一、微积分、概率及其他

伯努利家族源于一个到瑞士寻求宗教自由的荷兰新教家庭。在这个产生了众多数学家的伯努利家族中，最年长也是最杰出者之一是雅各布·伯努利（1654—1705），他的工作对十七世纪和十八世纪的数学起着承前启后的作用。他出生于巴塞尔，在那儿度过了一生中的大部分时间。1687年，他在巴塞尔大学就任数学教授。雅各布·伯努利对数学的主要贡献在于系统化了和倡导了莱布尼茨的微积分，以及把莱布尼茨的微积分应用到微分几何和物理问题。他还是建立概率演算的先驱。他的兄弟约翰·伯努利1667—1748）继他之后任巴塞尔大学教授，约翰的兴趣扩展到化学和医学；但他在数学史上的声誉，主要在于对极大和极小问题的解决和探索，以及解析三角学的建立。约翰的次子丹尼尔·伯努利（1700—82）先在圣彼得堡当数学教授，后来回到巴塞尔历任几个教授职位。他最大的贡献在于数理物理学（特别是流体动力学）和概率问题。伯努利家族的天才一直延续到第三代；但只有雅各布、约翰和丹尼尔属于第一流数学家。

把莱布尼茨所发现的方法加以推广，以便建立正规的积分学的工作是由两个老伯努利即雅各布和约翰完成的。正是由于他们的著作，莱布尼茨的无穷小方法才得以在大陆数学家中间迅速确立起来。

约翰·伯努利把他的一些积分法讲稿整理成《积分法数学讲义》（Lectiones mathematicae de methodo integralium）（写于1691—92年，1742年出版，用德文编入奥斯特瓦尔德的Klassiker，No.194）。在一些一般性的论述之后，伯努利先从曲面求积、曲线求长和微分方程求解等着手。接着，他转到力学和物理学问题，如（特席尔恩豪斯首先深入研究的）焦散线、等时降落轨迹和悬链线等问题；但是，这方面的计算可能性，是丹尼尔·伯努利首先深入探究的。

（为某些读者着想，对上面所提到的各种曲线和将要涉及的别的曲线作些解释并加以图示。也许是合宜的。悬链线是一条均匀链在重力作用下自由悬垂而形成的曲线。

焦散线是一个点（P）发出的光线在凹球面镜的轴向截面（AB）反射而形成的曲线。

摆线是当一个圆在一固定直线（AB）上滚动时，其圆周上一点（P）所生成的曲线。

等时降落轨迹是这样的曲线：一质点沿着它从静止开始下滑，在重力作用下，不管从它上面什么位置开始运动，这质点到达某终点所用时间总是相等。这种曲线已经证明是带有水平基线的摆线。最速落径是下降最快的曲线，即一质点在重力作用下沿它下滑而在最短可能时间里通过的曲线。这曲线也是摆线。）

约翰·伯努利另一部关于微分学的著作，很长时间里一直被认为已经佚失，但后来在巴塞尔大学图书馆里发现了手稿（参见奥斯特瓦尔德的Klassiker，No.211）。现在看来，这本小册子构成了这一时期相当著名的一本著作的基础，这就是洛皮塔尔的《无穷小分析》（Analyse des infiniment Petits）（巴黎，1696年）。这本书像伯努利的论文一样，也论述初等微分、极大和极小问题，但还论述了对焦散线、包络及方程论等等的一些附加应用。

约翰·伯努利还在使三角学成为分析的一个分支方面做了许多工作。他在这方面的工作由定居在英国的法国数学家亚拉伯罕·德莫瓦夫尔（1667—1754）加以补充的。后者主要作为三角学中的“德莫瓦夫尔定理”的发现者而名垂青史，并且还由于他对概率论的重要贡献而为统计学家们所崇敬。他在解析三角学方面的工作汇总在他的《分析综论》（Miscellanea Analytia，伦敦，1730年）之中。

雅各布·伯努利特别注意无穷级数。〔他关于这个问题的《论文集》（Memoirs）的带评注的德译本见奥斯特瓦尔德的Klassiker，No.171，这是他于1689—1704年间在巴塞尔发表的五篇论文的结集。〕这主要是因为级数常常能为积分中的问题的求解提供工具。正因为这样，微积分的先驱者们早已考虑过将一般函数展开成无穷级数的问题。例如，沃利斯曾把双曲线和它的渐近线之间的面积表示成无穷级数，并且在他的著作中已经出现逐次数平方倒数的级数：

然而，首先求得这级数之和的是欧勒。最早用级数展开法求积分的人之一是尼古劳斯·麦卡托（1640？—1687），他是在对等轴双曲线求积分时这样做的，他想藉此证明他独立发现的对数级数（1668年）。莱布尼茨也通过求一些无穷级数的和而得到π的估值。牛顿用无穷级数的形式阐明了对于一般情形的二项式定理。雅各布·伯努利通过对无穷级数的研究，得以用这种级数表示弹性曲线坐标间的关系，以及求抛物线、对数曲线和其他曲线的长度，我们这里主要感兴趣的是它促进了应用数学的发展。欧勒特别注意无穷级数理论，但是，像他的同时代人一样，他也常常用一些不一定收敛的无穷级数。无穷级数的严格理论是在十九世纪由高斯、柯西和阿贝尔等人开始建立的。

概率演算是纯粹数学又一个具有重要科学意义的分支，雅各布·伯努利对之作出了有价值的贡献。他对组合理论和概率论发生兴趣，大约是从1680年开始的，后来他收集了他自己的和惠更斯在这两方面的研究成果，写成他的巨著《猜测的艺术》（Ars Conjectandi）（巴塞尔，1713年，见奥斯特瓦尔特的Klassiker，Nos.107，108。）

伯努利的前辈中，巴斯卡和费尔玛是建立数学概率理论的两个主要先驱者。这理论现在在自然科学和生物科学中都有着重要的应用。最初的缘起是为了解决在未结束的赌博中，赌徒们如何合理分配赌注的问题。巴斯卡在1654年就这个问题请教过费尔玛。两人虽然用了不同的方法，但却得到了相同的结果。从这个简单的原始问题出发，巴斯卡进而考虑了其他比较复杂的和一般性的问题。在相关组合理论中，巴斯卡给出了求从n个东西中一次取r个的可能组合数目的正确规则。（参见他死后出版的Traité du triangle arithmétique，1665）巴斯卡的方法是构造一个两条边由n个1组成的“算术三角形”，其他每个数乃由它正上方的数和左方紧邻的数相加而逐次得到的。第r行中的诸数的和即给出n个东西中一次取r个的可能组合的数目。例如，令n＝6，r=3。可得到所求的“算术三角形”如下：

算术三角形中第3行诸数是1，3，6，10，它们的和是20。对于n和r的其他值，情形亦复如此。

伯努利的书分为四部分，实际上包括了现在仍然沿用的那种形式的组合论的全部标准结果。然而，这本书的最重要的部分是第四即最后部分。在这部分里，伯努利研讨把概率演算应用于“民事、道德和经济场合”的问题。这开辟了通往数学这些分支的崭新途径，因此，尤为令人遗憾的是，这部分没能最后完成。

概率被定义为区别于绝对必然的必然程度，就像部分区别于整体一样。假如用a或1标示的绝对必然其中由5个择一概率构成，三个有利于某事件发生，两个不利于其发生，那么，该事件具有的必然程度为 或 。验前和后验概率彼此是有区别的，这项研究导致亦称为“大数定律”的伯努利定理。这条定理处理的问题是：通过增加观察次数或者个别事例的不断累积，概率的估值是否得到这样的改良：有利与不利场合的比例最终能用真比例表达。伯努利用公式表达这个问题，并且凭借数学论证对之作了肯定的回答。他机敏地注意到，这问题可以说具有渐近线，这是由于，无论观察次数怎样增加，也不可能超过一定的概率度，因为有利与不利场合的真比例业已得到。例如，伯努利考察了一个盖着的罐子，而我们不知道有人已在里面放入3000个白石子和2000个黑石子。每次拿出一个石子，然后再把它放回去，反复这样做。这样，可以确定，随着次数的增加，取出白石子与黑石子的比例将以愈来愈大的概率，最后必然近似地取值 。伯努利坚认，我们因而不得不承认，一切事件的出现都蕴涵着某种必然性。因为，如果我们永无穷尽地观察事件，或然最终将会成为完全必然。因此，他认为，甚至在一些表面看来纯属偶然的事件中也包含必然性，从而应当断定，世界万物的发生肯定是有规可循的。

概率论进一步的系统化是在十九世纪由拉普拉斯和高斯作出的，它现已在科学的许多分支中，例如生物统计学和气体动力学理论中起着重要作用。

老一辈伯努利再次把数学家们注意力引向在物理学中有着重要意义的极大和极小问题。通过处理所谓等周问题，伯努利为欧勒、拉格朗日、勒让德和其他人后来建立变分法奠定了基础。（关于这门学科迄至1837年的主要文献带评注的德译文 ^[1] ，见奥斯特瓦尔德的Klassiker，Nos，46和47。）

所谓等周问题（广义上），原先是处理满足一定最大和最小条件的曲线。最古老的这类问题是，求具有一给定周长的所有曲线中哪一条围成的面积最大。古人已经知道，所求的这条曲线是圆（Pappus：Synagoge，V，2）。约翰·伯努利研究的第一个等周问题系关于最速落径即最速下降曲线的问题。关于这个问题，他是这样表述的：“处于距地面不同高度之上，并且不在同一垂直线上的两个给定点，现需用一条曲线把它们连接起来，而沿这条曲线，一个可动物体从其上端点在自重作用下将在最短可能时间里降落到其下端点。”在他自己解决了这个问题之后，约翰按照当时的习惯“向全世界最聪明的数学家们”提出了挑战，要他们也来解这个问题。牛顿在获悉这个消息的第二天，就给一个朋友寄去了这问题的一个正确解。莱布尼茨、雅各布·伯努利和洛皮塔尔也解出了所求的这条曲线是摆线。这结果更是令人惊讶，因为惠更斯早已认识到的，当一个质点沿摆线路径降落时，不论其起点怎样，它到达摆线最低点所花时间总是相同的。因此，他称这曲线为等时降落轨迹。所以，正如雅各布·伯努利在发表其解时所指出的那样，已经为这么多数学家研究过的曲线，关于它似乎不可能再有什么发现了，可是，它却突然展现了一个崭新的性质。雅各布·伯努利用他的解提出一个更为复杂的等周问题，企图作为对约翰的反挑战，结果在两兄弟之间引起了一场不合宜的论战。

利昂纳德·欧勒（1707—83）是伯努利家族的一国同胞。在约翰·伯努利的教导下，欧勒开始了他与约翰的儿子丹尼尔亲密合作的漫长的发现生涯。由于丹尼尔的推荐，在20岁上他应召到了圣彼得堡学院，最后成为那里的数学教授。俄国数学家感到惊奇的是，预计需要花几个月时间编制的一些天文图表，他只用了三天就计算出来了。可是，由于这样艰辛地工作，加上气候恶劣，欧勒损伤了一只眼睛的视力。1741年，腓特烈大帝邀请他到柏林的普鲁士科学院。他在那里的皇宫里住了二十五年，以前无古人的活力进行数学的改造工作。在科学院的学报上，他发表了121篇论文，其中有一些篇幅相当长（莫泊丢死后，便由他负责主管该科学院的数学工作。除了45卷单独论文集而外，欧勒一生发表的全部论文估计约有700篇）。1766年，他返回圣彼得堡。不久他双目完全失明，但是直到他死去那一天，他仍一直在进行数学研究。欧勒的兴趣和研究广及数学的几乎每一个分支，但是他最擅长的是他大力使其系统化的分析和一些可认为是他所创立的分支。

继伯努利家族研究等周问题之后，欧勒创立了作为高等分析的一个独立分支的变分法。当约翰·伯努利表示已无希望找到解等周问题的一般方法时，欧勒在他题为《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的技巧，或所提出的等周问题解逐渐被人接受》（Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti）（洛桑和日内瓦，1744年；见奥斯特瓦尔德的Klassiker，No.46）的书中，开始朝发展一种“寻求具有某种极大或极小性质的曲线方法”前进了几步。在包含许多有趣而又有说服力的例子的这本书里，欧勒采用的方法本质上是几何的，因而这些比较简单的问题的论述非常明白易懂。欧勒用下面的话来解释分析的这个分支的范围：“变分法是求一个包含任意多个变量的表达式，在这些变量中的一些或全部变化时，所经历的变差的方法。”在《变分法》（Methodus inveniendi）一书的一篇补录里，欧勒详尽地解释了这种方法对于解决物理问题的重要意义。他坚信，自然界发生的事物没有不与某个量的极大值或极小值有关的。因此，解任一给定物理问题的两种独立方法表明一种是直接的，另一种是间接的，而两者又倾向于彼此验证，这样，就更加坚信解的正确性。例如，在确定两端悬挂的一根绳子的曲率时，可以通过考虑绳子本身所受重力作用来直接地解这问题，也可以用极大和极小的方法，确定绳子为使其重心高度尽可能低而必须取的形状来间接地解。两种方法得出同样的曲线——悬链线。

除了促成创立变分法而外，欧勒还对数学当时已有的每一分支都作出了宝贵贡献。他完成了维塔未竟的工作，使代数成为一种“国际数学速记法”（Tropfke）。在他的《无穷小分析导论》（Introductio in analysin infinitorum）（1748年）里，欧勒进一步使三角学成为分析的一个分支，用对数定义为指数，并且对用一般二次方程所定义的曲线作了广泛的讨论。这样，他发展了解析几何，而同时他又把这门高等分析从束缚其发展的几何学羁绊中解放出来，使它成为数学的一个独立分支。他的《原理》（Institutiones）（1755，1768年）总结了当时已有的微积分知识。欧勒最先明确地构想数学函数概念，他在《导论》的前几章中论述了这概念。它已被恰当地看做现代数学的一切创造中最基本的一个。

欧勒给一个变量的数学函数下的定义是：“用该变量以及数或常量以任何方式形成的一个解析式”（Functio quantitatis Variabilis est expressio analytica quomo do cunque Composita ex illa quntitate variabili et numeris seu quntitatibus Constantibus.-Introductio，I，i，4）。他举了单变量z的函数的一些例子： ，等等，式中a，b，c代表常量。后来他又考虑了多于一个独立变量的函数，当一个函数是“代数的”（algebraic），乃由对它的变量和常量仅作代数运算，即加、减、乘、除、乘方和开方而构成时，他称之为代数函数。变量的对数函数或三角函数以及包含变量作为指数的函数归类为超越函数。代数函数又分为有理的或无理的，视它们没有还是包含变量的根而定。它们分为整的或分的，视变量是只出现在分子上还是出现在分母上或带负指数而定。欧勒还进一步区分了单值函数，即当变量值确定时，函数取一个确定值，以及多值函数，即对于变量的每个值，函数具有几个或无限多个可能值。

欧勒使今天已成为天文学计算的必要工具的球面三角学发生了革命。在他关于这方面的第一篇论文（1753年，见奥斯特瓦尔德的Klassiker，No.73）中，他致力于从微积分的规则推导出球面三角学的一些重要定理，表明用各种不同方法达到同一些真理总是有益的，因为这样可获得新的观点。而像在一切其他场合里一样，假如想十分一般地解一个问题，这里就必须用这些新方法。在欧勒以前，处理三角问题所用的方法只适用于平面和球面三角形。他认识到，如果想研究可在一任意曲面（例如，劈锥曲面或椭球面）上，用完全处于其上的三条最短可能线把其上三点连结起来而构成的那些三角形的性质，那么这样产生的问题只能用高等数学手段来解。如果记得大地测量我们不是在球面上而是像欧勒指出的，必须在椭球面上进行，那就可以看出，把三角学建立在这种一般概念基础之上，是十分重要的。当为了三角测量而选择的三角形很大时，就必须考虑这个事实。欧勒在第一篇论文中，只导出了对于球面的公式，而在后来的一篇论文中，他进而考虑了高次曲面的三角学。他指出，平面三角学可以从球面三角学推导出来，假若球面半径的长度趋向于无穷大的话。现今球面三角学中使用的许多公式都应归功于欧勒。他引入了用字母a，b，c代表三角形各边，用A，B，C代表三个对角这种方便的标示方法，由此使公式更易于理解，并促进发现新的关系。欧勒还引入或确立了一些常用的数学符号。例如，他用e标示自然对数的底，用i标示 。

欧勒作为柏林学院数学负责人的继承者是约瑟夫·路易·拉格朗日（1736—1813）。拉格朗日是那个时代最伟大的数学家。他是法国血统，出生在都灵。在那里，他十九岁就当上了炮兵学校的数学讲师，并且把他最早的研究成果发表在他自己创办的一个学会的学报上。在还很年轻时，拉格朗日就已经与欧勒和达朗贝通信，还由于一篇关于月球天平动研究的论文而获得法兰西学院的奖金。他很快就被公认是最伟大的在世数学家，并于1766年接替了欧勒在柏林的职位。他一直在柏林工作，直到他的赞助人腓特烈大帝死去（1786年），遂移居巴黎。他在那里度过了大革命时期，在高等理工学校（Ecole Polytechnique）讲学，并帮助建立新的度量衡制。像腓特烈一样，拿破仑也始终是一个科学的慷慨赞助人，他给予拉格朗日以很高的荣誉。拉格朗日不顾身体衰弱和性情忧郁，坚持不懈地撰写具有重要价值的论文，几乎涉及纯粹数学和应用数学的每一分支。他在力学方面的研究成果，汇集在他的杰作《分析力学》（Mécanique analytique）之中。

变分法发展的新阶段是从拉格朗日开始的。他用分析的处理方法取代伯努利家族和欧勒在这个领域里所采用的几何方法。拉格朗日使微分学和积分学建立起更紧密的联系，并研究了表示被积界限的微小变化的效应。他关于这个问题的奠基性论文发表于1762年，1770年又写了一篇论文作为补充；并且在1788年发表的《分析力学》中指出了进一步的改进。拉格朗日在1762年的论文中给出了下述问题的一个一般解：设某个函数Z包含变量x，y，z及其导数，现要求找出，为使∫Z取最大值或最小值，这些变量之间必须满足的关系。为了举例说明他的方法，拉格朗日考虑了最速落径问题，而后者曾是整个系列研究的出发点，但他比前人更为一般地处理了它。

拉格朗日作为研究者还尽了最大努力去完成欧勒的任务，即在纯粹数学和应用数学的所有分支里，都用分析去代替前几个世纪的综合方法。他对纯粹数学所作的贡献突出体现在方程论（特别是不定方程）、微分方程、解析几何和数论等领域。他解决了求出二元二次不定方程的全部解这个古老问题（1768年）。费尔玛曾声称已解决了这个问题，但他没有公布他的方法。拉格朗日与欧勒一起创立了偏微分方程理论。1772年，他发表了关于一阶偏微分方程的积分的研究成果（见奥斯特瓦尔德的Klassiker，No.113），七年以后，他又得出了对任意多变量的线性偏微分方程积分的一般方法。

对变分法的进一步重要贡献，是勒让德（1786年）和雅各比（1837年）作出的。勒让德表明了如何区分极大与极小。

阿德里安·玛里·勒让德（1752—1833）起了在十八世纪和十九世纪之间承前启后的作用。他先后在军事学校和巴黎师范学校任数学教授，还担任过一些政府公职。但是，他的生涯因拉普拉斯敌视而受到了打击。然而，拉普拉斯偶尔却不加声明就利用他的一些成果。勒让德擅长数学一些技术性最强的分支，如数论、三角调和函数（由拉普拉斯加以一般化）和由他加以系统化的椭圆函数。在力学方面，勒让德研究了椭球对外部质点的吸引问题；此外，在“误差”数学理论上具有极端重要意义的最小二乘方法，基本上也应归功于他。