三、摆的实验

数学理论领域中的进展和实验技术进步之间的相互联系在摆的研究中得到很好说明，这些研究主要是法国物理学家在十八世纪里进行的。这些研究主要旨在测定为了打秒拍，单摆的摆长必须是多少，以及这种摆长如何随观测地点纬度而变，但是，这些研究也用于测量落体加速度（g），而且对于测定地球形状的问题也具有重要意义。摆的运动的基本定律是在十七世纪确立的。伽利略已经认识到，任何一个给定摆的振动周期都几乎与摆动弧的幅度无关，而与悬线长度的平方根成正比。他试图把摆的这种等时性应用于时钟的调节。惠更斯在这方面获得了成功。惠更斯还得出了单摆和在重力作用下绕固定轴振动的广延物体的振动周期公式。利用惠更斯的公式，现在就可通过测量任何单摆的长度和周期来求得重力加速度。

十八世纪里，在单摆的制造和悬吊方法方面，在对温度效应和摆的运动受周围空气的影响的估计方面，以及精确地把摆的振动速率与可靠钟表指示作比较的方面，都获得了相当大的进步。在早期摆的实验中，全都把悬线上端夹在一个牢牢固定的夹钳上。但是，这样的布置使摆绕之转动的点的确切位置不确定，而且摆的有效长度的估计也有了不确定性。因此，从十八世纪中期开始，便有人应用了刀口悬吊法（如布格埃，参见Mém.de l’Acad.des Sciences，1735，p.526）。这样，运动中心就可取为位于刀口所在的平面，而摆的全部重量都由刀口承载。然而，这种悬吊方式也自有其问题，因为，正如拉普拉斯和贝塞尔后来所认识到的那样，刀口实际上是圆筒。皮卡尔1669年注意到摆钟速率因温度变化而被扰乱。哈里森发明的铁栅摆（1725年，见Phil．Trans. ，1752，p.517）和格雷厄姆发明的水银摆（Phil.Trans. ，1726，p.40），都是为了自动补偿这种不规则性。另一方面，拉孔达明让一根标准长度的金属棒像摆一样地振动，观察其周期如何随已知温度变化而变化，试图由此来测定金属的热膨胀（Mesure des trois premiers degrés，etc. ，Paris，1751，p.75）。十八世纪里，也有人试图估计摆的振动受周围媒质的影响，媒质以惯性阻止摆通过它，而其浮力减小摆锤的有效重力。十八世纪的研究者没有能力为前一因素找到适当的处理办法，因为这种流体动力学问题造成种种困难。然而，牛顿已通过实验研究了各种媒质对摆的振动幅度的这种阻力的效应（Principia，BK.II，Sect.6），但忽视了对周期的效应。他的后继者们直到贝塞尔一直也都是这样。牛顿在《原理》第二版（1713年）中还就空气密度修正了皮卡尔在巴黎对秒摆长度的估计，并在第三版中（1726年，BK.Ⅲ，Prop.20）对此作了解释。但是，这一点后来被人们忽视了，直到布格埃才在他在南美进行的摆实验中就空气浮力修正了他的结果。布格埃测定空气比重的方法是看一具气压计必须从观测地点升高多少才使水银柱下降一线 ^[1] （Figure de la Terre，Paris，1749，p.340）。布格埃还把所有摆观测都下放到海平面上，由此就重力随高度的变化作了修正（上引著作，p.357），尽管他为了凑数据而不得不把观测地附近海平面之上物质的引力也考虑进来。当摆的振动幅度大出很少几度时，对摆等时性的近似定律的偏离就变得显著。所以，早期研究者，例如皮卡尔为了精确起见就限制被试验摆的振幅。但是，这也带来一个缺点，即摆的运动很快就停止。然而，丹尼尔·伯努利于1747年表明了，如何把观测到的振动周期变换成同无限小振幅相应的周期（Piéces de prix de l’Acad.en 7，p.I ff.）。如取一级近似，则以振幅a（按弧度制）振动的一个摆的周期同它划出无限小的弧时的周期成由 量度的比例，而如果a很小，则该比例可以取为 。

十七世纪里，默森（1644年）、利乔里（1651年）和皮卡尔（1669年）等人测量了敲打秒拍的一个单摆的长度。皮卡尔的方法是调节悬线长度，直到摆与一个打秒拍的时钟同步，然后用一把尺测量这个长度（Mesure de la Terre，Paris，1671，p.139）。然而，1735年德·梅朗预言了后来的“符合法”，尽管还很粗糙（Expériences Sur la lonueur du penduleáSecondesáParis，Mém.de l’Acad. ，1735，pp.166ff.）。他的方法是观察被试摆和紧位于其后的一个钟的摆同时到达垂线同一侧的摆动弧端点的时刻。这两次会合的间隔时间相当于整数次摆振动和整数多个秒，这样用除法便很容易求得摆的周期。1743到1749年间，布莱德雷在格林威治应用了这种方法的“耳目并用”形式：把用眼对摆的观察同用耳听时钟的嘀嗒声相比较（Bradley的Miscellaneous Works，Rigaud编，1832，p.384）。十八世纪末，R.G.波斯科维奇在关于这个问题的一篇论文中提出了改进摆实验技术精细程度的意见（Opera Pertinentia ad Opticam et Astronomiam，Bassani，1785，Tome V，pp.179—269）。他建议计时钟和被试摆都通过各自垂直位置时的符合，这时观察者通过一块屏上的一个孔集中注意看摆动弧的中部。这实际上就是现代的“符合法”。它比德·梅朗的方法更精确，因为两个摆是在它们与观察者眼睛处于同一直线上时，而且当它们以最大速度运动时被观察的。波斯科维奇还确认了伯努利变换到无限小弧的方法，并表明如何把这些修正应用于一种具有实际重要意义的情形，在这种情形里，像布格埃所认为的，逐次振幅按几何级数递减。波斯科维奇似乎并没有把这些方法应用于自己的摆实验。但是，数年以后，J.C.博尔达和J.D.卡西尼·德蒂里在他们旨在在巴黎测定秒摆长度的一些精心研究中就基本上采用了波斯科维奇提出的这种方法。

博尔达和卡西尼的实验是1792年春夏期间在巴黎天文台进行的。他们的方法主要是把一个已知长度的摆的振动速率与一个其摆打秒拍的时钟的速率相比较，该时钟的误差由观测恒星中天得知。这时钟固定在一堵坚牢的扶壁（为支持墙象限仪而建）上，摆挂在一块突出石头上，在钟前面悬下（图24）。摆是一个直径约1.5英寸的铂球，由一根约12英尺长的细铁丝悬吊，这样，它将以约2秒的半周期振动。铁丝的下端用螺钉固定着一个倒置的铜杯（图25），摆锤恰好可以容纳在里面，摆锤涂了一点润滑油。这样，一次实验之后，摆锤就可以很容易地翻转过来，这可以反复进行，以消除摆锤形状或密度的任何不规则所产生的效应。摆悬置在刀口上，刀口则置于一个水平钢表面之上；这钢表面固定在一块铜板IKL上，铜板则用螺钉固定在那个突出石块上。摆通过狭缝ST悬下。悬线上端附着在杆上，这杆由其向上延长部平衡。这延长部带有一个活动的重物，通过对这重物的调节，可使这悬置系的固有振动周期与摆的周期相等，这样，摆的运动就不受这悬置系惯性的影响。摆和时钟都完全封闭在一个箱子里，因而避开了气流，观察者通过一块窗玻璃用望远镜观看它们的运动。摆的长度这样调节使得在时钟摆动两次的同时，摆的摆动还远远不到一次。观察者的任务是，记下两个摆都从右向左运动时，它们同时通过垂直位置的时刻。为了便于进行这种观测，在时钟摆锤上设置了一个在黑色背景上的白色十字符，并适当放置望远镜，使得当两个摆都处于静止时，一个摆的悬线在观察者看来乃通过另一个摆上的十字符的中心。此外，每个摆的摆动弧的左半部分被一个屏遮住，使观察者看不见。当让两个摆开始摆动后，观察者记下在两个摆刚刚都消失在屏后面时摆线平分十字符的时刻。观察者还要记下被试摆在每次这样重合时的振幅，这样，就可用得上伯努利的修正法。将各次观察到的重合之间的时间间隔除以经修正的这期间发生的振动次数，博尔达和卡西尼就计算出了被试摆的振动周期；这样，再考虑到这个悬置系的长度；就推算出在巴黎一个打秒拍的摆的长度。“符合法”的好处在于这样的事实：逐次符合的时间间隔的估计误差仅仅相当于这些间隔的一小部分，而相应的振动周期误差则是这周期的远小得多的一部分。用来测量摆长的是一个铂标尺，其上端有一个置于钢板上的钢横档，这样，标尺上端便与刀口齐平，而其下端是一个可以在一条槽道中上下自由滑动的刻度舌片EF，及一个游标X，它指舌片端部在标尺零刻度以下延伸多远。（戈丹早已使用过这种可伸长的标尺。）这铂标尺的一面覆盖一根铜标尺，用螺钉固定在标尺一端。这组合用作一种金属温度计。因为，由一个专用游标量出两个标尺的热膨胀差，这使得铂标尺的相应绝对膨胀得以计算出来，并可用作对藉这标尺作的测量的修正。在进行这些测量时，先把标尺上端的位置调整好；然后，用一个螺钉使位于摆锤之下的水平板升高，直到刚好接触摆锤的下表面，再使舌片EF降低到与IH接触。于是，标尺全长（对于其自重引起的伸长，已加以修正）加上舌片在游标X零刻度以下的伸长部分便示出了摆的总长度，测量结果精确度达到1/116线以内。为了测定等效单摆的长度，博尔达和卡西尼又作了许多修正。他们根据零件的重量和大小计算出了摆的摆动中心的位置，从而也计算出了摆的有效长度。根据实验期间温度和大气压，他们计算出了空气的密度，并因而也算出了空气浮力在抵消铂球重力方面所会产生的效应。最后，还必须把铂标尺上的任意分度表达为某种公认标准的标度。他们选用了科学院官方的toise ^[2] 。博尔达和卡西尼经过二十组观测得出的最后结果是，在巴黎打秒拍的摆的长度为440.5593线。

十九世纪，势在必然地以可倒复摆取代单摆在科学研究中的应用。G.里什德普洛尼1800年提出的一些建议中已包含这种思想的萌芽。然而，这被忽视了，直到1817年才有凯特船长独立地发现这一原理，并付诸实践。

十七世纪末便有人发现，在赤道附近秒摆的长度要比在高纬度地区短，相应地重力也比较弱。这观测提出了关于地球形状的问题，导致牛顿和惠更斯试图估算通过地球极轴取的地球任何截面的椭圆率，地球被认为关于其极轴是对称的。十八世纪期间，积累起了世界各地秒摆长度的大量估计值；这些数据大都基于用固定长度的块体摆作的测量，这种摆可以接连在不同地点设置，并能连续摆动数小时。自从德布勒蒙首先发表了这种估计数值表（载他译的法文版1734年《哲学学报》，巴黎，1740年，p.126）以后，便不时有这种表发表。人们试图推导出一个理论公式，它应把秒摆长度和观测地纬度联系起来，并应同已有数据相符。牛顿已经得出过一条简单法则，它把纬度 处的长度 与赤道上的长度lo联系了起来，其关系为 ，其中m=1/229（Principia，Ⅲ，Prop.20）。克勒洛从关于地球内部构成的比牛顿更为概括的假设出发，得出了同牛顿的公式形式一样的关系式，但赋予m以值 ，其中

f＝赤道上因地球自转而产生的离心加速度；

g_o＝赤道上的重力加速度；

∈＝地球的一个子午截面的椭圆率。

人们作了许多尝试，想通过比较世界各地作的摆观测的结果，推导出m以及从而也推出椭圆率∈。但从这种比较中推出的椭圆率的值彼此还不能很好地吻合，也不能同通过测量子午弧得到的几何椭圆率相吻合。

（参见 Collection de Mémoires relatifsála Physique，Publiés par la Société Française de physique，Paris，1889，Tome Ⅳ，其中转载Base du Systém Métrique，Paris，1810，Tome Ⅲ，pp.582ff.博尔达和卡西尼的论文，还载有关于摆的理论和应用的参考书目和论文目录，以C.沃尔夫撰的一篇历史性述评。）