命题XXXII 问题XIII

求月球的交点的平均运动。

平均年运动是在一年中的所有平均小时运动的和。设想交点在N，且由于每一小时的运动已完成，它被拉回到原来的位置，使得尽管有它自身的正常运动，相对于恒星它总被保持在某一给定的位置。在此期间太阳S，由于地球的运动，太阳从交点前进且以均匀的运动完成其视年路径。此外，设Aa为给定的极短的弧，总向太阳引直线TS，它与圆NAn的相交部分在给定的极短的时间画出弧Aa：则平均小时运动（由已显示的）如同AZq，亦即（由于AZ，ZY成比例）如同AZ和ZY之下的矩形，这就是，如同面积AZYa。从开始所有平均小时运动的和，如同所有面积aYZA的和，亦即，如同面积NAZ。但是最大的［面积］AZYa等于弧Aa和圆的半径之下的矩形；且所以在整个圆中所有矩形的和比同样数目的最大的矩形的和，如同整个圆的面积比整个圆的圆周和半径之下的矩形，亦即，如同1比2。此外，最大的矩形对应的小时运动，是16″.16.37^iv.42^v。且这个运动，在一个整恒星年的365天6小时9分钟中累计为39^gr..38′.7″.50。且因此，它的一半19^gr..49′.3″.55，是对应于整个圆的交点的平均运动。且交点的运动，在太阳自N前进到A的时间，比19^gr..49′.3″.55，如同面积NAZ比整个圆。

这些论断如此来自假设，交点每小时被拉回到它原来的位置，这样使得太阳在一整年过完时返回到相同的交点，它曾经从这里开始离开。但是由于交点的运动使得太阳更迅速地转回到交点，且现在必须计算时间的缩短。由于太阳在一整年完成360度，且在相同的时间交点以其最大的运动完成39^gr..38′.3″.50，或者39.6355度；又在任意位置N时交点的平均运动比在方照时它的平均运动，如同AZ_q比AT_q：太阳的运动比在N时交点的运动，如同360AT_q比39.6355AZ_q；亦即，如同9.0827646AT_q比AZ_q。因此，如果整个圆的圆周NAn被分为相等的小部分Aa，时间，在此期间太阳跑过小部分Aa，如果圆静止，比一段时间，在此期间它跑过相同的小部分，如果圆与交点一起围绕中心T旋转，与9.0827646AT_q比9.0827646AT_q+AZ_q成反比。由于时间与跑过小部分的速度成反比，且这个速度是太阳的和交点的速度之和。所以时间，如果在此期间交点没有运动，太阳跑过弧NA，由扇形NTA表示，且时间的小部分，在此期间它跑过极短的弧Aa，由扇形的小部分ATa表示；又（在Nn上落下垂线aY）如果在AZ上取dZ，其长度使得dZ和ZY构成的矩形比扇形的小部分ATa如同AZ_q比9.0827646AT_q+AZ_q，亦即，使得dZ比 AZ如同AZ_q比9.0827646AT_q+AZ_q，dZ和ZY构成的矩形表示在弧Aa被跑过的整个时间中起源于交点运动的时间的减量。且如果点d 占据曲线NdGn，曲线的面积NdZ是整个减量，在此期间整个弧NA被跑过；所以扇形NAT对面积NdZ的超出是那整个时间。又因为交点的运动在较短时间按时间的比较小，面积AaYZ应按相同的比减小。这将会发生，如果在AZ上取一段长度eZ，它比长度AZ如同AZ_q比9.0827646AT_q+AZ_q。因为这样eZ和ZY构成的矩形比面积AZYa如同时间的减量，在此期间弧Aa被跑过，比整个时间，在此期间弧［Aa］被跑过，如果交点静止：所以那个矩形对应于交点的运动的减量。又，如果点e点据曲线NeFn，整个面积NeZ，它是所有减量的和，在弧AN被跑过的时间，对应于整个减量；且剩余的面积对应于剩余的运动，在整个弧NA被太阳的和交点的联合的运动跑过的时间，它是交点的真运动。现在，由无穷级数法找到半圆的面积比图形NeFn的面积，很接近地如同793比60。但是运动，它对应于整个圆，是19^gr..49′.3″.55，且所以运动，它对应于二倍的图形NeFn，是1^gr..29′.58″.2。从前一个运动中减去它，剩下18^gr..19′.5″.53，是交点相对于恒星在它两次与太阳会合期间的整个运动；且从太阳的年运动360度中减去这个运动，剩下的341^gr..40′.54″.7是太阳在相同的会合期间的运动。但由于这个运动比年运动360^gr.，如同刚发现的交点的运动18^gr..19′.5″.53比它自己的年运动，所以它为19^gr..18′.1″.23。这是在一个恒星年中交点的平均运动。由天文表这个值是19^gr..21′.21″.50。差小于整个运动的三百分之一，且似乎起源于月球的轨道的偏心率和对于黄道的平面的倾角。由于轨道的偏心，交点的运动被过度加速，另一方面，由于其倾角，交点的运动有些被迟滞，并导致其恰当的速度。