三、 拱

十八世纪初年，有三种研究拱和拱座设计问题的方法。

（1） 德朗和弗朗索瓦·布隆代尔介绍的一种方法（Mém.de l’Acad.Roy.des Sciences dépuis 1666 jusqu’à 1699，Tom.V），它把拱座厚度同拱腹形状关联起来。然而，德朗的法则没有表明拱肋的厚度，也没有考虑到拱座的高度。

（2） 按照罗伯特·胡克最先说明的理论，拱的各组成部分被认为彼此推挡，其方式恰同一条链各部分相互对拉的方式相反。如果链杆重量同实际负载成正比，那么，这方法便将给出任何拱的推力线，可以认为，拱各部分的合压力沿此线作用。但是，由于为负载作的任何修正均将致使拱形状整个地改观，因此，十八世纪工程师没有发展出一种实际方法，能把这理论应用于一种设计方法。然而，这理论一般这样表述：只有当能在一个拱的剖面图中画一条真悬链线时，这拱才能是稳定的。

（3） 拉伊尔在他的《论力学》（Traité de Mecanique）（1695 年）中首次概述了他在一篇论文中提出的一种方法，这篇论文于1712 年逞交科学院。这个方法建基于无摩擦拱楔块理论。

拉伊尔考虑了，一个由光滑拱楔块辐式接合而成的拱能够保持稳定的条件。每块楔块均受到其自身重量和各相邻楔块的法向压力的作用。拱顶的石块起楔的作用，倾向于使各拱腋分离和跌落。如此产生的推力同石块重量相结合，一起从一个楔块传到另一个，最后传到拱座。从匿名提供给《哲学杂志》（Philosophical Magazine）第38 卷（1811 年，第387 和409 页）发表的一篇论文中，可以看到拉伊尔、帕朗、库普勒、埃梅尔松和其他人制定这理论及其应用的步骤。这论证的大意可参照图225 扼述如下。可以证明，在A 和B 处的两楔块的重量Wo 和W，同这两楔块的面所处平面沿水平线KX所截成的截距成正比。当角θ增大时，这两个截距也随之同sec²θ成正比地增大，而当θ在近起拱点处趋近直角时，仅仅重量所造成的平衡将要求无限重的楔块。然而，正是在起拱点附近，摩擦的效应达到最大。

拉伊尔从一开始就意识到这种反常，但是找不到考虑摩擦的切实可行方法。然而，在他的1712 年论文中，他以图226 所示方式提出了一种折中方案。他把拱分成四个扇形体。他认为，这拱从拱顶开始，在垂直线两边的45°之内，拱由无摩擦楔块组成，而其余部分则构成刚拱座。拱AS 的重量W₁按平行四边形法则同拱顶的推力H（按上述方法计算，H=W·do·r）相结合，决定了T。T 同拱座和拱腋的重量W₂相结合，决定了R。只要R 处于底的宽度之内，拱的推力就不会倾覆拱座。他用于求R 的大小和作用点的几何作图法，是非常复杂的。

H.戈蒂埃关于拱设计的观点包括在他的《论桥台的厚度》（Dissertation sur l’Epaisseur des Culées des Ponts）（1717 年）一书之中。戈蒂埃在此之前已发表了《论古罗马和现代的桥梁和道路》（Traité des Ponts et Chemins des Romains et des Modernes），此书像他的《论道路建筑》（Traité de la Construction des Chemins）（1693 年）一样，也成为一本权威著作，出了四版。他考察了一切比较出名的桥梁结构的尺寸，并像巴拉迪奥一样，也得出结论：对于实用、目的来说，使墩在宽度上等于拱跨的五分之一，拱圈厚度等于拱跨的十五分之一，就已足够了，但当建筑采用软性石料时，拱圈厚度尚需增加一英尺。他还做了一些关于木楔块构成的拱圈的实验，它们使他相信，必须极其精确地切琢石料，也必须给拱肩提供坚固的背衬。他认为，光滑楔块理论的那些假定大大失实，因此，这理论毫无价值，尽管基于这些假定的方法尚可为实践者采纳，运用起来困难也还不大。

贝利多在他的《工程师的科学》（Mémoires de l’Académie des Sciences）（1729 年）中，简化了拉伊尔处理拱的方法，并把它应用于圆形以外的形状。

库普勒于1729 年投交《皇家科学院备忘录》的一篇论文扼述了忽略摩擦的最新拱理论。1730年，他又撰著了一篇进一步的论文，文中研讨了考虑到摩擦的半圆拱平衡问题。他认为，相邻楔块并不彼此滑移；但是，它们倾向于转动，从而使接缝开口。他设法通过比较复杂的计算确定，为使一个拱在其自身重量作用下，不会因在拱腋的一个关键接缝处发生这种转动而坍陷，所能给予的最小厚度。

M.达尼西进行了一些令人感兴趣的关于拱的实验，他于1732 年向蒙彼利埃学院报告了这些实验。A.F.弗雷齐埃的《论立体几何》（Traié de Stéréométrie）（1769 年）第三卷的一篇附录说明了这些实验。

这里，我们基本上只局限于注意拱圈在它自己重量作用下的稳定性。达尼西从一个稳定拱开始，注意所施负载的效应。他先对一个由七块灰泥楔块构成的半圆拱做实验。这未给出足够多可能的关键接缝，所以，他重新对一个十六块楔块的半圆拱、一个十三块楔块的椭圆拱、一个拱扶垛和一个平拱楣进行实验。

J.R.佩罗内在一个空前发展时期担负法国市政工程工作。因此，他具备得天独厚的条件来通过观察和主动实验获得数据。例如，在建造塞纳河畔诺让的圣埃德姆大桥时，就做了一个实验：在拱建成之前，先试验建造拱腋上墙的一部分。这座大桥是一个跨度96 英尺、拱高29 英尺6 英寸的椭圆拱（参见Mém.l’Acad.Roy.des Sciences，1773，pp.63 f.和图228）。这压低了在拱腋处的拱赝架，致使拱和拱肩填充物之间出现间隙。沿拱的边沿标上水平线。建好拱顶之后，马上就定中心，测量沉陷。间隙闭合了。但是，观察到拱圈出现明显变形，而这清楚地显示了合压力的走向和破裂点倾向出现的地方。这个现象以往只在小的模型中观察到。

佩罗内和谢兹早在1750 和1752 年就编纂了批圈、墩等等的合适厚度的表。这些表（可能经过一些修改）后来同其他东西一起发表于P.C.勒萨热编的《帝国交通工程图书馆藏论文选（供工程师先生们应用）》（巴黎，1810，Vol.Ⅱ，pp.249 f.）一书之中。

C.A.库仑（Mém.par divers savants，1773）放弃了光滑楔块理论，遵循库普勒于1730 年首先提出并为达尼西的实验（即毁坏不是由滑动而是由转动引致）所支持的论证路线。

在图229 中，一个拱肋AA＇B＇B 即将毁坏时，其一部分保持平衡的条件的确定问题，可以归结为求下述两种情形里的水平推力H：为阻止逆时钟旋转因而使A 和B＇处接缝开裂所必需的最大值H₃；和将不导致顺时针转动及接缝在A＇和B 处开裂的最小值H₄。这两个最大和最小值下的截面积可分别用尝试法求得。

如上所述，在巴黎的圣热内维埃夫教堂——法兰西众神庙重建时期，拱的设计成为激烈争论的主题。

E.M.戈特的《论力学原理对拱顶和圆顶建筑的应用》（Mémoire sur l’Application des Principes de la Méchanique à la Construction des Voûtes et des Domes）（第戎，1771 年）直接回答了，这众神庙的圆屋顶及其支承，如按苏弗洛的设计建造，将弱得岌岌可危这一局面所提出的挑战。戈特利用拉伊尔的理论，计算了圆屋顶的和支承其上鼓形顶的拱的推力，并宣称，甚至以此为基础，他也能证明这设计是合理的。

后来他用弓形拱、三心拱和半圆形拱的模型做实验，它们的净跨为65厘米，用精心加工的木楔块（深27 毫米）制作。当减小所提供的拱座的厚度，并增加所支承的负载时，平衡就被破坏。实验导致戈特像对戈蒂埃和达尼西一样，也拒斥拉伊尔的假定。他对这问题持同库普勒和库仑一样的看法，也即认为，它是可能在某些关键接缝处发生转动的问题。

布瓦塔尔约在1800 年进行了一些大规模实验，所应用的砖楔块深4 英寸、宽8 英寸，用砂岩磨光。拱建立在一些中心上，这些中心跨于拱座间8英尺的净跨上。破裂可用三种不同方法引致：

（1） 垂直地降低中心；

（2） 增加拱背上的负载；

（3） 减小拱座的厚度。

每种试验——共有二十二种——都重复三次。这系列包括半圆形、椭圆形和扁平形三种类型。勒萨热的上述《文选》的第二部分（pp.171—217）详尽地描述了这些试验。作为这些实验的结果，布瓦塔尔得出了下述结论：

（1） 拉伊尔的平衡理论应当彻底抛弃；

（2） 这理论应让位于一些法则，它们建基于他自己的实验以及佩罗内和其他人收集的关于实际桥梁在拆卸拱架时的性能的数据；

（3） 楔块绝不滑动。它们总是转动，拱圈结果分裂成四个部分；拱腹在拱顶和起拱点裂开；拱背在拱腹裂开（事实上当H 具有库仑的最小值H₄时）。