三、画法几何

十八世纪在纯粹数学方面的最大进展几乎全都集中在分析领域。然而，在这个世纪末，几何学上出现了一个显著进展。这就是画法几何的创立，它的特征问题是给出立体图形的平面表示和从这样得到的平面图精确地重新绘制原始立体图形。

平面图和正视图的应用同建筑术一样古老。帕皮里表明，埃及人为了建筑的需要绘制了这样的平面图，维特鲁维乌斯在他写于奥古斯都时代的《论建筑》（on Architecture）一书中，论述了古罗马建筑师如何绘制这种平面图。如此形成的这种技术直接产生于建筑实践的需要，并且它的进一步发展也不是研究的产物，而是中世纪建筑师工场的产物。那个时期令人赞叹的建筑业绩，只有解决了像拱形作图中产生的一些特殊画法几何问题才能作出。当然，许多必要的作图方法都肯定是凭经验发现和加以应用的，而对它们的正确性没有作任何数学的证明。例如，在很多十六和十七世纪的教科书里，可以明显看到这一点。它们给出了重要的建筑作图法，但丝毫也没有试图进行证明。画家自然也对在平面上正确表示立体图形的技术极感兴趣。因此，无怪乎德国第一本关于这门学科的书是大画家阿尔布雷希特·丢勒写的，虽然他之前已有一些前驱，包括意大利人弗朗切斯基，他大约在1480年就已经对这门学科作了系统的阐述。1525年问世的丢勒的书的重要性与其说在于说明了作图法，倒不如说在于它坚持认为，一幅画的透视基准应当由数学规则给出，不要像当时惯常做法那样随手绘制，因为这必然带来严重误差。所以，丢勒是这门透视科学的倡导者之一。但是，把许多世纪积累起来的成果加以补充并把它们建立在严格论证的基础之上，从而把这门技术系统化为数学的一个分支的工作，是法国数学家加斯帕尔·蒙日完成的。蒙日的生涯清楚地反映了法国大革命时代的状况。

加斯帕尔·蒙日（1746—1818）出身贫寒，生于法国勃艮第的博内。他的父亲节衣缩食供养几个儿子受科学教育。蒙日在十六岁时就在里昂大学教授物理学。由于为故乡绘制了详图，他获准进入在梅齐埃尔的军事工程学院。在那里，他创造性地用几何方法取代过去在绘制防御工事详图时采用的烦琐算术方法；大约在1770年，他由此得出了他的画法几何的一些基本原理。蒙日在梅齐埃尔晋升为教授，后来到了巴黎。大革命时期他曾身居高位，被委任为大炮制造总监。然而，在“恐怖时期”，他遭受贬斥，遂亡命海外。在重返法国后，又重执教鞭，直到与贝尔托莱一起参加拿破仑的埃及远征。蒙日作为高等理工学校的教授，在帝国时代达到了其荣誉的顶峰。但在波旁王朝复辟后，他失去了地位以及拿破仑授予他的种种荣誉。不久他就死去了。

由于和梅齐埃尔权威们意见不合，蒙日把他关于画法几何的发现搁置了许多年。他关于这方面的论述，最先于1795年发表在《师范学校学报》（Journal des Écoles Nornales）上，第二次于1798年发表在他的《画法几何》（Géométrie descriptive）里。（参见奥斯特瓦尔德的Klassiker，No.117。）

按蒙日的意见，射影几何研究的问题有两个方面。一方面，必须把三维图形归约为能在画图纸上表示的二维图形；另一方面，必须把如此描绘的立体图形的形状和构形所引起的那些关系全部从这画推导出来。为了解决这个问题，蒙日采用的射影法是从这样的假说出发的：空间中一点的位置可以用数学加以定义，如果给定它在两个互相垂直平面上的射影的话。这里所谓一个点在一平面上的射影，是指从该点向该平面画的垂线的垂足。蒙日的射影方法非常明白，尤其因为他设想，垂直射影平面应绕其与水平射影平面的交线旋转，直到它与后者叠合。这样，垂直射影就与水平射影并排位于同一张纸上；这两个图形被这两个平面的原始交线分开；任一给定点的两个射影就落在与这交线垂直的同一条直线上；任一平面由它与两个射影平面相交的两条交线唯一地确定；并且，这两条交线与两个射影平面的交线相交在同一点。蒙日研究的情形包括平面、曲面和一些较重要的立体以及它们的交的形状与大小。蒙日的画法几何很快就在建筑、工程等等领域得到了大量技术应用。在十九世纪，由于与彭色列和斯坦纳的综合几何建立了更紧密的联系，画法几何取得了进一步的理论发展。

蒙日对数学的其他贡献主要在于曲面的微分几何。他是一个鼓舞人的教师，对法国和其他地方的技术教育产生了深远的影响。

（参见 F.Cajori：A History of Mathematics，New York，1919；D.E.Smith：History of Mathematics，Boston，1923，1925和A Source Book in Mathematics，New York，1929；W.W.Rouse Ball，A Short Account of The History of Mathematics，London，1908。）

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[1] 主要有Johann Bernoulli：Acta Erudit. ，Leipzig，June 1696，pp.269ff.；Jacob Bernoulli：Acta Erudit. ，Leipzig，May，1697，pp．211ff.；Euler：Methodus Inveniendi lineas，etc.（下面要提到）；Lagrange：Miscellanea Taurinensia，Tom.II，1762，pp.173ff.，和Tom.IV，1770，pp.163ff.；Legendre：Mém.de L’Acad.Roy des Sci. ，Paris，1786，pp.7ff.。

[2] 可能指哈雷。