了，他们必须让位于其他生物——我应当说小得多或大得多的生物吗？由于我们的标准对所有的人依然为真，因此它保持着客观的意义。
另一方面，“很复杂”这个短语又意味着什么呢？我已经给出了一种答案，但是还有其他答案。我们已经说过的复杂原因产生越来越密切的混合，但是在多长时间之后，这种混合才会使我们满意呢？何时它才能积累充分的复杂性呢？何时我们才能充分地洗好牌呢？如果我们把两种粉末——一种是蓝的，另一种是白的——混合起来，那么到某一时刻，混合物的色泽在我们看来似乎是均匀的，这是因为我们的感官能力微弱；在近视者看到色泽将是均匀的之前，对于不得不从远处凝视的远视者来说，色泽就是均匀的。而且，即使色泽在所有的眼睛看来变均匀了，我们还可以利用仪器把极限往后推。如果气体运动论是正确的，那么在气体均匀的外观下隐藏着无限的多样性，没有什么机遇使任何人永远能够分辨出这种多样性。可是，倘若我们接受古依（Gouy）关于布朗（Brown）运动的见解，显微镜难道不是就要向我们显示出某些类似的东西吗？
因此，像第一个标准一样，这个新标准也是相对的；如果它保持着客观的特征，那正是因为所有人都有大体相同的感官，他们的仪器的威力是有限的，况且他们只是例外地使用仪器。
IX
在道德科学中，特别是在历史学中，情况正好相同。历史学家被迫在他研究的时代的事件中做选择；他只描述在他看来好像是最重要的事件。因此，例如他满足于把16世纪最重大的事件联系起来，同样也把17世纪最引人注目的事实联系起来。如果前者足以说明后者，我们便说这些事实符合历史规律。但是，如果17世纪有一大事件，其原因在于16世纪的一个小事实，这个小事实没有记载，全世界都忽略了它，那么我们便说，这个大事件出于偶然。因此，这个名词与在物理科学中的意义相同；它意味着微小的原因产生巨大的结果。
最大的一点偶然性是伟大人物的诞生。两个生殖细胞的相遇，不同性别的相遇，纯粹出于偶然性，每一个在其一方都正好包含着神秘的要素，它们相互反应必定产生天才。人们将一致认为，这些要素必然很稀有，它们的相遇更为罕见。要使输送的精子从它的路线偏斜，它要求多么微不足道的事啊。只要足以使精子偏离十分之一毫米，拿破仑（Napoléon）就不会出生，欧洲大陆的命运就会改观。没有其他例子比这个例子能够更充分地使我们理解偶然性的多变特点了。
关于概率运算用于道德科学所引起的悖论，还想多说几句。有人已经证明，从来也没有哪一个下议院不容纳反对派议员，或者至少这样的事件是如此不可能，以致我们可以毫无顾忌地下相反的赌注，以100万法郎对一苏(3)打赌。
孔多桑（Conclorcet）曾力求计算，需要多少陪审员实际上才不可能犯审判错误。如果我们利用这一运算结果，即使在运算的保证下，我们肯定像在打赌反对派没有代表进入下议院时一样，面临着同样的失望。
偶然性定律不适用于这些问题。如果审判并非总是按照最充分的理由给予，那么它还不如我们想到的布里杜瓦厄（Bridoye）(4)方法。这也许令人懊悔，因为当时孔多桑体制可以使我们避免审判错误。
这有什么意义呢？我们被诱使把具有这种本性的事实归之于偶然性，因为它们的原因是模糊的；但是，这不是真实的偶然性。原因对我们来说是未知的，它们的确甚为复杂；不过，它们并非足够复杂，由于它们保存着某种东西。我们已经看到，正是这一点使“太简单的”原因显出特色。当人们汇集在一起时，他们就不再随意地、彼此独立地决断了；他们相互影响。多重原因开始起作用。它们使人们困扰，把他们向右或向左拖曳，但是有一件事是他们不能消除的，这就是他们的庞尼尔热(5)的一群绵羊的习惯。而这一点是不变的。
X
事实上，在概率计算对于精密科学的应用中也包含着困难。为什么对数表的小数，为什么数π的小数都是按照偶然性定律分布呢？就对数而言，我已经在其他地方研究了这个问题，那是很容易的。十分清楚，自变数的微小差别将会引起对数的微小差别，但是在该对数的第六位小数，却会引起巨大的差别。我们总是能够再次找到同样的标准。
至于数π，呈现出较多的困难，我此刻没有什么值得花时间可讲的东西。
还会有许多其他问题尚待解决，尽管我希望在解决我特别向自己提出的问题之前攻克它们。当我们达到一个简单的结果时，例如当我们找到一个约整数时，我们说这样的结果不会是出于偶然性，为了说明它，我们寻求非偶然发生的原因。事实上，在10000个数中，给出一个约整数——例如10000这个数——的机遇的概率是十分微小的。其概率仅为万分之一。但是，要使任何其他一个数出现，其概率也只是万分之一；然而，这个结果将不会使我们感到惊讶，在我们看来，不难把它归因于偶然性；这仅仅因为它将不怎么引人注目。
这是我们的简单的幻觉吗？或者，存在着这种思维方式是合理的案例吗？我们必定希望如此，否则整个科学便不可能了。当我们想检验一个假设时，我们怎么办呢？我们不能证实它的所有推论，因为这些推论在数目上是无限的；我们只能使我们自己满足于证实某些推论，如果我们成功了，我们便宣布该假设被确认了，因为如此之多的成功不可能出于偶然性。而且，从根本上说，这总是同样的推理。
在这里，我不能完满地为它辩护，由于那要花费过多的时间；但是，我至少可以说，我们发现我们自己面对两种假设：或者是简单的原因，或者是我们称之为偶然性的复杂的原因的集合。我们发现，假定前者能够产生简单的结果是很自然的，其次，如果我们找到这个简单的结果，例如约整数，那么我们似乎更乐于把它归之于简单的原因，而不是把它归之于偶然性，简单的原因几乎肯定地给出该结果，而偶然性给出该结果仅有万分之一的可能。如果我们找到的结果不是简单的，那情况就不同了；确实，偶然性给出这个结果的可能性将不会大于万分之一；不过，产生这个结果的偶然性再也没有简单的原因了。
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(1) chance一词在此译为“偶然性”，此前也曾译为“机遇”。——中译者注
(2) 滑铁卢（Waterloo）是比利时一城镇，1815年拿破仑（Napoléon）军队大败于此。奥斯德立兹（Austerlitz）是捷克中部一城市，拿破仑于1805年在此击溃俄奥联军。——中译者注
(3) 苏（sou）是法国的一种低值钱币，合5生丁（Centime），而1法郎＝100生丁。——中译者注
(4) 依据骰子来判决的裁判官。——中译者据日译本《科学と方法》注
(5) 在法国作家拉伯雷（F. Rabelais，约1483—1553）的代表作《卡冈都亚和庞大固埃》（中译名《巨人传》）中，庞尼尔热（Panurge）是庞大固埃（Pantagruel）的一个机智的小淘气和同伴。“庞尼尔热的一群绵羊的习惯”也许意为“盲从的习惯”。——中译者注