（十一）机械计算器

我们今天所理解的机械计算器，最早是在十七世纪发明的。它们有两大类，一类是对数计算尺，另一类是借助连锁齿轮进行某些算术运算的计算机器。计算尺乃根据对数的一个基本性质，它在耐普尔发现对数之后很快就出现。它是威廉·奥特雷德约在1630 年发明的，发明时它已大致完备。不久，它就成为一种比较简单而又方便的形式。与计算尺不同的计算机器也始于十七世纪，最早可以提到巴斯卡（1642 年）、莫兰（1666 年）和莱布尼茨（1694年）三人的机器。然而，同计算尺相反，计算机器在整个十八世纪里仍不断在设计上花样翻新。因此，直到十九世纪这种机器开始以商业规模生产时，才有可能尝试标准化。

十七世纪里甚至在英国，计算尺也很少实际利用，在大陆，这项发明几乎已完全被人们遗忘。然而，十八世纪里尤其在我国，这种仪器得到了比较广泛的应用，它的形式作了多方修改，旨在提高指示精度。两根非紧邻平行标尺间的相交读数的准确度用一个指标即“奔子”来确保，它是一根同标尺垂直相交的可移动准线，能平行于其长度地自由移动，以便同任何一根标尺上的任何给定分度重合。这个装置最后由约翰·罗伯逊引入，他是基督医院院长，后来成为皇家学会图书馆管理员。它成为罗伯逊设计并指导生产的一种精致计算尺的构成部分。按照他的朋友威廉·蒙顿的说法，这计算尺长30英寸，宽2 英寸；一面刻上十二个自然数和三角函数的标尺；并且“沿这一面有一个能滑动的指标即细铜条（约1 英寸宽），它垂直地横过标尺边沿，将在几条标度线上示出彼此相对的分度。但是，这些标度线并不邻接”（W.蒙顿：Description of the Lines drawn on Gunter’s Scale ，1778，p.3）。一些计算尺设计者都试图既获取增加标尺长度的好处（以便能够作出比较精细的标度），同时又不让仪器本身长得不方便。本杰明·斯科特（1733 年）和乔治·亚当斯（1748 年）在十八世纪恢复采用沿圆线或螺旋线给标尺分度这种权宜之计。后来，威廉·尼科尔森研究了这个问题（Phil.Trans.，1787，Part Ⅱ，pp.246 ff 和Nicholson’s Journal，1797，p.372 ff.）。他还倡言，回到应用同心圆形或螺旋形标尺，或者把若干短段联结在一起构成一根直标尺，相当于一根长约20 英尺的连续标尺。尼科尔森的建议当时未引起注意，但在十九世纪得到实现。在十八世纪末之前，法国和德国很少有人拥有计算尺，计算尺也没有什么改进。但是，自从法国采纳了公制，开始要求公职候补者熟习计算尺以后，法国在这种仪器的设计方面起带头作用。今天，最流行的通用计算尺实质上仍是一个以其命名的法国军官在1850 年前后设计的曼海姆计算尺。另一方面，德国则以这种仪器的制作工艺精巧著称。

（参见F. Cajori：A History of the Logarithmic Slide Rule，1990。）

我们现在应当加以考查的十八世纪计算机器全都是实验性质的。它们大都操作方式极端复杂，并且它们中无论哪一种，是否始终保持一种令人满意的性能水准，也属疑问，尽管它们各自的发明者声称没有问题。直到十九世纪下半期为止，这类装置基本上是加法机。不过，它们可以分成两大类，每一类都有一种十七世纪原型。第一类机器像巴斯卡的一样，仅仅用于加法（例如合计金额），第二类机器则能方便地进行乘法，即像莱布尼茨制作的机器那样，重复地用机械方法（例如转动一个手柄或移动一块滑板）累加同一个数。这种加法或乘法的结果通常用一行度盘显示，它们是些数字齿轮，每个齿轮都刻上十个分度，标示0 到9 十个数字，每个齿轮分别相应于个位、十位、百位等等，计算结果的各相继数字由适当度盘指示。使机器的动作逆转，或者利用另一套刻度，便可进行减法和除法。

现在，我们先来论述十八世纪的这样一些计算机器，它们可以认为是试图简化或改良巴斯卡的设计。莱平在1725 年发明的一种算术机器最接近这原型，它载于《皇家科学院批准的机械和发明》（Machines et Inventions approuvées par l’Académie Royale des Sciences）（Tome Ⅳ，pp.131 ff.）。它是对sautoir〔长珠串〕略作修改的变型。这装置用来从一个名数向下一更高位名数进位，进十位、百位等等，它的设计是这类仪器发明上最困难的问题。继莱平之后，伊莱兰·德·布瓦斯蒂桑多设计了三种十分相似的机器（同上，Tome Ⅴ，pp.101ff.，1730 年以内）。它们试图消除这类机器使用上的一个严重障碍即摩擦，但并未成功。吉森大学教授、皇家学会会员C.L. 格斯滕在1720 年前后发明的一种算术机器中，每一名数上的运算，通过使一把刻度尺在一条槽内滑移过一个固定指标进行。这尺移动一根同一个固定小齿轮相啮合的齿条，使之转过相应多分度。需计算的数有多少位，就应用多少组小齿轮和刻度尺。它们放置在一起，每当其中一个齿轮完成一整圈，从它伸出的一个捕捉器就推进紧挨在它上面的小齿轮转过一个齿，以便进完全的十位、百位等等而达到下一更高位名数。这种算术机器在1735 年见诸记载（Phil.Trans.，Vol.ⅩⅩⅩⅨ，pp.79ff.）。聋哑人教育的先驱雅各布·佩雷尔发明了一种简单加法机，它也有一种巧妙的数进位装置（Journal des Sçavans，1751，pp. 507ff.）。它的机器是一根单轴，上面装上一些短的黄杨木圆筒即木轮，它们接连放置，一般都能独立地围绕这轴转动。这些木轮的曲表面上刻有0 到9 十个数字，它们整个地放在一个长约3 英寸的小匣子中，此匣带有一些缝隙，通过它们可以看到数字。这些木轮用一根针转动，每当有一个木轮转过十个分度而完成一圈，左邻的那个木轮便向前移动一个分度。为此，每一个木轮都沿其一个平表面的整个圆周刻成锯齿形，其另一平表面则附装上一根平衡杆，即一根能像跷跷板那样绕其中心摇动的径向杠杆，它在一端有一个钩，在另一端有一个斜面。每当这木轮的圆周向前转过十个分度，平衡杆的斜面便遇到一个捕捉器，后者固定于把每对相邻木轮分隔开来的镀锡铁板上。这捕捉器把平衡杆的该端往下压入木轮厚度上的一个榫眼之中。于是，另一端上的钩便突出。它通过镀锡铁板上的一个开口，同相邻木轮的一个嵌齿啮合，使这木轮向前转动一位。但在能继续推动这木轮之前，斜面脱离捕捉器，钩则在一根弹簧作用下退回正常位置。于是，这相邻木轮便处于不受扰动的状况，直到又移过十个分度。

藉重复相加完成乘法的机器，在设计上的关键问题是要设法做到，在手柄每转动一回或该机器每完成一个别的周期时，度盘所显示的数将增加一个等于被乘数的量。既然一个给定度盘的读数的增加取决于某嵌齿轮向前移过的齿数，因此，这问题便归结为在机器每完成一个周期时啮合各别嵌齿轮适当齿数的问题。任意确定啮合一个嵌齿轮的齿数的装置有好多种可供选择。其中有几种是莱布尼茨为他的计算机器发明的，它们一再为后来的设计师所利用。这些装置中有一种称为“针轮”，装在意大利贵族G.波莱尼设计和用硬木制造的一台计算机中（参见他的Miscellanea，Venice，1709，p.27ff.）。针轮是一个齿轮，其齿数可随意变更。一次简单的运动引起1，2，3……乃至9 个齿突出。每当针轮转过一整圈时，这些齿便同控制度盘的嵌齿轮上同样数目的齿相互作用，而指针向前移动同样多位数。波莱尼给数进位的机构同巴斯卡的sautoir 有点类似，但它用悬挂的重物而非弹簧操纵。这台机器已证明不如巴斯卡的机构。按照一种说法，这位发明者因沮丧而把它拆掉了。

另一种任意改变每当机器完成一个周期时度盘读数的增量的方法是，每当两组连锁的齿已有一定齿数相互作用，便立即用机械方法使它们相互分离。雅各布·洛伊波尔德发明的计算机中，可以看到这种方法的一个实例，有关记载见诸他的《算术几何舞台》（Theatrum arithmetico-geometricum）（莱比锡，1727 年，p. 38 ff.；参见图321 和322）。这种机器可以看做是早期设计的一个杰出范例，尽管它的设计人还没有来得及使之实现便离别了人世。在洛伊波尔德的机器中，相应于个位、十位、百位等等的九个度盘围绕该机的外环CDEF 排列。这些度盘的指标都绕立轴转动，每根立轴的基座上都有一个带十个齿的嵌齿轮。这些嵌齿轮可由一条锯状金属带即齿条NO（图321，图3）的九个齿啮合，这齿条通过转动机器罩盖上方可见的手柄操纵。然而，只有当齿条（以W 为支枢）藉抵抗一弹簧的作用（常态时约束住齿条）而被推离其中心时，这些齿才啮合。每当凸出物1、m、n 等等之一捕捉住金属带X（垂直地固定于NO），这些齿便啮合。现在，X（图4 中正视图所示）切割成九级，这样，在齿条被凸出物例如l 推离期间，这齿条通过时所啮合的邻轴上的齿的数目便可从1 改变到9，只要使l 在不同高度（相当于X 的不同宽度）上捕捉X 即可。为了改变l 的高度，必须升高或降低它由之突出的臂，这通过转动支撑这臂的螺旋斜面（图5）做到。构成机器罩盖内环的六个度盘表明各斜面的定位，它们决定了相应突出物l、m、n 等等的高度。每个度盘的位置都同外环度盘之一相对立，内度盘的读数给出齿条通过外度盘轴时将啮合的齿数，因而也给出外度盘指针前移的位数。每根轴的上一半里还有G、H、I 等等嵌齿轮（图322，图1），它们通过中间齿轮K、L 等等而相互作用。这些嵌轮用于十位、百位等等的进位，以达到下一更高位名数的度盘。例如，每当G 完成一整转，K 上被提高的齿de 便推动H（它处于比G 和K 都高的高度）前移一个嵌齿。同样，当H 完成一整转，L 便借助突出齿g 而推动I 前移一个嵌齿。齿de、g 等等都反抗弹簧的制动作用而处于自己的位置。所以，它们能够只给一个方向让路，以致赋予轮系G、H、I 等等中任一嵌齿轮的正运动便传递给支配更高位名数度盘的嵌齿轮，而不传递给支配较低位名数度盘的嵌齿轮。在应用这种机器做乘法，例如1727 乘以365 时，内度盘的定位按上升顺序示出7、2、7、1，而外盘度全都处于零。这时，把手柄转动五次。于是，外度盘便示出1727 ×5 即8635。然后，转动罩盖的中心部分，使内度盘全都在外度盘上前移一位，并把手柄转动六次，结果，1727×60 就被加于前面的总数。内度盘环再次移位，手柄再转动三次，这样，就又加上1727×300，从而给出630355 作为所求之总数。度盘上另一套可供选用的刻度用于减法和除法。

马洪子爵（后来的斯坦厄普伯爵）分别于1775 和1777年发明的两种用于乘法和除法的机器示于图324 和325。前一设计应用了又一种机械地确定每一机器周期中啮合一给定嵌齿轮的方法。这种装置今称“阶梯式计数器”，它看来像针轮一样也是莱布尼茨发明的。它主要是一个嵌齿轮，后者的九个齿在长度上等量递增。在这嵌齿轮转一整转的过程中，这九个齿中有几个同另一个嵌齿轮啮合，后者的轴带有一个指针，在一个度盘上转动。如此相互作用的齿的数目以及因之而产生的度盘读数的增加，都取决于这两个轮的相对位置，而这位置可任意改变。在斯坦厄普的前一种机器里，有两行盘度，每行有12 个度盘，一行在前，一行在后，两行都固定于底座。上面是一个可移的座架即滑板，在进行乘法时，操作者借助图示的两个牙质手柄使之始而朝向继则离开操作者地滑移。这座架也带有一行度盘，包括十二个度盘，它们可置于从右到左十二个不同位置。这些度盘控制阶梯式计数器，每个计数器都有九行齿，其齿数从1 到9 不等。按照这些度盘的定位（它们在乘法时必须置于表示被乘数的位置），每个计数器有一、二或更多个齿啮合底座上后行嵌齿轮的齿，并使指针在滑板前移时也前移相应多位数。数字在相邻位间的进位是自动的。一个突出臂记录滑板对前行度盘的每次扫描，这样，在整个运算完成时，前行便表示乘数，而后行表示所求之积。在做除法时，这扫描沿相反方向进行，即始而离开继则朝向操作者。于是，后行轮表示被除数，滑板上的轮表示除数，前行则表示商。斯坦厄普1777 年的机器设计更复杂，它用曲柄的旋转运动取代滑板的振动。它包括一个同洛伊波尔德相似的装置，用于当已有所希望的齿数相互作用时，自动中止两个嵌齿轮的啮合。

这类主要用于乘法的机器，还有德国人在十八世纪末发明的两台。其中第一台是马特·哈恩耗巨资发明和制造的。他是路德维希堡一个有机械素养的牧师。它的外部特征的描述以及使用说明发表于《德意志报道者》（Der teutsche Merkur）（1779 年5 月）。这种机器在附近一带引起很大兴趣。不过，它的内部结构没有透露。哈恩的儿子在1809 年复制了一台，保存在斯图加特。直至上世纪末，它还在运转。关于哈恩机器有严重缺陷的传闻，激励德国工程师J.H.米勒制造了一台据他称是优越的仪器（图328）。他想出了好几种可供选择的主意，结果选择并制定了其中一种，它使他制成一台酷似哈恩的机器。米勒的发明在《德意志报道者》（1784 年5 月）上宣布。他的朋友P.克利普施泰因于1786 年编著了一本小册子《他新制成的计算机器的说明》（Beschreibung seiner neu erfundenen Rechenmaschine），说明了他的机器的外貌和使用规则（但关于它的内部结构则语焉不详）。米勒的机器封装在一个镀金黄铜圆筒形机壳之中，后者直径10.5 英寸，深3.5英寸。上表面带有十四对度盘，构成一个外环和一个内环，又有十四个带刻度的螺丝头围绕这圆筒的曲面分布，同相应的度盘对相对立。整个装置顶上是一根大曲柄，它只沿一个方向自由转动。在把两个数相加时，外度盘的定位表示其中一个数，螺丝头则表示另一个数（后一个数的个位、十位等等分别置于前一个数的个位、十位等等之下），多余的度盘一律置于零。只要转动手柄一次，外度盘环上的读数便变为所需之和。乘法像在洛伊波尔德的机器中一样进行。米勒的机器里设置了一个铃，每当试图进行不可能的运算时，便发出报警声。

（参见Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften，Leipzig，1898，etc.，Vol.I，pp.952—78；Société d’Encouragement pour l’Industrie Nationale，Bulletin for Année 119，Paris 1920；D.E.Smith：History of Mathematics，Vol.Ⅱ，1925；Catalogue of Science Museum，London：Mathematics I.Calculating Machines and Instruments。）