（二）声学

十八世纪里，在朝向建立作为一门精密科学的声学上取得了相当大的进展。这方面最重要的实验工作是索维尔和克拉尼做的。这一时期的第一流数学家们在这方面也作出了他们的贡献。所研究的声学问题范围很广，包括“拍”的本质以及测定音调的新方法、声音藉助膜、杆和各种气体的传播以及可闻限等问题。

十八世纪初人们就知道，当把两个频率稍有差别的深沉的管风琴音一起发出时，可以听到合成乐音在强度上有周期性的变化，此即现在所谓的“拍”。约瑟夫·索维尔（1653—1716）认识到，这种效应是由于产生两个律音的振动周期性地符合，即我们现在所说的相位一致所造成的。这种拍的频率等于两个构分律音的频率之差。索维尔就是根据这一原理提出他的测定任意给定律音的频率的方法的。他的方法是让这律音与一个邻近律音产生拍，然后计算每秒钟拍的次数，而这邻近律音的频率同给定律音的频率成一已知比。例如，他让两个相差半音的管风琴音一起发出，两者的频率之比为15∶16，他算得每秒钟有6次拍。既然知道了两个频率的比和差，他就能推算出两者的值为每秒振动90次和96次。索维尔得出了一个标准律音的频率后，就可算出音阶中其余律音的频率。他求得，一个长约5英尺的开键管风琴管可发出频率为100的律音。他提议把这个律音作为标准音调。他得到这个结果的方法是，对于一根风琴管再取另一根风琴管，后者长度被调节到与第一根风琴管的长度之比为99∶100，当两根管同时发音时，每秒钟产生一次拍，求得这时第一根管发的律音。1739年，欧勒根据布鲁克·泰勒公式（Phil.Trans. ，1713）提出了一种更为精确的绝对确定音调的方法。现代形式的泰勒公式表明了一根弦的振动频率（n）与其长度（l）、张力（T）和单位长度质量（m）之间的关系： （Tentamen novae theoriae musicae，1739）。

十八世纪里，人们提出了各种见解，试图解释振动物体如何产生出它们的特征律音和泛音。例如，有些物理学家推测，声音来源于发声物体的基本粒子的振动。为了支持这一观点，德拉伊尔于1716年指出，一把夹钳被轻敲时产生一个律音，而当其两臂能作为一个整体振动时则不产生这律音（Mém.de l’Acad.Paris，1716）。C.B.芬克在1779年（Dissertatio de sono et tono，1779）也维护这种观点。十八世纪末，托马斯·杨提出，一根振动弦的各部分之间的相互作用是产生律音和泛音的原因（Phil.Trans. ，1800）。

及至十八世纪中叶，现在所谓的“结合音”已被部分地发现。索维尔研究的周期性拍只有在频率几乎相同的两个律音同时发出时才能听到。但是，若把两个律音间的音程逐渐加大，则拍频（即两个律音的频率之差）就会变得太高，以致无法分辨各别的拍。不过，这时乐音却可以听闻到了，它像拍一样，也以原始律音的频率之差作为它的频率。G.A.佐尔格于1740年（Vorgemach der musikalischen Kompositon）以及F.罗米厄于1753年（Mém．de la Société Royale des Sciences，Montpellier）都描述过这种后来称为钝谐音的乐音。但是，它们常常同意大利音乐家G.塔提尼的名字联系在一起（它们因之被称为sons tartiniques［塔提尼音］）。塔提尼直到1754年（Trattato di musica…）才描述了这种他所谓的terzo suono［第三音］，但他声称他早在1714年就已注意到了这种音。他当时未能解释这种音的存在，而且他所给出的音要比这种音的实际音调高八度。1759年，拉格朗日在一篇论文中指出，塔提尼的钝谐音是由于两个律音的拍的频率很高，足足相当于一个可闻音调的律音而产生的。于是，（构成拍的）两个律音的共同强度的周期性变化本身就被认为等于一个具有这振动周期的律音。关于这个问题的这种观点现在也还没有得到公认。它已为赫尔姆霍茨的结合音理论所取代。赫尔姆霍茨的理论解释了由两个基本音产生的其他附加乐音的存在，尽管在进行这种解释时还不无困难。这些结合音调的频率是两个基本律音的频率的倍数之和与差。有时它们是由发音的条件产生的，有时则是由耳朵接受声音的条件产生的。

关于一根横振动的弦的形状和运动问题的研究，主要有布鲁克·泰勒、达朗贝、丹尼尔·伯努利和欧勒等人运用了微积分方法。拉格朗日的早期工作又使他们的研究臻于完善。欧勒还考察了由几个独立线性振动合成而得到的比较复杂的振动。里卡提研究了膜的振动，并于1786年发表了研究结果。所述及的都是固体因其自身弹力而发生振动所提出的问题。丹尼尔·伯努利、里卡提和欧勒对杆的横振动进行了研究。音叉和其他一些乐器，例如手风琴和八音匣，就是以这种振动为基础的。他们考察了因杆的一端或两端处于自由或固定状态而发生的各种情况。恩斯特·洛伦兹·弗里德里希·克拉尼（1756—1827）是杆的纵振动和扭转振动的发现者，并对它们进行了专门研究。他在《论弦和杆的纵振动》（Über die Longitudinalschwingungen der Saiten und Stäbe）（埃尔富特1796年）这本书中阐述了他的研究结果。

克拉尼关于板的振动的研究具有特别重要的意义。他在《声学理论的新发现》（Neue Entdeckungen über die Theorie des klanges）（莱比锡，1787年）和《声学》（Akustik）（1802年）中阐述了他的研究。约在1785年，他进而研究玻璃或金属的圆盘、方形板等等的振动。这些东西通常在中心被夹持，用一把提琴弓从边缘激发振动。他注意一块板在这些条件下所发出的各种律音的频率之间的关系。后来他想到把砂撒在水平地夹持的板上。在用弓垂直拉奏板的边缘时，砂从板的振动部分移动到了不振动的部分，从而形成图形，即现在仍然以他命名的声图。砂的位置表明了节线，从而揭示了板振动的模式。拿破仑看了这些实验后说：“克拉尼使声音变得可以看见了。”产生了种类极其多样的这种图形，克拉尼在他的著作中试图描绘它们并加以分类。这里（图87）示出了一些克拉尼声图。第一幅图示出方形板在中心被水平地夹持，在其一角垂直地拉弓时，砂的图形；第二幅图中，琴弓在一边的中央拉奏。第三幅图示出板在n或g处被夹持，琴弓作用于a处时，砂的图形。第四幅图示出的图形很容易由第三图变化而来。

盖里克、豪克斯贝、玻义耳和帕潘在十七世纪所做的实验已表明，一个声音的强度或响度（区别于它的音调即音高）随发声处空气的密度而变化。这一发现似乎表明，一个声音在不同的气体中响度可能不一样，可能与它们的几种密度成正比地变化。第一个做实验去确证这一点的是约瑟夫·普利斯特列。他把一个铃先后放在充有不同气体的一些玻璃球里面，测量在这几种场合里仍可听到铃声的距离。他发现，在氢气中，铃声几乎像在真空中一样听不见；在氧气中，铃声比在空气中强；碳酸气中，铃声大约比空气中强百分之五十。于是，他得出结论：声在各种气体中传播的强度与气体的密度或比重成正比（Experiments and Observations，1779）。佩罗尔重复了普利斯特列的实验，但却得到了大不相同的结果。他以声在空气中的传播强度作为单位，对他所实验的几种气体给出了下列数值：氢气：0.234；碳酸气：0.82；亚硝气（即“笑气”）：1.23；氧气：1.135（Mém.de l’Acad.de Toulouse，1781）。

威廉·德勒姆（1657—1735）曾试图测定温度变化、风向以及大气湿度等对声强的影响。但他的结果相当含混。总起来说，他发现，声在夏天比在冬天弱；刮东风或北风时比刮西风时更强、更刺耳；枪声在潮湿天气并不减弱，倒是有时在晴朗干燥天气仅仅勉强能听见（Phil.Trans. ，1708）。

克拉尼从对各种物质制成的杆的纵振动的研究而被引向也对声在不同媒质中的各种速度进行了研究。他未能（像后来毕奥那样）直接测量这种速度，而仅仅间接地，即由所产生的律音的音调推算出振动速率，由振动速率推算出速度。他以声在空气中的速度为单位，对他所实验的各种材料得出了下列相对速度：锡：7.5；铁：17；银：9；铜：12；玻璃：17；木材：11—17。他还注意到声在不同气体中的速度。同固体媒质情形一样，这里，他的声速测量也是间接的（后来雷尼奥作了直接测量）。克拉尼让管风琴管在各种气体中发声，从这些实验得出结论：声速在氢气中最高，在碳酸气中最低（Uber die Töne einer Pfeife in verschiedenen Gasarten，载Voigt’s Magazin der Naturkunde，1798）。

在十八世纪人们就已试图确定，为了在人类耳朵中产生律音，声波系列的频率必须处于多大界限之内。律音的这种可闻限部分地取决于声的性质和强度，部分地取决于各别个人的听力。因此，它们的估计值总是有很大差异。索维尔从他用管风琴管所做的实验得出结论：下限为每秒1212次振动，上限为每秒6400次。欧勒得到的可闻极限分别为每秒20次和4000次。现代研究者把下限定为约每秒30次；对上限的估计值则差别很大，但平均值约为每秒30000次振动。

（参见第81—82页上关于物理学的书。）