一、一般原理

早期的力学著作家大都满足于解决分散在应用数学各个分支中的大量孤立问题。由于每一个问题都必须运用特殊手段以不同方式去解决，所以，只有那些具有最高超数学才干的人才能有希望成功地解决力学问题。然而，十八世纪里提出了一些能适用于一切种类问题的一般力学原理。这就是力守恒原理、虚速度原理、达朗贝原理、最小作用原理以及欧勒和拉格朗日的动力学方程。

莱布尼茨关于宇宙中力守恒的思想，是从笛卡尔的一个主张出发的，莱布尼茨反对笛卡尔的这个主张，认为它是错误的。笛卡尔选用物质质量与速度的积作为对力的度量，他称之为动量；他断言宇宙中总动量必定保持恒定。莱布尼茨在1686年投交《学术学报》（Acta Eruditorum）（Brevis demonstratio，等等）的一篇论文中反对这个观点。笛卡尔派与莱布尼茨派的激烈论争持续了许多年，几乎每个欧洲国家的代表人物都卷了进去。最后，达朗贝于1743年在他的《论动力学》（Traité de dynamique）里指出，整个争端只不过是一场关于用语的无谓争论。他指出，对于量度一个力来说，用它给予一个受它作用而通过一定距离的物体的活劲，或者用它给予一个受它作用一定时间的物体的动量，同样都是合理的。为了驳斥他的对手，莱布尼茨利用伽利略的落体定律把笛卡尔的另一条规则用一种新的形式表达出来。笛卡尔假定，一个力可以用它所升起的重量与其升起的高度的积来度量。莱布尼茨则表明，根据落体定律，一个物体升起的高度是与初速度的平方成正比的，因此，作用在一个物体上的一个力的效应必定是与其重量和所给予的速度的平方而不是简单速度的积成正比的。两方都是正确的，只是莱布尼茨在取力的效应的量度时，错误地用乘积 代替 。

势能与动能之间的关系以及自然界的力的等当性，尚属莱布尼茨知识范围以外的观念，尽管他和同时代的很多人一样，也认为热是物质的终极微粒的一种运动。他甚至还把从克分子运动向分子运动转变的过程形象地比喻为把一枚金币换成零钱。

当然，十七世纪的力守恒学说早已在古代为伊壁鸠鲁及其追随者模糊地提出过，伏尔泰也坚持认为，笛卡尔只不过是复活了一个古老的奇想。牛顿没有把这种学说引入到动力学中。莱布尼茨所抱的蕴涵着确定量力的封闭宇宙的观念，是与牛顿的观点不相容的，牛顿把宇宙设想成一部不时需要神从外部干预的机器。由碰撞定律可知，一个碰撞物体系中的动量不可能是恒常的。与笛卡尔的主张相反，牛顿断言，整个宇宙的总动量不可能是恒常的，但是，需要两条作用原理，第一是使物体运动起来，第二是保持这运动。约翰·伯努利则表示反对说，假若牛顿弄明白了守恒原理的真正意义，他就不会提出两条不同的原理。因为，同一原理既支配运动的传递，也使该运动守恒，而运动其实不是与动量成正比，而是与活劲成正比，因而从这个意义上说，宇宙中永远不可能有运动损失。正如我们所看到的，莱布尼茨赞同这样的见解：宇宙中力的总量不会减少，因为没有物体损失力而又不把等量的力传递给别的物体；并且它也同样也不会有所增加，因为没有一部机器能够不从外部获得等效的推动而就产生力，所以，作为一个整体的世界也不可能这样。

十八世纪的数理物理学家中间，约翰和丹尼尔·伯努利特别注意研究力守恒原理。丹尼尔·伯努利1750年发表的著作是这一时期对于力守恒原理的最重要发展（Mém.de l’Acad.R.des Sc.’Berlin，1748或Ostwald’s Klassiker，No.191）。惠更斯和莱布尼茨考察了均匀引力场的作用所产生的活劲。然而，丹尼尔·伯努利取消了这种对均匀场的限制。他研究了引力中心处于运动之中的情形，例如，在一个按牛顿万有引力定律互相吸引的物体的系统之中。伯努利首先考察了彼此自由靠近的两个物体的系统。他表明，这系统所获得的活劲仅仅取决于这两个物体的最初和最终距离。他进而把他的研究推广到三个物体，最后是任意多个物体的情形；他表明，无论各别物体的路径怎样，这条规律总是适用的。他断言：“自然绝不违背活劲守恒这条伟大定律。”于是，伯努利把这条原理确立为普遍正确的，尽管还加上种种限制，而这些限制仅在分子过程终于得到考虑时才被撤除。他驱散了笼罩在这条原理之上的形而上学迷雾。为了避免任何含混，他宁可把这条原理表述为“实际下降与潜在上升相等”原理，从而把他的观念直接与惠更斯的观念联系起来。

约翰·伯努利在《学术学报》（1735年）上写下如下的话来表达自己的思想：“我们断言，每个活劲都有自己确定的量，并且凡是它的看似消失的部分实际上都在由之产生的结果中重现。由此可见，活劲总是守恒的，所以，在相互作用以前，存在于一个或多个物体中的活劲在这相互作用以后存在于其中某个物体或者该系统之中。这就是我所谓的活劲守恒。”他认为，自然界的这条普遍规律甚至在表面看来有差异的地方也成立。“因为，如果物体不是完全弹性的，那么，活劲就有一部分似乎因没有完全复原所导致的压缩而损失。但是，我们必须假定，这种压缩相当于一根弹簧上的情形：有一个制子阻止它展开，使它没有还出从一个碰撞物体得到的活劲，但把这活劲保存下来，因而力并没有损失。”这在伯努利是一种思维的必然，因为他认为，任何有效的原因——全部或者部分——都不会损失，如果没有产生与这损失等价的结果的话，乃是一条公认的公理。丹尼尔·伯努利1738年在他的《流体动力学》（Hydrodynamica）中也表达了类似的想法。两人接近发现从克分子运动向分子运动的转变以及机械能与热的等当性。这个时期和紧接其后的时期尚缺乏确立这种等当性的精确数据。正如狄德罗正确地指出的那样（Pensées sur l’interpretation de la nature，1754，§45，p.61），直到物理学在实验方面取得了进一步进展之后，人们才认识到了自然力的相关性。

因为活劲守恒原理如此被局限于力学，而且最初并没有被扩展到物理学所有分支，所以，它曾几乎被人们完全忘掉了，甚至康德也未提到这条原理，虽然他论述过估计活劲的方法。在十九世纪，由于确立了较为广泛的“能量守恒”原理，物理学各个不同分支的联系才开始得到明确认识，力学才成为这一切分支的基础。令人惊讶的是，康德在思考宇宙及其形成过程的时候，丝毫没有提到力守恒原理，尽管在他的《自然科学的形而上学基本原理》（Metaphysische Anfangsgründe der Natur wissenschaft）中，他却讲到，物质的总量是不变的。把这条原理从早期它所适用的力学推广到所有其他自然过程，大约是在十九世纪中叶，首先由迈尔、焦耳和赫尔姆霍茨实现的，他们之和丹尼尔·伯努利的关系可以比做哥白尼之和萨莫斯的阿利斯塔克的关系。

早期的力学著作家在确立他们的命题时，常常隐含地利用现在称为“虚速度原理”或（按照科里奥利斯）“虚功原理”的静力学定律。约翰·伯努利在1717年致皮埃尔·瓦里尼翁的信中实际上已提出了它的现代形式（尽管措辞现已过时），该信于1725年发表于后者的《新的力学或静力学》（Nouvelle Mécanique ou Statique）（Tom II，p.174）。伯努利写道：“在一切力的平衡中，不论它们的作用方式如何，不论它们沿什么方向相互作用，也不论直接还是间接地作用，正能量的和将总是等于按正取的负能量的和。”所谓“能”，伯努利指的是一个力与它推动作用点沿其作用线移过的距离的积，即我们所说的这力所做的功。因此，当考虑在任意一组力作用下保持平衡的一个质点或一个广延物体时，伯努利假定该系统有一个小的位移（无论平移还是转动），从而取每个力与它的作用点沿其作用线的位移的积。他称这位移为虚速度，称这个积为能量，计算时取正或负，视作用点移动方向与力的方向相同还是相反而定。他还断言：对于这系统偏离平衡的假想的微小位移，这些正能量与负能量的总和为零。

让-勒-龙·达朗贝的教名取自巴黎的圣让-勒-龙教堂，他是在教堂台阶上被发现的弃婴；他从劳动阶级的养父母家得到达朗贝的姓。他的生身父母似乎属于上流社会，他的父亲还供他上学。他在早年就在数学和哲学上显示了杰出才能，当上了巴黎和柏林科学院的院士。但是，他谢绝了腓特烈大帝和凯瑟琳二世女皇的诱人邀请，终老在法国。

达朗贝发表他的《论动力学》（Traité de la dynamique）（巴黎，1743年）时年仅二十六岁。（德文译注本，可参见Ostwald：Klassiker.No.106。）这本书是力学发展史上的一个里程碑，它包含了像对于物体平衡的虚速度原理那样简单而又基本的一条对于物体运动的原理。达朗贝原理的由来可以追溯到复摆问题。像伯努利父子指出的那样，这种摆显然只不过是一根运动中的杠杆；作用于其上每个质点的力可以分为外力或外加力和质点间内部反作用两类。达朗贝假定，就整个物体而言，内部反作用互相抵消，因而对运动没有任何贡献，而事实上另一组力把运动传递给该系统，使得有效力静态地等当于外力或外加力。作为他的原理的应用的一个范例，达朗贝用一根一端固定、另一端加上各种载荷的梁，它构成一个同样可看作为复摆或运动杠杆的系统。达朗贝似乎这样阐明他的原理：如果把运动传递给每一个由质点或物体相连而构成的系统，而运动由于质点或物体相互连接而有所改变，那么每个系统的合运动可按下述方法求得。把传递给各别质点的运动分解为a，α；b，β；c，γ……这样一对一对的其他运动，以致只要运动a，b，c……传递给这些物体，它们就运动起来而互不影响，而只要运动α，β，γ……外加于该系统，该系统就将保持静止。因此，a，b，c……就将是把相互反作用考虑在内的各别物体的运动。

达朗贝在该书后面部分里对他的原理做了大量应用；并且在他的《论平衡和流体运动》（Traité de l’équilibre et du mouvement des fluides）（巴黎，1744年）中成功地把流体运动同这条原理关联起来。他赞同当时流行的一个见解，即力学原理是可以证明的；但是他所提出的那些所谓的证明只不过是说，所讨论的命题之所以真实，是由于没有充分的根据坚持相反命题。然而，从柏林学院约在那时提出的一个悬赏征答问题可以看出，对力学原理的地位是存有疑问的，那个问题是：“〔力学〕定律是必然真的，抑或仅仅经验地是真确的呢？”达朗贝原理显然把动力学问题与关于平衡的研究以及由此得到的实用知识联系了起来；它绝没有使经验成为多余的。它可以作为简捷地解决问题的一个典范，但是，正如马赫所指出的，它不像对力学过程的真正掌握那样提供很多对它们的洞见。

十八世纪首先部分地加以阐明的一条重要的动力学普遍原理是所谓“最小作用原理”，或更确切地说，“稳定作用原理”。

从十七世纪末开始，所谓等周问题便引起人们重视。这问题就是如何确定某些特定量取极大或极小值的条件的问题。人们发明了一种适用于研究这种问题（例子在别处给出）的技术，它最初用来求得某些包含极大与极小值的静力学问题的可采纳的解。丹尼尔·伯努利渴望把这种方法的应用从静力学推广到动力学（例如，在有心力作用下的运动问题）；他于1741年及翌年写信给欧勒，要欧勒关注这个问题（Fuss：Correspondance mathématique et physique de quelques célébres géométres du 18 éme siécle，vol.Ⅱ）。欧勒的回信现已无存；但他在1743年初显然已找到了某种答案，伯努利为此在当年4月23日曾致函祝贺。欧勒的结果最初于1744年秋发表在他关于变分法的一本书（Methodus inveniendi lineas Curvas，etc.；见Additamentum Ⅱ，De motu projectorum）之中。他考察了在无阻力媒质中，一个质点在有心力作用下运动的简单例子。他表明，对于在两个给定端点间的运动，使 取极小值的条件给出的微分方程，与动力学通常法则给出的轨道微分方程相同。欧勒的方法乃是该原理的一种正确而又精确的形式对最简单情形的应用。然而，与此同时，法国数学家和哲学家P.L.莫雷奥·德·莫泊丢（1698—1759）采取了一条类似的原理，作为他解释光折射定律的基础。莫泊丢是在1744年4月15日（这个日子在欧勒的发现与其发表之间）提交给法兰西科学院的一篇论文（Accord de différentes loix de la Nature）中提出他的理论的，该论文刊载于当年的《论文汇编》（Recueil）。莫泊丢在这篇论文中综述了关于斯涅耳折射定律的各种已有解释。他认为，根据一条普遍原理来解释这条定律，也许最好不过了。这条原理是：主宰宇宙的上帝总是选择最简单的手段来达到其目的。古代的光学家就已认识到，一条光线因直线行进而用最短可能时间到达其目标。人们还已认识到，光反射定律也包含这条原理，因为从一给定点向另一给定点行进中途被一片给定平面镜反射的一条光线，当入射角等于反射角时，走过的距离最短。十七世纪时，法国数学家费尔玛表明，关于一条光线在两种不同媒质边界处的“斯涅耳折射定律”直接得自这样的假设：光线在从第一种媒质中的一个给定点向第二种媒质中的一个给定点行进时走最短时间的路径。但是，费尔玛的推演中包含着一个推论：光线在疏媒质中比在密媒质中传播得快。这是与莫泊丢所遵循的当时盛行的折射理论相矛盾的。因此，莫泊丢拒斥费尔玛的解释。但是，他表明，一条光线从一种媒质中的A点向另一种媒质中的B点的行进仍可认为是沿最小作用的路径，倘若这种作用通过把光线在每种媒质中行过的距离乘以光在其中的速度来度量的话。这就是说，莫泊丢认为 是一极小值，他由此推出 而费尔玛则认为 是极小值，并推出 如此，两个光速之光与莫泊丢得到的互为倒数。两年以后，即1746年，莫泊丢向柏林的皇家科学院（当时他是该院院长）提交了一篇论文，题为《运动规律研究》（Recherche des Loix du Mouvement）。他在文中这样阐明他的Principe de la moindre quantité d’action〔最小作用量原理〕：“每当自然界中发生什么变化时，为此变化所使用的作用量总是最小可能的”，同时一个物体运动中所包含的作用与质量、速度和行过的距离均成正比。这样，这条原理被推广而成为一条普遍的自然规律。莫泊丢宣称，力学的一切其他法则均可由之推出。但是，在证明中（或者确切地说在插图中）提出的进一步讨论只不过是从该原理推演出关于弹性体的与非弹性体的碰撞的一些已知定律。实际上，在莫泊丢那里，欧勒的原理所得到的普遍性是以损失严格性为代价的。不久，达尔西爵士便指出，莫泊丢在对他的原理的一些应用中使之最小化的“作用”在每种场合量上并不相等，而且可以举出一些自然过程，其中包含的作用是极大值（Mém.de l ’Acad. ，Paris，1749和1752）。对莫泊丢的另一攻击来自塞缪尔·柯尼希，起因于他为莱布尼茨争夺发现这条原理的优先权。这导致了一场激烈论争，伏尔泰也被卷入。拉格朗日在早期的变分法研究中，已大大推广最小作用原理的力学应用，并使它解脱了同目的论的联系（Misc.Taur. ，II，1760—1）。按照十八世纪末的定义，一个质量为m的质点从一给定点沿其路径向另一给定点的运动中所包含的作用是它的动量的空间积分∫mvds，这个空间积分等当于活劲的时间积分即 。更一般地，一个动力学系统在从一给定位形变为另一给定位形中的作用被定义为它的各质点的作用的和 或 。“稳定作用原理”是说，一个保守系通过任意两个给定位形的自由运动；乃由它从第一位形过渡到第二位形的过程中，作用相对于假设的微小变化的一个稳定值来表征。像拉格朗日所认为的那样，这条原理仍为含混不清所累，因而他很少运用它。但是，及至十九世纪，在哈密尔顿和雅各比那里，它得到了澄清，并有了重大发展。作用在二十世纪物理学中终于起到了带根本性的重要作用。它是一种绝对的量，独立于任何特定观察者对时空连续区进行分析的方式。作用的原子性的发现则成为“量子论”的基础。

（参见 A.Mayer：Geschichte des Princips der Kleinsten Action，Leipzig，1877。）

欧勒在动力学中引入了关于刚体绕一定点或其质心运动的一些重要的一般方程，它们至今仍以他命名（Mém.de l’Acad.R.des.Sc. ，Berlin，1758，XIV，p.165）。欧勒方程导致发现并部分地解释因地球自转轴绕其图形轴运动而造成的纬度变化（上引著作，p.194ff.）。欧勒还建立了流体运动的基本方程（上引著作，Vol.Ⅺ）。

一直等到拉格朗日才来把理论力学形成一个系统，并通过把虚速度原理和达朗贝原理相结合，导出描述任何物体系运动的力学基本方程。这些重要结果是拉格朗日在他的杰作《分析力学》（Mécanique analy tique）（巴黎，1788年）中提出来的。该书为现代力学奠定了基础，它在力学史上的地位仅次于牛顿的《原理》。这两部著作有一个根本的不同之点，即牛顿借助于图形，纯粹几何地即综合地导出他的结果，而拉格朗日则不用图形，完全以分析方式来处理问题。他效法欧勒进行这种分析的处理，并努力求出最概括的公式，使尽可能多的特例都能用同一种方法加以解决。正是在这个意义上，马赫把拉格朗日的工作誉为对思维经济的最伟大贡献之一。

在静力学方面，拉格朗日从虚位移原理推导出了任一给定力系平衡的一般公式。设力 作用于一个相连的质点系，沿各力方向的相应虚位移为 那么，如果 ，或更简短地，∑Pp=0，则该体系处于平衡。这是静力学的基本方程。若质点以直角坐标轴为参照，且每个力和位移都分解为与这些轴平行的分量，那么，这方程变成： 式中X，Y和Z是作用在一个典型质点上的力的三个分量，dx，dy和dz是这质点的虚位移的三个分量。

结合达朗贝原理，从虚位移原理推导相应的动力学公式，是按如下方式进行的。考虑一个质点系，它们的质量为 它们的坐标为 ，等等。设作用在各质点的力的分量为 ，等等。用每个质点的质量——加速度量度的有效力为 其他质点亦复如此。根据达朗贝原理，这些有效力静态地等当于外加力，所以，按照虚位移原理，我们有 或 拉格朗日接着推导出更一般的动力学方程，它们把一个系的动能和势能同定义该系位形的“广义坐标”及其导数联系了起来。

分析力学的各个基本公式并没有给我们提供关于机械过程本性的任何新信息；它们只是在人们已熟知的一些原理之上建立的。不过，它们提供了用标准方法分析地处理各种特殊情形的手段。不然的话，这些特殊情形就不得不逐个予以考查。拉格朗日在这领域的工作的完善有待于微积分的进一步发展。十九世纪，由于高斯、泊松、哈密尔顿和赫尔姆霍茨等人的努力，这工作才得以完成。

关于拉格朗日在数理天文学方面的贡献，放在第八章里讨论。