二、流数和英国数学家

在牛顿发表他的流数法后的那些年里，英国数学家们普遍对流数本质的认识还很模糊。普遍的倾向是把流数和莱布尼茨的微分相混淆，并认为它们是无穷小量，尽管这并没有妨碍流数概念的自由运用。因此，流数法的逻辑基础的探讨仍是一个悬而未决的问题；贝克莱主教正是充分利用了这一机会。

在《分析学家：或致一个不信教数学家的讲道》（The Analyst：or，a Discourse addressed to an Infidel Mathematican ^[2] ）（1734年）之中，贝克莱主教对就一个给定变量求一个表式之流数的下述基本方法提出质疑：先赋予这个变量以一增量，然后又使该增量消失，从而给出所求之流数。他写道：“可以看出这推理不清楚，也不确定。因为，当我们说令增量消失，也即令增量为无，或者令没有增量时，就已把开始时作的增量是某种东西或有增量存在的假设推翻了，然而，该假设的一个推论即据其而得到的一个表式却被保留了下来”（§13）。“再也明白不过的是，从两个互相矛盾的假设，不可能得出任何合理的结论”（§15）。“那么，这些流数是什么呢？是渐趋于零的增量的速度。那么，这些渐趋于零的增量又是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道我们不可以称它们是已逝去的量的幽灵吗？”（§35）这本小册子的末尾是六十七个“疑问”。

詹姆斯·朱林，曾是牛顿的学生。他写作了《剑桥爱真》（Philalethes Cantabriginesis），捍卫流数学说，呼吁贝克莱主教回到牛顿的原著上去，那里没有牛顿追随者们所用的许多逻辑上有懈可击的表式。贝克莱的另一个反对者是都柏林的约翰·沃尔顿。贝克莱在回击时嘲讽了牛顿在思想发展过程中于不同时候作的陈述之间发生的一些前后矛盾。朱林和沃尔顿加以反驳。后来，卷入这场论战的人越来越多。贝克莱是否完全严肃，尚属疑问。德·摩尔根认为，“只有知道该如何回答它的人，才能写出《分析学家》这本小册子。”

本杰明·罗宾斯由于受到《分析学家》一书引起的论战的激发，在1735年写了一本关于流数的书。该书全部论述乃基于这样的极限概念之上：一变量能以任意近似度逼近它，但实际上永远也不达到它。这排除了许多逻辑困难，但它的缺点是，这种变化在科学上很少应用价值，因为自然界中出现的速度、位移等等的极限值通常在有限时间内就达到了。罗宾斯的观点正因为这一点而遭到了朱林的批评，并且，以朱林为一方，罗宾斯、亨利·彭伯顿为另一方，在《文学界》（Republic of Letters）（1735—37）杂志上展开了又一场激烈的论战。这场争论很快就把其他一切问题挤出这杂志，使其变成它的一个附录。

这些论战有助于澄清极限概念，并且逐渐地导致计算时可以忽略不计的无穷小量的概念。它们也有助于推动应用牛顿流数法所能在数学上取得的进步。英国数学家继续同莱布尼茨的争论，几乎以坚持这种方法引为自豪。早些时候，布鲁克·泰勒（1685—1731）已在他的《增量法及其逆》（Methodus incrementorum directa et inversa）（1715年）中，对纯粹流数理论及其物理学应用两方面都作了重要贡献。这本书遵循牛顿对流数的成熟解释。它包括现今所称的“泰勒定理”，虽然所附的一个证明并不充分，但还把这定理应用于物理学和方程论。泰勒对各种各样问题，诸如紧张弦的振动和光线穿过地球大气的路径问题作了数学处理。他是差分演算的奠基者。

托马斯·辛普森（1710—61）是一个自修成才的天才数学家。他在《流数新论》（New Jreatise of Fluxions）（1737年）中，设法不用无穷小量而构造了一个流数理论。他以娴熟的技巧把流数应用到范围广泛的物理学和天文学问题。

然而，在牛顿之后，十八世纪最伟大的流数著作家是苏格兰数学家科林·马克劳林（1699—1746）。他的巨著《流数论》（Treatise of Fluxions）（爱丁堡，1742年）是第一部并且在很长时间内也是唯一严格而又完整地概述了数学这一分支的著作。拉格朗日认为它可以与阿基米德的杰作相媲美。马克劳林拒斥无穷和无穷小量的概念，并企图从普遍的公理出发推演出这门学科的各条原理，以便与古代人的严格性相匹。马克劳林在用流数对物理学与天文学问题作纯粹几何处理上显示了高超的技巧。这给他采用的那些综合方法带来新的生机。马克劳林还使得圆锥曲线和高阶平面曲线的纯粹几何学取得了显著进步，成为研究垂足曲线的先驱。

继马克劳林的工作之后，出现了严格性一度下降的倾向，其证据是倾向于把牛顿的粗劣记法和莱布尼茨的粗劣概念相结合。于是，把大陆分析学家的优美记法和在十八世纪英国发展起来的宝贵的极限概念结合起来，去除从一开始就笼罩着流数理论的那种几何学和力学的比喻，这个任务就留给了从罗伯特·伍德豪斯开始的十九世纪数学家。

（参见 F.Cajori：A History of the Conceptions of limits and Fluxions in Great Britain from Newton to Woodhouse. Chicago and London，1919。）